Объясните, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как нашли частное и остаток при делении многочлена $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$ на двучлен $(x + 2)$ (табл. 19)?

Таблица 19

Частное равно $x^3 - 4x^2 + 11x - 22$, остаток равен 37.

Для нахождения частного и остатка при делении многочлена $P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$ на двучлен $(x+2)$ была использована схема Горнера. Это быстрый метод деления многочлена на двучлен вида $(x-c)$.

1. Подготовка таблицы

Сначала необходимо подготовить данные для таблицы.

- Первая строка таблицы — это коэффициенты делимого многочлена $P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$, записанные по порядку убывания степеней переменной $x$. Важно учесть, что в многочлене отсутствует член с $x$ в первой степени, поэтому его коэффициент равен 0.

Коэффициенты:

- при $x^4$: 1

- при $x^3$: -2

- при $x^2$: 3

- при $x^1$: 0

- свободный член (при $x^0$): -7

Таким образом, первая строка таблицы заполняется числами: 1, -2, 3, 0, -7.

- Число слева от таблицы — это корень двучлена-делителя. Мы делим на $(x+2)$. Чтобы найти корень, приравниваем его к нулю: $x+2=0$, откуда $x=-2$. Это число $c$ для схемы Горнера.

2. Выполнение алгоритма по схеме Горнера

Вторая строка таблицы вычисляется пошагово:

- Шаг 1: Первый коэффициент (1) просто сносится вниз без изменений. Это первый коэффициент частного.

- Шаг 2: Чтобы получить следующее число во второй строке, нужно предыдущее полученное число (1) умножить на корень $c=-2$ и сложить с очередным коэффициентом из первой строки (-2).

$1 \cdot (-2) + (-2) = -2 - 2 = -4$

- Шаг 3: Повторяем операцию. Новое полученное число (-4) умножаем на корень $c=-2$ и складываем со следующим коэффициентом из первой строки (3).

$(-4) \cdot (-2) + 3 = 8 + 3 = 11$

- Шаг 4: Снова повторяем. Число (11) умножаем на корень $c=-2$ и складываем со следующим коэффициентом (0).

$11 \cdot (-2) + 0 = -22 + 0 = -22$

- Шаг 5: Последний шаг. Число (-22) умножаем на корень $c=-2$ и складываем с последним коэффициентом (-7).

$(-22) \cdot (-2) + (-7) = 44 - 7 = 37$

3. Интерпретация результата

В результате заполнения вторая строка таблицы содержит числа: 1, -4, 11, -22, 37.

- Числа во второй строке, кроме последнего, являются коэффициентами многочлена-частного. Степень частного всегда на единицу меньше степени исходного многочлена. Исходный многочлен был 4-й степени, значит частное будет 3-й степени.

Частное: $1 \cdot x^3 + (-4) \cdot x^2 + 11 \cdot x + (-22) = x^3 - 4x^2 + 11x - 22$.

- Последнее число во второй строке (37) — это остаток от деления.

Таким образом, деление многочлена $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7$ на двучлен $(x+2)$ дает частное $x^3 - 4x^2 + 11x - 22$ и остаток 37.

Запись деления выглядит так:

$x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7 = (x+2)(x^3 - 4x^2 + 11x - 22) + 37$

Ответ: Частное равно $x^3 - 4x^2 + 11x - 22$, остаток равен 37.