Номер 34.10, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.10. Решите симметрическое уравнение:

1) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$;

2) $x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 0$;

3) $x^4 + 7x^3 + 10x^2 - 7x + 1 = 0$;

4) $2x^4 + x^3 - 11x^2 + x + 2 = 0$.

1) Дано симметрическое уравнение $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$.

Поскольку $x=0$ не является корнем уравнения, разделим обе части на $x^2$:

$x^2 - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 2) - 2y - 1 = 0$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

1. Если $y = 3$, то $x + \frac{1}{x} = 3$. Умножим на $x$, получим $x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$. Корни $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. Если $y = -1$, то $x + \frac{1}{x} = -1$. Умножим на $x$, получим $x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Корни $x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

2) Дано симметрическое уравнение $x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1 = 0$.

Поскольку $x=0$ не является корнем, делим уравнение на $x^2$:

$x^2 - 7x + 14 - \frac{7}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Группируем: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 14 = 0$.

Делаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Получаем уравнение для $y$: $(y^2 - 2) - 7y + 14 = 0$, что упрощается до $y^2 - 7y + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$.

Возвращаемся к переменной $x$.

1. Если $y = 3$, то $x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 4 = 5$. Корни $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2. Если $y = 4$, то $x + \frac{1}{x} = 4 \implies x^2 - 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4 = 12$. Корни $x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}; 2 \pm \sqrt{3}$.

3) Дано уравнение $x^4 + 7x^3 + 10x^2 - 7x + 1 = 0$. Это так называемое квазисимметрическое уравнение.

Так как $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$x^2 + 7x + 10 - \frac{7}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Группируем: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x - \frac{1}{x}) + 10 = 0$.

Делаем замену $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставляем в уравнение: $(y^2 + 2) + 7y + 10 = 0$, что упрощается до $y^2 + 7y + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни $y_1 = -3$ и $y_2 = -4$.

Возвращаемся к переменной $x$.

1. Если $y = -3$, то $x - \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-1) = 13$. Корни $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

2. Если $y = -4$, то $x - \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-1) = 20$. Корни $x_{3,4} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $\frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}; -2 \pm \sqrt{5}$.

4) Дано симметрическое уравнение $2x^4 + x^3 - 11x^2 + x + 2 = 0$.

Так как $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$2x^2 + x - 11 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Группируем: $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 11 = 0$.

Делаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставляем в уравнение: $2(y^2 - 2) + y - 11 = 0$, что упрощается до $2y^2 + y - 15 = 0$.

Решаем квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D_y = 1^2 - 4(2)(-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

Корни $y = \frac{-1 \pm 11}{4}$, то есть $y_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ и $y_2 = -3$.

Возвращаемся к переменной $x$.

1. Если $y = \frac{5}{2}$, то $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$. Дискриминант $D_x = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 = 3^2$. Корни $x = \frac{5 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

2. Если $y = -3$, то $x + \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D_x = 3^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$. Корни $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $2; \frac{1}{2}; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.