Номер 33.8, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33.8. Для некоторого приведенного многочлена $P(x)$ известны его степень и все его корни с учетом их кратности. Заполните таблицу 22, запишите разложение многочлена $P(x)$ на множители.

Таблица 22

1 Степень многочлена: 4

Корни кратности 1: -1; 3

Корни кратности 2: 2

Корни кратности 3:

Разложение многочлена $P(x)$:

2 Степень многочлена: 7

Корни кратности 1:

Корни кратности 2: 1; 3

Корни кратности 3: -2

Разложение многочлена $P(x)$:

3 Степень многочлена: 8

Корни кратности 1: 2

Корни кратности 2: -1; 4

Корни кратности 3: 1

Разложение многочлена $P(x)$:

4 Степень многочлена: 10

Корни кратности 1: 0

Корни кратности 2: 2; 5; 7

Корни кратности 3: -3

Разложение многочлена $P(x)$:

Общий вид разложения приведенного многочлена $P(x)$ степени $n$ на множители, если известны все его корни $x_1, x_2, \dots, x_k$ с их кратностями $m_1, m_2, \dots, m_k$ (где $m_1 + m_2 + \dots + m_k = n$), выглядит следующим образом: $P(x) = (x - x_1)^{m_1}(x - x_2)^{m_2}\dots(x - x_k)^{m_k}$. Используем эту формулу для каждого случая.

1. Степень многочлена $n=4$. Корни и их кратности: $x_1 = -1$ (кратность 1), $x_2 = 3$ (кратность 1), $x_3 = 2$ (кратность 2). Проверим сумму кратностей: $1 + 1 + 2 = 4$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным, поэтому старший коэффициент равен 1. Разложение на множители: $P(x) = (x - (-1))^1 \cdot (x - 3)^1 \cdot (x - 2)^2$

Ответ: $P(x) = (x+1)(x-3)(x-2)^2$

2. Степень многочлена $n=7$. Корни и их кратности: $x_1 = 1$ (кратность 2), $x_2 = 3$ (кратность 2), $x_3 = -2$ (кратность 3). Проверим сумму кратностей: $2 + 2 + 3 = 7$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным. Разложение на множители: $P(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 3)^2 \cdot (x - (-2))^3$

Ответ: $P(x) = (x-1)^2(x-3)^2(x+2)^3$

3. Степень многочлена $n=8$. Корни и их кратности: $x_1 = 2$ (кратность 1), $x_2 = -1$ (кратность 2), $x_3 = 4$ (кратность 2), $x_4 = 1$ (кратность 3). Проверим сумму кратностей: $1 + 2 + 2 + 3 = 8$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным. Разложение на множители: $P(x) = (x - 2)^1 \cdot (x - (-1))^2 \cdot (x - 4)^2 \cdot (x - 1)^3$

Ответ: $P(x) = (x-2)(x+1)^2(x-4)^2(x-1)^3$

4. Степень многочлена $n=10$. Корни и их кратности: $x_1 = 0$ (кратность 1), $x_2 = 2$ (кратность 2), $x_3 = 5$ (кратность 2), $x_4 = 7$ (кратность 2), $x_5 = -3$ (кратность 3). Проверим сумму кратностей: $1 + 2 + 2 + 2 + 3 = 10$. Сумма кратностей совпадает со степенью многочлена. Многочлен является приведенным. Разложение на множители: $P(x) = (x - 0)^1 \cdot (x - 2)^2 \cdot (x - 5)^2 \cdot (x - 7)^2 \cdot (x - (-3))^3$

Ответ: $P(x) = x(x-2)^2(x-5)^2(x-7)^2(x+3)^3$