Номер 30.12, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.12. Найдите период функции:

1) $y = \sin4\pi x + \operatorname{tg}2\pi x;$

2) $y = \operatorname{ctg}6x - \sin3x;$

3) $y = 2\operatorname{tg}\pi x + \cos2\pi x;$

4) $y = 1-\cos\frac{\pi x}{3} + 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}.$

1) Чтобы найти период функции $y = \sin(4\pi x) + \operatorname{tg}(2\pi x)$, найдем периоды каждого слагаемого.

Период функции $f(x) = \sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = \sin(4\pi x)$ коэффициент $k = 4\pi$, следовательно, его период $T_1 = \frac{2\pi}{|4\pi|} = \frac{1}{2}$.

Период функции $g(x) = \operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = \operatorname{tg}(2\pi x)$ коэффициент $k = 2\pi$, следовательно, его период $T_2 = \frac{\pi}{|2\pi|} = \frac{1}{2}$.

Период суммы функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Чтобы найти период функции $y = \operatorname{ctg}(6x) - \sin(3x)$, найдем периоды каждого слагаемого.

Период функции $f(x) = \operatorname{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = \operatorname{ctg}(6x)$ коэффициент $k = 6$, следовательно, его период $T_1 = \frac{\pi}{|6|} = \frac{\pi}{6}$.

Период функции $g(x) = \sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = \sin(3x)$ коэффициент $k = 3$, следовательно, его период $T_2 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Период разности функций равен НОК их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$.

Так как $\frac{2\pi}{3} = 4 \cdot \frac{\pi}{6}$, то $T_2$ кратно $T_1$. Следовательно, наименьший общий период равен $T_2$.

$T = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) Чтобы найти период функции $y = 2\operatorname{tg}(\pi x) + \cos(2\pi x)$, найдем периоды каждого слагаемого.

Период функции $f(x) = a \cdot \operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = 2\operatorname{tg}(\pi x)$ коэффициент $k = \pi$, следовательно, его период $T_1 = \frac{\pi}{|\pi|} = 1$.

Период функции $g(x) = \cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = \cos(2\pi x)$ коэффициент $k = 2\pi$, следовательно, его период $T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.

Период суммы функций равен НОК их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 1) = 1$.

Ответ: 1.

4) Чтобы найти период функции $y = 1 - \cos(\frac{\pi x}{3}) + 2\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3})$, найдем периоды слагаемых, содержащих $x$. Константа $1$ на период не влияет.

Период функции $f(x) = \cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для слагаемого $f_1(x) = -\cos(\frac{\pi x}{3})$ коэффициент $k = \frac{\pi}{3}$, следовательно, его период $T_1 = \frac{2\pi}{|\pi/3|} = \frac{2\pi \cdot 3}{\pi} = 6$.

Период функции $g(x) = a \cdot \operatorname{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для слагаемого $g_1(x) = 2\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{3})$ коэффициент $k = \frac{\pi}{3}$, следовательно, его период $T_2 = \frac{\pi}{|\pi/3|} = \frac{\pi \cdot 3}{\pi} = 3$.

Период всей функции равен НОК периодов ее слагаемых.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(6, 3) = 6$.

Ответ: 6.