Страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Упростите выражение:

1) $\frac{14p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-5)^2}{21p^2} : \frac{3p^2}{2q^6};$

2) $\frac{25a^2(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^3}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d};$

3) $\frac{24x^5y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{3x^2(y-2)}{a^2b};$

4) $a^4 \cdot \left(\frac{3a+b}{a} - 3\right)^2 + b^4 \cdot \left(\frac{a-2b}{b} + 2\right)^2 - 2(ab)^2;$

5) $3 + \left(\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c-7}{c+7}\right) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7};$

6) $4.5 + \frac{25x^2 - 4^{-1}}{5x + 2^{-1}} - 3x;$

7) $3.5 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x - 2^{-1}} - 2(x-1);$

8) $\frac{2a-2}{a-2} + 1 - \left(\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}\right) \cdot \frac{a}{a+2};$

1) Исходное выражение:

$ \frac{14p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-5)^2}{21p^2} : \frac{3p^2}{2q^6} $

Заменим деление на умножение, перевернув последнюю дробь:

$ \frac{14p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-5)^2}{21p^2} \cdot \frac{2q^6}{3p^2} $

Соберем все в одну дробь и сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$ \frac{14 \cdot 15 \cdot 2 \cdot p^4 \cdot q^2 \cdot q^6 \cdot (p-5)^2}{5 \cdot 21 \cdot 3 \cdot q^3 \cdot p^2 \cdot p^2} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 2}{5 \cdot (3 \cdot 7) \cdot 3} \cdot \frac{p^4}{p^{2+2}} \cdot \frac{q^{2+6}}{q^3} \cdot (p-5)^2 $

Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{420}{315} = \frac{4 \cdot 105}{3 \cdot 105} = \frac{4}{3} $.

Сократим степени $ p $: $ \frac{p^4}{p^4} = 1 $.

Сократим степени $ q $: $ \frac{q^8}{q^3} = q^{8-3} = q^5 $.

Собираем все вместе:

$ \frac{4}{3} \cdot 1 \cdot q^5 \cdot (p-5)^2 = \frac{4q^5(p-5)^2}{3} $

Ответ: $ \frac{4q^5(p-5)^2}{3} $

2) Исходное выражение: $ \frac{25a^2(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^3}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d} $

Заменим деление на умножение, перевернув дроби:

$ \frac{25a^2(b-1)}{9d} \cdot \frac{27ab}{5cd^3} \cdot \frac{c^3d}{a^3(b-1)} $

Соберем все в одну дробь:

$ \frac{25 \cdot 27 \cdot a^2 \cdot a \cdot b \cdot c^3 \cdot d \cdot (b-1)}{9 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot c \cdot d \cdot d^3 \cdot (b-1)} $

Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{25 \cdot 27}{9 \cdot 5} = 5 \cdot 3 = 15 $.

Сократим переменные:

$ \frac{a^3}{a^3} = 1 $

$ \frac{c^3}{c} = c^2 $

$ \frac{d}{d^4} = \frac{1}{d^3} $

$ \frac{b-1}{b-1} = 1 $

Собираем все вместе:

$ 15 \cdot b \cdot c^2 \cdot \frac{1}{d^3} = \frac{15bc^2}{d^3} $

Ответ: $ \frac{15bc^2}{d^3} $

3) Исходное выражение: $ \frac{24x^5y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{3x^2(y-2)}{a^2b} $

Заменим деление на умножение:

$ \frac{24x^5y^4}{13ab^2} \cdot \frac{13a^2b}{4xy^2} \cdot \frac{a^2b}{3x^2(y-2)} $

Соберем все в одну дробь:

$ \frac{24 \cdot 13 \cdot x^5y^4 \cdot a^2b \cdot a^2b}{13 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ab^2 \cdot xy^2 \cdot x^2(y-2)} = \frac{24 \cdot 13 \cdot x^5y^4a^4b^2}{12 \cdot 13 \cdot ab^2x^3y^2(y-2)} $

Сократим числовые коэффициенты и переменные:

$ \frac{24}{12} \cdot \frac{13}{13} \cdot \frac{a^4}{a} \cdot \frac{b^2}{b^2} \cdot \frac{x^5}{x^3} \cdot \frac{y^4}{y^2} \cdot \frac{1}{y-2} = 2 \cdot 1 \cdot a^3 \cdot 1 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot \frac{1}{y-2} $

Результат:

$ \frac{2a^3x^2y^2}{y-2} $

Ответ: $ \frac{2a^3x^2y^2}{y-2} $

4) Исходное выражение: $ a^4 \cdot (\frac{3a+b}{a} - 3)^2 + b^4 \cdot (\frac{a-2b}{b} + 2)^2 - 2(ab)^2 $

Упростим выражения в скобках.

Первая скобка: $ \frac{3a+b}{a} - 3 = \frac{3a+b-3a}{a} = \frac{b}{a} $.

Вторая скобка: $ \frac{a-2b}{b} + 2 = \frac{a-2b+2b}{b} = \frac{a}{b} $.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$ a^4 \cdot (\frac{b}{a})^2 + b^4 \cdot (\frac{a}{b})^2 - 2(ab)^2 $

Раскроем скобки:

$ a^4 \cdot \frac{b^2}{a^2} + b^4 \cdot \frac{a^2}{b^2} - 2a^2b^2 $

Сократим дроби:

$ a^2b^2 + b^2a^2 - 2a^2b^2 $

Сложим подобные члены:

$ 2a^2b^2 - 2a^2b^2 = 0 $

Ответ: $ 0 $

5) Исходное выражение: $ 3 + (\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} $

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ c^2-49 = (c-7)(c+7) $:

$ \frac{28c}{(c-7)(c+7)} + \frac{(c-7)(c-7)}{(c+7)(c-7)} = \frac{28c + c^2 - 14c + 49}{(c-7)(c+7)} = \frac{c^2+14c+49}{(c-7)(c+7)} $

Числитель является полным квадратом: $ c^2+14c+49 = (c+7)^2 $.

