Объясните, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему многочлены: $x + 3y$, $x^2 + y^2$, $x^3 + y^3$, $xy(x + y)$, $x^2y - xy^2$, $x^3 - y^3$ являются однородными, а многочлены: $x + y^2$, $x^3 - 3y$ — нет?

Многочлен называется однородным, если все его члены (одночлены) имеют одну и ту же степень. Степенью одночлена, состоящего из произведения переменных, называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Степенью однородного многочлена называют степень любого из его членов.

Почему многочлены $x + 3y, x^2 + y^2, x^3 + y^3, xy(x + y), x^2y - xy^2, x^3 - y^3$ являются однородными

Рассмотрим каждый многочлен из этой группы, определив степень каждого его члена:

• Для многочлена $x + 3y$: член $x$ имеет степень 1, член $3y$ имеет степень 1. Так как степени всех членов равны 1, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^2 + y^2$: член $x^2$ имеет степень 2, член $y^2$ имеет степень 2. Так как степени всех членов равны 2, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^3 + y^3$: член $x^3$ имеет степень 3, член $y^3$ имеет степень 3. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

• Для многочлена $xy(x + y)$, раскроем скобки: $xy(x + y) = x^2y + xy^2$. Член $x^2y$ (т.е. $x^2y^1$) имеет степень $2+1=3$. Член $xy^2$ (т.е. $x^1y^2$) имеет степень $1+2=3$. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^2y - xy^2$: член $x^2y$ имеет степень $2+1=3$, член $-xy^2$ имеет степень $1+2=3$. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^3 - y^3$: член $x^3$ имеет степень 3, член $-y^3$ имеет степень 3. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

Ответ: эта группа многочленов является однородными, потому что в каждом из них все составляющие их одночлены имеют одинаковую степень.

Почему многочлены $x + y^2, x^3 - 3y$ не являются однородными

Рассмотрим многочлены из этой группы:

• Для многочлена $x + y^2$: член $x$ (т.е. $x^1$) имеет степень 1, а член $y^2$ имеет степень 2. Так как степени членов различны (1 и 2), многочлен не является однородным.

• Для многочлена $x^3 - 3y$: член $x^3$ имеет степень 3, а член $-3y$ (т.е. $-3y^1$) имеет степень 1. Так как степени членов различны (3 и 1), многочлен не является однородным.

Ответ: эта группа многочленов не является однородными, потому что в каждом из них составляющие их одночлены имеют разные степени.