Вопросы, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример многочлена с двумя переменными.

2. Приведите пример однородного многочлена.

3. Приведите пример симметрического многочлена.

4. Приведите пример однородного симметрического многочлена с двумя переменными четвертой степени.

1. Приведите пример многочлена с двумя переменными.

Многочлен с двумя переменными — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов (членов вида $ax^k y^m$, где $a$ — коэффициент, а $k$ и $m$ — целые неотрицательные числа), содержащих эти две переменные, например, $x$ и $y$. Переменные в разных членах многочлена могут иметь разные степени.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y) = 5x^3y - 2xy^2 + x - 4y + 9$. Он состоит из суммы одночленов, и в него входят две переменные: $x$ и $y$.

Ответ: $5x^3y - 2xy^2 + x - 4y + 9$.

2. Приведите пример однородного многочлена.

Однородный многочлен — это многочлен, все члены которого имеют одинаковую общую степень. Общая степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y, z) = 3x^4 - 2x^2y^2 + 7xy^2z$.

Степень первого члена $3x^4$ равна 4.

Степень второго члена $-2x^2y^2$ равна $2+2=4$.

Степень третьего члена $7xy^2z$ (т.е. $7x^1y^2z^1$) равна $1+2+1=4$.

Так как все члены многочлена имеют степень 4, он является однородным.

Ответ: $3x^4 - 2x^2y^2 + 7xy^2z$.

3. Приведите пример симметрического многочлена.

Симметрический многочлен — это многочлен, который не изменяется при любой перестановке его переменных. Для многочлена $P(x, y)$ с двумя переменными это означает, что должно выполняться равенство $P(x, y) = P(y, x)$.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y) = x^3 + y^3 - 8xy$.

Если в этом многочлене поменять местами переменные $x$ и $y$, мы получим выражение $P(y, x) = y^3 + x^3 - 8yx$.

Так как $y^3 + x^3 = x^3 + y^3$ (от перемены мест слагаемых сумма не меняется) и $8yx = 8xy$ (от перемены мест множителей произведение не меняется), то $P(y, x) = P(x, y)$. Следовательно, этот многочлен является симметрическим.

Ответ: $x^3 + y^3 - 8xy$.

4. Приведите пример однородного симметрического многочлена с двумя переменными четвертой степени.

Такой многочлен должен одновременно удовлетворять трем условиям:

1. Быть однородным степени 4: все его члены должны иметь суммарную степень 4.

2. Быть симметрическим относительно двух переменных ($x$ и $y$): $P(x, y) = P(y, x)$.

3. Иметь степень 4: старшая степень его членов равна 4.

Чтобы построить такой многочлен, нужно составить его из одночленов 4-й степени от переменных $x$ и $y$ так, чтобы при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ он не менялся. Выпишем все возможные одночлены 4-й степени от $x$ и $y$: $x^4$, $y^4$, $x^3y$, $y^3x$, $x^2y^2$.

Чтобы обеспечить симметрию, члены с разными степенями у переменных нужно сгруппировать с одинаковыми коэффициентами: например, $a(x^4+y^4)$ и $b(x^3y+xy^3)$. Член $x^2y^2$ уже является симметрическим сам по себе.

Таким образом, любой многочлен вида $P(x, y) = a(x^4 + y^4) + b(x^3y + xy^3) + c(x^2y^2)$, где $a, b, c$ — некоторые числа (не все равны нулю), будет являться решением.

Например, выбрав $a=1, b=5, c=1$, получим: $x^4+y^4+5(x^3y+xy^3)+x^2y^2 = x^4+5x^3y+x^2y^2+5xy^3+y^4$.

Ответ: $x^4+5x^3y+x^2y^2+5xy^3+y^4$.