Вопросы, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какой прием лежит в основе разложения на множители при решении уравнений высших степеней?

2. В чем суть метода введения новой переменной при решении уравнений высших степеней?

3. В чем отличие решений симметрических уравнений $n$-ой четной и $n$-ой нечетной степени?

1. Какой прием лежит в основе разложения на множители при решении уравнений высших степеней?

В основе разложения на множители многочлена высшей степени лежит следствие из теоремы Безу (теорема о корне многочлена). Оно гласит: если число $a$ является корнем многочлена $P(x)$, то этот многочлен делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.

Алгоритм решения уравнения $P(x) = 0$ методом разложения на множители выглядит следующим образом:

1. Поиск корня. Сначала пытаются найти хотя бы один корень уравнения. Если уравнение имеет целые коэффициенты, то его целые корни ищут среди делителей свободного члена (последнего коэффициента многочлена, не содержащего переменную).

2. Понижение степени. Найдя корень $x_1 = a$, делят многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ (например, "столбиком" или по схеме Горнера). В результате получают многочлен $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени $P(x)$. Исходное уравнение принимает вид $(x - a) \cdot Q(x) = 0$.

3. Повторение процесса. Далее решают уравнение $Q(x) = 0$. Если его степень все еще выше второй, процесс повторяют: ищут корень многочлена $Q(x)$ и снова понижают степень.

Процесс продолжается до тех пор, пока не останется уравнение, которое можно решить стандартными методами (линейное или квадратное). В итоге исходное уравнение сводится к совокупности нескольких более простых уравнений.

Ответ: Основной прием — это поиск одного из корней многочлена и последующее деление этого многочлена на соответствующий ему линейный множитель $(x - \text{корень})$ для понижения степени уравнения, что основано на следствии из теоремы Безу.

2. В чем суть метода введения новой переменной при решении уравнений высших степеней?

Суть метода введения новой переменной (или метода замены) заключается в том, чтобы упростить вид исходного уравнения, сведя его к более простому или стандартному типу, который легко решается (чаще всего к квадратному уравнению).

Метод применяется, когда в уравнении можно выделить некоторое повторяющееся выражение. Алгоритм действий таков:

1. Введение новой переменной. Находят в уравнении повторяющееся выражение с переменной $x$ и заменяют его новой переменной, например, $t$.

2. Решение нового уравнения. Решают полученное уравнение относительно новой переменной $t$. Это уравнение, как правило, имеет более низкую степень или стандартный вид.

3. Обратная замена. После нахождения значений $t$ (например, $t_1, t_2, \ldots$) возвращаются к исходной переменной. Для каждого найденного значения $t$ решают уравнение, связывающее $x$ и $t$.

Например, для биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ вводят замену $t = x^2$ (причем $t \ge 0$), что приводит к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$. После нахождения корней $t_1$ и $t_2$ возвращаются к исходной переменной, решая уравнения $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$.

Ответ: Суть метода — в замене повторяющегося в уравнении выражения новой переменной с целью упростить уравнение, свести его к стандартному виду, решить его относительно новой переменной, а затем выполнить обратную замену и найти исходные корни.

3. В чем отличие решений симметрических уравнений n-ой четной и n-ой нечетной степени?

Симметрическим уравнением степени $n$ называется уравнение вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, у которого коэффициенты, равноудаленные от концов, равны, то есть $a_k = a_{n-k}$ для всех $k$ от 0 до $n$. Отличие в подходах к их решению зависит от четности степени $n$.

Симметрическое уравнение нечетной степени ($n = 2k+1$):

Такое уравнение всегда имеет корень $x = -1$. Поэтому первым шагом решения всегда является деление многочлена на двучлен $(x+1)$. В результате этого деления получается симметрическое уравнение уже четной степени $n-1 = 2k$. Дальнейшее решение продолжается по алгоритму для уравнений четной степени.

Симметрическое уравнение четной степени ($n = 2k$):

Такое уравнение не имеет корня $x=0$ (так как $a_0 = a_n \neq 0$). Для его решения все уравнение делят на $x^k = x^{n/2}$ (икс в степени, равной половине степени уравнения). После деления члены группируют попарно: $(x^m + \frac{1}{x^m})$. Затем вводят новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$. Через эту переменную выражают и остальные группы: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$, $x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$, и так далее. В результате получается уравнение относительно $t$ со степенью, в два раза меньшей исходной ($k = n/2$). После нахождения $t$ возвращаются к переменной $x$, решая квадратные уравнения вида $x^2 - tx + 1 = 0$.

Ответ: Ключевое отличие заключается в первом шаге решения. Для уравнения нечетной степени сначала находят обязательный корень $x=-1$ и понижают степень уравнения на единицу, сводя его к симметрическому уравнению четной степени. Для уравнения четной степени сразу приступают к делению на $x^{n/2}$ и введению замены $t = x + \frac{1}{x}$, чтобы понизить степень вдвое.