Задания, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1) Составьте многочлен, если известны его коэффициенты:
а) $-\frac{2}{3}$, 5, 0, 1;
б) 1, 2, 0, 0.

2) Сколько можно составить многочленов с коэффициентами 5, -7, 2, 0?

1) а)

Чтобы составить многочлен, нужно расположить его члены в порядке убывания степеней переменной (например, $x$). Заданные коэффициенты $-\frac{2}{3}, 5, 0, 1$ будут соответствовать членам многочлена от старшей степени к младшей.

Поскольку дано 4 коэффициента, максимальная степень многочлена будет $4-1=3$.

• Коэффициент при $x^3$ равен $-\frac{2}{3}$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $5$.
• Коэффициент при $x^1$ (то есть при $x$) равен $0$.
• Свободный член (коэффициент при $x^0$) равен $1$.

Запишем многочлен в полной форме: $P(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + 0 \cdot x + 1$.

Член с коэффициентом 0 принято опускать, поэтому упрощенный вид многочлена будет:

$P(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + 1$.

Ответ: $-\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + 1$

1) б)

Аналогично предыдущему пункту, используем коэффициенты $1, 2, 0, 0$ для составления многочлена со старшей степенью $3$.

• Коэффициент при $x^3$ равен $1$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $2$.
• Коэффициент при $x^1$ равен $0$.
• Свободный член равен $0$.

Запишем многочлен в полной форме: $P(x) = 1 \cdot x^3 + 2x^2 + 0 \cdot x + 0$.

После упрощения, опуская члены с нулевыми коэффициентами, получаем:

$P(x) = x^3 + 2x^2$.

Ответ: $x^3 + 2x^2$

2) Чтобы найти, сколько различных многочленов можно составить с коэффициентами $5, -7, 2, 0$, нужно определить, сколькими способами можно расставить эти четыре числа в качестве коэффициентов при степенях переменной $x^3, x^2, x^1, x^0$.

Каждая уникальная расстановка (перестановка) коэффициентов создает уникальный многочлен. Например, если коэффициенты $(a_3, a_2, a_1, a_0)$ принять равными $(5, -7, 2, 0)$, получится многочлен $5x^3 - 7x^2 + 2x$. Если же взять порядок $(0, 5, -7, 2)$, получится многочлен $0x^3 + 5x^2 - 7x + 2 = 5x^2 - 7x + 2$. Это два разных многочлена.

Задача сводится к нахождению числа перестановок из 4 различных элементов $\{5, -7, 2, 0\}$. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=4$, поэтому количество возможных многочленов равно:

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, можно составить 24 различных многочлена.

Ответ: 24