Номер 31.6, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.6. Заполните таблицу 17, если $f(x)$ и $h(x)$ многочлены:

Таблица 17

Для решения задачи воспользуемся следующими правилами для степеней многочленов. Пусть степень многочлена $f(x)$ равна $m$, а степень многочлена $h(x)$ равна $n$.

1. Степень суммы $(f(x) + h(x))$: если $m \neq n$, то степень суммы равна $\max(m, n)$. Если $m = n$, то степень суммы меньше или равна $m$ (она может быть меньше, если старшие члены многочленов взаимно уничтожаются).

2. Степень произведения $(f(x) \cdot h(x))$: степень произведения всегда равна сумме степеней, то есть $m + n$.

3. Степень квадрата $f^2(x)$: степень $f^2(x)$ равна удвоенной степени $f(x)$, то есть $2m$.

Теперь заполним таблицу по строкам.

Строка 1

Дано: Степень $f(x) = 4$, Степень $h(x) = 2$.

Решение:

Степень $(f(x) + h(x))$: Так как степени $f(x)$ и $h(x)$ не равны ($4 \neq 2$), степень их суммы равна максимальной из степеней: $\max(4, 2) = 4$.

Степень $(f(x) \cdot h(x))$: Степень произведения равна сумме степеней: $4 + 2 = 6$.

Степень $f^2(x)$: Степень квадрата равна удвоенной степени $f(x)$: $2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: Степень $(f(x) + h(x)) = 4$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 6$, Степень $f^2(x) = 8$.

Строка 2

Дано: Степень $h(x) = 5$, Степень $f^2(x) = 14$.

Решение:

Степень $f(x)$: Известно, что Степень $f^2(x) = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$. Следовательно, $14 = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$, откуда Степень $f(x) = 14 / 2 = 7$.

Степень $(f(x) + h(x))$: Теперь мы знаем, что Степень $f(x) = 7$ и Степень $h(x) = 5$. Так как $7 \neq 5$, степень суммы равна $\max(7, 5) = 7$.

Степень $(f(x) \cdot h(x))$: Степень произведения равна сумме степеней: $7 + 5 = 12$.

Ответ: Степень $f(x) = 7$, Степень $(f(x) + h(x)) = 7$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 12$.

Строка 3

Дано: Степень $h(x) = 3$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 7$.

Решение:

Степень $f(x)$: Известно, что Степень $(f(x) \cdot h(x)) = (\text{Степень } f(x)) + (\text{Степень } h(x))$. Следовательно, $7 = (\text{Степень } f(x)) + 3$, откуда Степень $f(x) = 7 - 3 = 4$.

Степень $(f(x) + h(x))$: Теперь мы знаем, что Степень $f(x) = 4$ и Степень $h(x) = 3$. Так как $4 \neq 3$, степень суммы равна $\max(4, 3) = 4$.

Степень $f^2(x)$: Степень квадрата равна удвоенной степени $f(x)$: $2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: Степень $f(x) = 4$, Степень $(f(x) + h(x)) = 4$, Степень $f^2(x) = 8$.

Строка 4

Дано: Степень $(f(x) + h(x)) = 2$, Степень $f^2(x) = 6$.

Решение:

Степень $f(x)$: Известно, что Степень $f^2(x) = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$. Следовательно, $6 = 2 \cdot (\text{Степень } f(x))$, откуда Степень $f(x) = 6 / 2 = 3$.

Степень $h(x)$: Мы знаем, что Степень $f(x) = 3$. Степень суммы $(f(x) + h(x))$ равна 2. Если бы степени $f(x)$ и $h(x)$ были различны, степень суммы была бы равна максимальной из них. Но равенство $\max(3, \text{Степень } h(x)) = 2$ невозможно. Это означает, что степени $f(x)$ и $h(x)$ должны быть равны, а старшие члены при сложении сократились. Следовательно, Степень $h(x) = \text{Степень } f(x) = 3$.

Степень $(f(x) \cdot h(x))$: Степень произведения равна сумме степеней: $3 + 3 = 6$.

Ответ: Степень $f(x) = 3$, Степень $h(x) = 3$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 6$.

Строка 5

Дано: Степень $(f(x) + h(x)) = 4$, Степень $(f(x) \cdot h(x)) = 14$.

Решение:

Пусть Степень $f(x) = m$ и Степень $h(x) = n$. У нас есть система: $m + n = 14$ и Степень $(f(x) + h(x)) = 4$.

Если предположить, что $m \neq n$, то степень суммы была бы $\max(m, n) = 4$. Тогда одна из степеней (например, $m$) равна 4, а другая ($n$) меньше 4. Но из $m+n=14$ мы получили бы $n = 14 - 4 = 10$, что противоречит условию $n < 4$. Следовательно, это предположение неверно.

Значит, степени должны быть равны: $m = n$. В этом случае $m + n = 2m = 14$, откуда $m = 7$. Итак, Степень $f(x) = 7$ и Степень $h(x) = 7$. Степень их суммы равна 4 (что меньше 7), так как старшие члены сокращаются. Это не противоречит условиям.

Степень $f^2(x)$: Степень квадрата равна удвоенной степени $f(x)$: $2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: Степень $f(x) = 7$, Степень $h(x) = 7$, Степень $f^2(x) = 14$.