Номер 34.3, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.3. Докажите, что уравнение $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ не имеет рациональных корней.

Для доказательства того, что уравнение $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ не имеет рациональных корней, воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$ (где дробь $\frac{p}{q}$ несократима), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

В заданном уравнении $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$:

- старший коэффициент (при $x^4$) равен $1$;

- свободный член (константа) также равен $1$.

Следовательно, для любого возможного рационального корня $x = \frac{p}{q}$ должны выполняться следующие условия:

- Числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $1$. Делителями числа $1$ являются $\pm 1$.

- Знаменатель $q$ должен быть делителем старшего коэффициента $1$. Делителями числа $1$ являются $\pm 1$.

Таким образом, единственными возможными кандидатами в рациональные корни являются числа, которые можно составить из этих делителей: $\frac{1}{1} = 1$ и $\frac{-1}{1} = -1$.

Проверим этих кандидатов, подставив их в исходное уравнение.

1. При $x=1$:

$1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.

Поскольку $5 \neq 0$, то $x=1$ не является корнем уравнения.

2. При $x=-1$:

$(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$.

Поскольку $1 \neq 0$, то $x=-1$ также не является корнем уравнения.

Так как ни один из возможных рациональных корней не является решением уравнения, мы доказали, что данное уравнение не имеет рациональных корней.

Ответ: Возможные рациональные корни, найденные по теореме о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами, это $1$ и $-1$. Проверка показывает, что ни одно из этих чисел не является корнем данного уравнения, следовательно, уравнение не имеет рациональных корней.