Объясните, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили действия с многочленами:

1) $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) + (x^3 + 13x^2 - x - 2) = 3x^3 - 7x^2 + x + 2 + x^3 + 13x^2 - x - 2 = 4x^3 + 6x^2$;

2) $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) - (x^3 + 13x^2 - x - 2) = 3x^3 - 7x^2 + x + 2 - x^3 - 13x^2 + x + 2 = 2x^3 - 20x^2 + 2x + 4;

3) $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) (x + 2) = 3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x + 6x^3 - 14x^2 + 2x + 4 = 3x^4 - x^3 - 13x^2 + 4x + 4?

1) В данном примере выполняется сложение двух многочленов: $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) + (x^3 + 13x^2 - x - 2)$. Для этого сначала раскрываются скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «+», знаки всех слагаемых внутри неё остаются без изменений: $3x^3 - 7x^2 + x + 2 + x^3 + 13x^2 - x - 2$. Затем выполняется приведение подобных членов — слагаемых, имеющих одинаковую буквенную часть. Сгруппируем их: $(3x^3 + x^3) + (-7x^2 + 13x^2) + (x - x) + (2 - 2)$. Теперь выполним действия в каждой группе: $3x^3 + x^3 = 4x^3$; $-7x^2 + 13x^2 = 6x^2$; $x - x = 0$; $2 - 2 = 0$. Суммируя полученные результаты, получаем итоговое выражение.

Ответ: $4x^3 + 6x^2$

2) Здесь выполняется вычитание одного многочлена из другого: $(3x^3 - 7x^2 + x + 2) - (x^3 + 13x^2 - x - 2)$. При раскрытии скобок необходимо учесть, что перед второй скобкой стоит знак «−». Это означает, что знаки всех слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные: $3x^3 - 7x^2 + x + 2 - x^3 - 13x^2 + x + 2$. Далее, как и в предыдущем примере, приводим подобные члены, сгруппировав их: $(3x^3 - x^3) + (-7x^2 - 13x^2) + (x + x) + (2 + 2)$. Выполняем действия в группах: $3x^3 - x^3 = 2x^3$; $-7x^2 - 13x^2 = -20x^2$; $x + x = 2x$; $2 + 2 = 4$. Собираем все вместе для получения окончательного ответа.

Ответ: $2x^3 - 20x^2 + 2x + 4$

3) В этом примере показано умножение многочлена $(3x^3 - 7x^2 + x + 2)$ на двучлен $(x + 2)$. Для этого нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена (правило "фонтанчика").

Сначала умножим каждый член первого многочлена на $x$:

$(3x^3 \cdot x) + (-7x^2 \cdot x) + (x \cdot x) + (2 \cdot x) = 3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x$.

Затем умножим каждый член первого многочлена на $2$:

$(3x^3 \cdot 2) + (-7x^2 \cdot 2) + (x \cdot 2) + (2 \cdot 2) = 6x^3 - 14x^2 + 2x + 4$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x) + (6x^3 - 14x^2 + 2x + 4) = 3x^4 - 7x^3 + x^2 + 2x + 6x^3 - 14x^2 + 2x + 4$.

Осталось привести подобные члены:

$3x^4 + (-7x^3 + 6x^3) + (x^2 - 14x^2) + (2x + 2x) + 4 = 3x^4 - x^3 - 13x^2 + 4x + 4$.

Знак вопроса в конце примера в задании означает, что нужно было проверить правильность вычислений, что мы и сделали.

Ответ: $3x^4 - x^3 - 13x^2 + 4x + 4$