Номер 31.13, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.13. Изобразите на координатной прямой множество точек, заданное системой неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 3x \ge 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8x - x^2 < 0, \\ 4 - 2x \le 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 1 + x^2 \le 5, \\ 1 - x \le 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0, \\ 1 + x^2 \le 17. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 3x \geq 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x \geq 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 3) \geq 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$ вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x - 2 > 0$.

$x > 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Совместим множества $(-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ на координатной прямой.

Общим решением будет интервал, где оба условия выполняются одновременно, то есть $x \in [3; +\infty)$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8x - x^2 < 0, \\ 4 - 2x \leq 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $8x - x^2 < 0$.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 8x > 0$.

Разложим на множители: $x(x - 8) > 0$.

Корни уравнения $x(x - 8) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$.

Это парабола с ветвями вверх, значения положительны вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (8; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $4 - 2x \leq 0$.

$4 \leq 2x$

$2 \leq x$, или $x \geq 2$.

Решение второго неравенства: $x \in [2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; 0) \cup (8; +\infty)$ и $[2; +\infty)$.

Общим решением будет интервал $x \in (8; +\infty)$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 1 + x^2 \leq 5, \\ 1 - x \leq 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $1 + x^2 \leq 5$.

$x^2 \leq 4$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \leq 2$, то есть $-2 \leq x \leq 2$.

Решение первого неравенства: $x \in [-2; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $1 - x \leq 0$.

$1 \leq x$, или $x \geq 1$.

Решение второго неравенства: $x \in [1; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-2; 2]$ и $[1; +\infty)$.

Общим решением будет отрезок $x \in [1; 2]$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in [1; 2]$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 4 - x^2 \geq 0, \\ 1 + x^2 \leq 17. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $4 - x^2 \geq 0$.

$4 \geq x^2$, или $x^2 \leq 4$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \leq 2$, то есть $-2 \leq x \leq 2$.

Решение первого неравенства: $x \in [-2; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $1 + x^2 \leq 17$.

$x^2 \leq 16$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \leq 4$, то есть $-4 \leq x \leq 4$.

Решение второго неравенства: $x \in [-4; 4]$.

3. Найдем пересечение решений: $[-2; 2]$ и $[-4; 4]$.

Отрезок $[-2; 2]$ полностью содержится в отрезке $[-4; 4]$, поэтому их пересечением является отрезок $[-2; 2]$.

Общее решение: $x \in [-2; 2]$.

Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-2; 2]$.