Номер 31.4, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.4. Выполните деление “уголком” многочлена:

1) $x^3 - 2x^2 - 3x - 5$ на многочлен $x^2 - 3x - 1;$

2) $2x^3 - 2x^2 + x + 3$ на многочлен $x^2 - 3x - 4;$

3) $x^5 - 3x^3 - x + 2$ на многочлен $x - 2;$

4) $6x^4 - 2x + 3$ на многочлен $2x + 3.$

1) Выполним деление многочлена $x^3 - 2x^2 - 3x - 5$ на многочлен $x^2 - 3x - 1$ столбиком.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $x$. Умножаем $x$ на делитель $(x^2 - 3x - 1)$ и вычитаем результат из делимого:

$(x^3 - 2x^2 - 3x - 5) - (x \cdot (x^2 - 3x - 1)) = (x^3 - 2x^2 - 3x - 5) - (x^3 - 3x^2 - x) = x^2 - 2x - 5$.

Шаг 2: Делим старший член полученного многочлена ($x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $1$. Умножаем $1$ на делитель и вычитаем результат из многочлена, полученного на предыдущем шаге:

$(x^2 - 2x - 5) - (1 \cdot (x^2 - 3x - 1)) = (x^2 - 2x - 5) - (x^2 - 3x - 1) = x - 4$.

Степень остатка ($x - 4$) меньше степени делителя, поэтому деление завершено. Частное равно $x + 1$.

Ответ: частное $x + 1$, остаток $x - 4$.

2) Выполним деление многочлена $2x^3 - 2x^2 + x + 3$ на многочлен $x^2 - 3x - 4$ столбиком.

Шаг 1: Делим $2x^3$ на $x^2$, получаем $2x$. Умножаем $2x$ на $(x^2 - 3x - 4)$ и вычитаем из делимого:

$(2x^3 - 2x^2 + x + 3) - (2x \cdot (x^2 - 3x - 4)) = (2x^3 - 2x^2 + x + 3) - (2x^3 - 6x^2 - 8x) = 4x^2 + 9x + 3$.

Шаг 2: Делим $4x^2$ на $x^2$, получаем $4$. Умножаем $4$ на $(x^2 - 3x - 4)$ и вычитаем из результата предыдущего шага:

$(4x^2 + 9x + 3) - (4 \cdot (x^2 - 3x - 4)) = (4x^2 + 9x + 3) - (4x^2 - 12x - 16) = 21x + 19$.

Степень остатка ($21x + 19$) меньше степени делителя, деление завершено. Частное равно $2x + 4$.

Ответ: частное $2x + 4$, остаток $21x + 19$.

3) Выполним деление многочлена $x^5 - 3x^3 - x + 2$ на многочлен $x - 2$. Для удобства запишем делимое, добавив члены с нулевыми коэффициентами: $x^5 + 0x^4 - 3x^3 + 0x^2 - x + 2$.

Шаг 1: Делим $x^5$ на $x$, получаем $x^4$. Умножаем $x^4$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(x^5 + 0x^4) - (x^5 - 2x^4) = 2x^4$. Сносим следующий член, получаем $2x^4 - 3x^3$.

Шаг 2: Делим $2x^4$ на $x$, получаем $2x^3$. Умножаем $2x^3$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(2x^4 - 3x^3) - (2x^4 - 4x^3) = x^3$. Сносим следующий член, получаем $x^3 + 0x^2$.

Шаг 3: Делим $x^3$ на $x$, получаем $x^2$. Умножаем $x^2$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(x^3 + 0x^2) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2$. Сносим следующий член, получаем $2x^2 - x$.

Шаг 4: Делим $2x^2$ на $x$, получаем $2x$. Умножаем $2x$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(2x^2 - x) - (2x^2 - 4x) = 3x$. Сносим следующий член, получаем $3x + 2$.

Шаг 5: Делим $3x$ на $x$, получаем $3$. Умножаем $3$ на $(x - 2)$ и вычитаем: $(3x + 2) - (3x - 6) = 8$.

Остаток равен 8. Частное равно $x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x + 3$.

Ответ: частное $x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x + 3$, остаток $8$.

4) Выполним деление многочлена $6x^4 - 2x + 3$ на многочлен $2x + 3$. Запишем делимое с нулевыми коэффициентами: $6x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 2x + 3$.

Шаг 1: Делим $6x^4$ на $2x$, получаем $3x^3$. Умножаем $3x^3$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(6x^4 + 0x^3) - (6x^4 + 9x^3) = -9x^3$. Сносим следующий член, получаем $-9x^3 + 0x^2$.

Шаг 2: Делим $-9x^3$ на $2x$, получаем $-\frac{9}{2}x^2$. Умножаем $-\frac{9}{2}x^2$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(-9x^3 + 0x^2) - (-9x^3 - \frac{27}{2}x^2) = \frac{27}{2}x^2$. Сносим следующий член, получаем $\frac{27}{2}x^2 - 2x$.

Шаг 3: Делим $\frac{27}{2}x^2$ на $2x$, получаем $\frac{27}{4}x$. Умножаем $\frac{27}{4}x$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(\frac{27}{2}x^2 - 2x) - (\frac{27}{2}x^2 + \frac{81}{4}x) = -2x - \frac{81}{4}x = -\frac{89}{4}x$. Сносим следующий член, получаем $-\frac{89}{4}x + 3$.

Шаг 4: Делим $-\frac{89}{4}x$ на $2x$, получаем $-\frac{89}{8}$. Умножаем $-\frac{89}{8}$ на $(2x + 3)$ и вычитаем: $(-\frac{89}{4}x + 3) - (-\frac{89}{4}x - \frac{267}{8}) = 3 + \frac{267}{8} = \frac{24}{8} + \frac{267}{8} = \frac{291}{8}$.

Остаток равен $\frac{291}{8}$. Частное равно $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$.

Ответ: частное $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$, остаток $\frac{291}{8}$.