Номер 31.3, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.3. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых тождественно равны многочлены $f(x)$ и $h(x):$

1) $f(x) = 2ax - (a + 1)$ и $h(x) = 4x + (3b - a + 11);$

2) $f(x) = 3ax - 3a - 2$ и $h(x) = 9x + (2b - 2a + 9);$

3) $f(x) = ax - 3a + 5$ и $h(x) = -x + (a - 2b + 3);$

4) $f(x) = -ax - 2a - 2$ и $h(x) = 5x + (2b - a + 4).$

Для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ у этих многочленов были равны. Во всех случаях мы имеем дело с линейными функциями вида $y = kx + m$. Таким образом, мы должны приравнять коэффициенты при $x$ (угловые коэффициенты) и свободные члены (константы).

1) Даны многочлены $f(x) = 2ax - (a + 1)$ и $h(x) = 4x + (3b - a + 11)$.

Приравниваем коэффициенты при $x$ и свободные члены:

$\begin{cases} 2a = 4 \\ -(a + 1) = 3b - a + 11 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим значение $a$:

$2a = 4 \implies a = 2$.

Подставляем найденное значение $a=2$ во второе уравнение:

$-(2 + 1) = 3b - 2 + 11$

$-3 = 3b + 9$

$3b = -3 - 9$

$3b = -12$

$b = -4$

Ответ: $a = 2, b = -4$.

2) Даны многочлены $f(x) = 3ax - 3a - 2$ и $h(x) = 9x + (2b - 2a + 9)$.

Составляем систему уравнений, приравнивая соответствующие коэффициенты:

$\begin{cases} 3a = 9 \\ -3a - 2 = 2b - 2a + 9 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $a$:

$3a = 9 \implies a = 3$.

Подставляем $a=3$ во второе уравнение:

$-3(3) - 2 = 2b - 2(3) + 9$

$-9 - 2 = 2b - 6 + 9$

$-11 = 2b + 3$

$2b = -11 - 3$

$2b = -14$

$b = -7$

Ответ: $a = 3, b = -7$.

3) Даны многочлены $f(x) = ax - 3a + 5$ и $h(x) = -x + (a - 2b + 3)$.

Приравниваем коэффициенты (коэффициент при $-x$ равен $-1$):

$\begin{cases} a = -1 \\ -3a + 5 = a - 2b + 3 \end{cases}$

Из первого уравнения сразу получаем $a = -1$.

Подставляем это значение во второе уравнение:

$-3(-1) + 5 = (-1) - 2b + 3$

$3 + 5 = 2 - 2b$

$8 = 2 - 2b$

$2b = 2 - 8$

$2b = -6$

$b = -3$

Ответ: $a = -1, b = -3$.

4) Даны многочлены $f(x) = -ax - 2a - 2$ и $h(x) = 5x + (2b - a + 4)$.

Составляем систему уравнений:

$\begin{cases} -a = 5 \\ -2a - 2 = 2b - a + 4 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $a$:

$-a = 5 \implies a = -5$.

Подставляем $a=-5$ во второе уравнение:

$-2(-5) - 2 = 2b - (-5) + 4$

$10 - 2 = 2b + 5 + 4$

$8 = 2b + 9$

$2b = 8 - 9$

$2b = -1$

$b = -1/2$

Ответ: $a = -5, b = -1/2$.