Номер 31.5, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.5. Какие из следующих утверждений верны:

1) сумма двух многочленов степени $n$ есть многочлен степени $2n$;

2) разность многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

3) произведение трех многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

4) произведение двух многочленов степени $n$ есть многочлен степени $2n$?

1) сумма двух многочленов степени n есть многочлен степени 2n

Это утверждение неверно. Степень суммы двух многочленов не превышает наибольшей из степеней слагаемых. Пусть даны два многочлена степени $n$: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$, где $a_n \neq 0$. $Q(x) = b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1} + \dots + b_0$, где $b_n \neq 0$. Их сумма $S(x) = P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 + b_0)$. Степень суммы $S(x)$ определяется коэффициентом при $x^n$. Если $a_n + b_n \neq 0$, то степень суммы будет равна $n$. Если же $a_n + b_n = 0$ (то есть $a_n = -b_n$), то старшие члены взаимно уничтожатся, и степень суммы будет меньше $n$. Например, сумма многочленов $P(x) = 2x^3 + 5x$ и $Q(x) = -2x^3 + x^2$ (оба третьей степени, $n=3$) равна $S(x) = x^2 + 5x$, что является многочленом второй степени. Степень суммы никогда не может быть $2n$.

Ответ: неверно.

2) разность многочленов степени n есть многочлен степени не выше n

Это утверждение верно. Аналогично сложению, рассмотрим разность двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$. $D(x) = P(x) - Q(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 - b_0)$. Степень разности $D(x)$ определяется коэффициентом $(a_n - b_n)$. Если $a_n - b_n \neq 0$, то степень разности равна $n$. Если $a_n - b_n = 0$ (то есть $a_n = b_n$), то старший член сокращается, и степень разности становится меньше $n$. В любом случае, степень результирующего многочлена не может превысить $n$. Таким образом, степень разности "не выше $n$".

Ответ: верно.

3) произведение трех многочленов степени n есть многочлен степени не выше n

Это утверждение неверно. При перемножении многочленов их степени складываются. Пусть $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ — три многочлена степени $n$. Их старшие члены имеют вид $a_n x^n$, $b_n x^n$ и $c_n x^n$ соответственно, где $a_n, b_n, c_n \neq 0$. Старший член их произведения будет равен $(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) \cdot (c_n x^n) = (a_n b_n c_n)x^{n+n+n} = (a_n b_n c_n)x^{3n}$. Поскольку произведение ненулевых коэффициентов $a_n b_n c_n$ также не равно нулю, степень произведения будет равна $3n$. Условие "не выше $n$" ($3n \le n$) выполняется только при $n=0$. Для любого натурального $n > 0$, $3n > n$. Например, произведение трех многочленов второй степени ($n=2$) будет многочленом степени $3 \cdot 2 = 6$, что больше 2.

Ответ: неверно.

4) произведение двух многочленов степени n есть многочлен степени 2n

Это утверждение верно. Степень произведения двух многочленов равна сумме их степеней. Пусть $P(x)$ и $Q(x)$ — два многочлена степени $n$. Их старшие члены — $a_n x^n$ и $b_n x^n$, где $a_n \neq 0$ и $b_n \neq 0$. Старший член произведения $P(x) \cdot Q(x)$ равен произведению их старших членов: $(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) = (a_n b_n) x^{n+n} = (a_n b_n) x^{2n}$. Так как $a_n \neq 0$ и $b_n \neq 0$, их произведение $a_n b_n$ также не равно нулю (в стандартных числовых полях, таких как поле действительных или комплексных чисел). Следовательно, степень произведения двух многочленов степени $n$ всегда равна $2n$.

Ответ: верно.