Номер 32.4, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.4. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ и заполните таблицу 20:

Таблица 20

Для многочлена $P(x) = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ и $a = 2$

Для деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ используем схему Горнера. Коэффициенты многочлена $P(x)$ по убыванию степеней: $1, -2, 3, -7, 2, -1$.

Пусть $q_i$ - коэффициенты частного, а $R$ - остаток. Вычисляем их последовательно:

1. Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого: $q_4 = 1$.

2. Следующий коэффициент: $q_3 = -2 + a \cdot q_4 = -2 + 2 \cdot 1 = 0$.

3. Следующий коэффициент: $q_2 = 3 + a \cdot q_3 = 3 + 2 \cdot 0 = 3$.

4. Следующий коэффициент: $q_1 = -7 + a \cdot q_2 = -7 + 2 \cdot 3 = -1$.

5. Последний коэффициент частного: $q_0 = 2 + a \cdot q_1 = 2 + 2 \cdot (-1) = 0$.

6. Остаток: $R = -1 + a \cdot q_0 = -1 + 2 \cdot 0 = -1$.

Коэффициенты частного: $1, 0, 3, -1, 0$. Так как исходный многочлен был 5-й степени, частное будет 4-й степени.

Частное: $Q(x) = 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 - 1 \cdot x + 0 = x^4 + 3x^2 - x$.

Остаток: $R = -1$.

Ответ: Частное: $x^4 + 3x^2 - x$, Остаток: $-1$.

Для многочлена $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 21x - 30$ и $a = -1$

Применим схему Горнера для деления на $(x - (-1)) = (x+1)$. Коэффициенты многочлена $P(x)$, включая член с $x^2$, коэффициент которого равен 0: $2, 7, 0, -21, -30$.

Вычисляем коэффициенты частного $q_i$ и остаток $R$:

1. $q_3 = 2$.

2. $q_2 = 7 + a \cdot q_3 = 7 + (-1) \cdot 2 = 5$.

3. $q_1 = 0 + a \cdot q_2 = 0 + (-1) \cdot 5 = -5$.

4. $q_0 = -21 + a \cdot q_1 = -21 + (-1) \cdot (-5) = -16$.

5. $R = -30 + a \cdot q_0 = -30 + (-1) \cdot (-16) = -14$.

Коэффициенты частного: $2, 5, -5, -16$. Степень частного - 3.

Частное: $Q(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x - 16$.

Остаток: $R = -14$.

Ответ: Частное: $2x^3 + 5x^2 - 5x - 16$, Остаток: $-14$.

Для многочлена $P(x) = 3x^5 + 5x^4 + 11x^2 + 2x$ и $a = 1$

Применим схему Горнера для деления на $(x - 1)$. Коэффициенты многочлена $P(x)$, включая члены с $x^3$ и $x^0$, коэффициенты которых равны 0: $3, 5, 0, 11, 2, 0$.

Вычисляем коэффициенты частного $q_i$ и остаток $R$:

1. $q_4 = 3$.

2. $q_3 = 5 + a \cdot q_4 = 5 + 1 \cdot 3 = 8$.

3. $q_2 = 0 + a \cdot q_3 = 0 + 1 \cdot 8 = 8$.

4. $q_1 = 11 + a \cdot q_2 = 11 + 1 \cdot 8 = 19$.

5. $q_0 = 2 + a \cdot q_1 = 2 + 1 \cdot 19 = 21$.

6. $R = 0 + a \cdot q_0 = 0 + 1 \cdot 21 = 21$.

Коэффициенты частного: $3, 8, 8, 19, 21$. Степень частного - 4.

Частное: $Q(x) = 3x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 19x + 21$.

Остаток: $R = 21$.

Ответ: Частное: $3x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 19x + 21$, Остаток: $21$.