Номер 30.5, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.5. Запишите в виде многочлена выражение с двумя переменными

$x^5 y^2 + x^3 y^4 - 2x^4 y^5 - y^4 x^1 + 15x^4 y^2 - x^2(x^5 y - x^2 y^4)$.

Какие из следующих утверждений верны:

1) степень многочлена равна 7;

2) многочлен является симметрическим многочленом степени 9;

3) многочлен не имеет подобных членов;

4) степень многочлена равна 9?

Сначала запишем выражение в виде многочлена. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены.

Исходное выражение: $x^5y^2 + x^3y^4 - 2x^4y^5 - y^4x^4 + 15x^4y^2 - x^2(x^5y - x^2y^4)$.

Раскроем скобки в последнем члене выражения:

$-x^2(x^5y - x^2y^4) = -(x^2 \cdot x^5y) + (x^2 \cdot x^2y^4) = -x^{2+5}y + x^{2+2}y^4 = -x^7y + x^4y^4$.

Подставим результат обратно в выражение:

$x^5y^2 + x^3y^4 - 2x^4y^5 - y^4x^4 + 15x^4y^2 - x^7y + x^4y^4$.

Теперь приведем подобные члены. Подобными являются $-y^4x^4$ (что то же самое, что и $-x^4y^4$) и $+x^4y^4$. Их сумма равна 0:

$-x^4y^4 + x^4y^4 = 0$.

После упрощения получаем следующий многочлен:

$P(x, y) = x^5y^2 + x^3y^4 - 2x^4y^5 + 15x^4y^2 - x^7y$.

Расположим члены многочлена в порядке убывания их степени для удобства анализа:

$P(x, y) = -2x^4y^5 - x^7y + x^5y^2 + x^3y^4 + 15x^4y^2$.

Теперь проверим верность каждого из утверждений.

1) степень многочлена равна 7;

Степень многочлена определяется наибольшей из степеней его членов (одночленов). Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Найдем степени каждого члена многочлена $P(x, y) = -2x^4y^5 - x^7y + x^5y^2 + x^3y^4 + 15x^4y^2$:

Степень члена $-2x^4y^5$ равна $4+5=9$.

Степень члена $-x^7y$ равна $7+1=8$.

Степень члена $x^5y^2$ равна $5+2=7$.

Степень члена $x^3y^4$ равна $3+4=7$.

Степень члена $15x^4y^2$ равна $4+2=6$.

Наибольшая из этих степеней — 9. Следовательно, степень многочлена равна 9, а не 7.

Ответ: утверждение неверно.

2) многочлен является симметрическим многочленом степени 9;

Многочлен $P(x, y)$ является симметрическим, если он не изменяется при замене переменных $x$ и $y$ местами, то есть если $P(x, y) = P(y, x)$.

Наш многочлен: $P(x, y) = -2x^4y^5 - x^7y + x^5y^2 + x^3y^4 + 15x^4y^2$.

Найдем $P(y, x)$, заменив в многочлене $x$ на $y$ и $y$ на $x$:

$P(y, x) = -2y^4x^5 - y^7x + y^5x^2 + y^3x^4 + 15y^4x^2$.

Сравнивая $P(x, y)$ и $P(y, x)$, видим, что они не равны. Например, член $-2x^4y^5$ из $P(x, y)$ не совпадает ни с одним членом из $P(y, x)$. Таким образом, многочлен не является симметрическим. Хотя его степень действительно равна 9, первая часть утверждения ложна.

Ответ: утверждение неверно.

3) многочлен не имеет подобных членов;

Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (одинаковыми переменными в одинаковых степенях).

Рассмотрим буквенные части членов упрощенного многочлена: $x^4y^5$, $x^7y$, $x^5y^2$, $x^3y^4$, $x^4y^2$.

Все эти буквенные части различны, так как наборы показателей степеней у переменных $(x, y)$ — $(4,5)$, $(7,1)$, $(5,2)$, $(3,4)$, $(4,2)$ — уникальны.

Следовательно, многочлен не имеет подобных членов.

Ответ: утверждение верно.

4) степень многочлена равна 9?

Как было установлено при анализе утверждения 1), степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов.

Степени членов многочлена: 9, 8, 7, 7, 6.

Наибольшая из этих степеней равна 9. Следовательно, степень многочлена действительно равна 9.

Ответ: утверждение верно.