Выражение в скобках равно: $ \frac{(c+7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c+7}{c-7} $.

Подставим обратно в исходное выражение:

$ 3 + (\frac{c+7}{c-7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} $

Выполним умножение:

$ 3 + \frac{c}{c-7} - \frac{c}{c-7} $

Вычтем дроби:

$ 3 + 0 = 3 $

Ответ: $ 3 $

6) Исходное выражение: $ 4,5 + \frac{25x^2 - 4^{-1}}{5x + 2^{-1}} - 3x $

Преобразуем степени: $ 4^{-1} = \frac{1}{4} $ и $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $.

$ 4,5 + \frac{25x^2 - \frac{1}{4}}{5x + \frac{1}{2}} - 3x $

Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ 25x^2 - \frac{1}{4} = (5x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (5x - \frac{1}{2})(5x + \frac{1}{2}) $

Подставим в дробь и сократим:

$ \frac{(5x - \frac{1}{2})(5x + \frac{1}{2})}{5x + \frac{1}{2}} = 5x - \frac{1}{2} $

Подставим обратно в выражение:

$ 4,5 + (5x - \frac{1}{2}) - 3x $

Заменим $ \frac{1}{2} $ на $ 0,5 $ и раскроем скобки:

$ 4,5 + 5x - 0,5 - 3x $

Сгруппируем и вычислим:

$ (4,5 - 0,5) + (5x - 3x) = 4 + 2x $

Ответ: $ 2x+4 $

7) Исходное выражение: $ 3,5 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x - 2^{-1}} - 2(x-1) $

Преобразуем степени: $ 4^{-1} = \frac{1}{4} $ и $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $.

$ 3,5 + \frac{9x^2 - \frac{1}{4}}{3x - \frac{1}{2}} - 2(x-1) $

Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов:

$ 9x^2 - \frac{1}{4} = (3x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2}) $

Подставим в дробь и сократим:

$ \frac{(3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2})}{3x - \frac{1}{2}} = 3x + \frac{1}{2} $

Подставим обратно в выражение:

$ 3,5 + (3x + \frac{1}{2}) - 2(x-1) $

Заменим $ \frac{1}{2} $ на $ 0,5 $ и раскроем скобки:

$ 3,5 + 3x + 0,5 - 2x + 2 $

Сгруппируем и вычислим:

$ (3,5 + 0,5 + 2) + (3x - 2x) = 6 + x $

Ответ: $ x+6 $

8) Исходное выражение: $ \frac{2a-2}{a-2} + 1 - (\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}) \cdot \frac{a}{a+2} $

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ a^2-4 = (a-2)(a+2) $:

$ \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{8a + a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)} $

Числитель является полным квадратом $ (a+2)^2 $.

Выражение в скобках равно: $ \frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2} $.

Подставим обратно в исходное выражение:

$ \frac{2a-2}{a-2} + 1 - (\frac{a+2}{a-2}) \cdot \frac{a}{a+2} $

Выполним умножение:

$ \frac{2a-2}{a-2} + 1 - \frac{a}{a-2} $

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{(2a-2) - a}{a-2} + 1 = \frac{a-2}{a-2} + 1 $

Сократим дробь:

$ 1 + 1 = 2 $

Ответ: $ 2 $

2. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3(x-2) + 2x - 12 = 0;$

2) $3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 11 = 5;$

3) $5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 13 = 4;$

4) $x^2 - 4|x| + 2x - 7 = 1;$

5) $2x^2 - 3|x + 3| + 5x - 8 = 0;$

6) $4x^2 + 5|x-1| + 4x + 11 = 1.$

1) $x^2 - 3(x-2) + 2x - 12 = 0$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 3x + 6 + 2x - 12 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-3x + 2x) + (6 - 12) = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=-1, c=-6$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 3$.

2) $3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 11 = 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 11 - 5 = 0$

$3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 16 = 0$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 2x^2 + 4x + 2x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (4x + 2x) - 16 = 0$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=6, c=-16$.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $-8; 2$.

3) $5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 13 = 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 13 - 4 = 0$

$5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 17 = 0$

Раскроем скобки:

$5x^2 - 3x^2 - 6x + 3x - 17 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 - 3x^2) + (-6x + 3x) - 17 = 0$

$2x^2 - 3x - 17 = 0$

Решим квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2, b=-3, c=-17$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 9 + 136 = 145$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{4}$

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{145}}{4}; \frac{3 + \sqrt{145}}{4}$.

4) $x^2 - 4|x| + 2x - 7 = 1$

Перенесем 1 в левую часть: $x^2 - 4|x| + 2x - 8 = 0$. Уравнение содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.

$x^2 - 4x + 2x - 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4, x_2 = -2$. Проверяем условие $x \ge 0$. Корень $x=4$ подходит, а $x=-2$ не подходит.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.

$x^2 - 4(-x) + 2x - 8 = 0$

$x^2 + 4x + 2x - 8 = 0$

$x^2 + 6x - 8 = 0$

Решим через дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.

$x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$

Проверяем условие $x < 0$. Корень $x_3 = -3 + \sqrt{17} > 0$ (так как $\sqrt{17} > \sqrt{9}=3$), он не подходит. Корень $x_4 = -3 - \sqrt{17} < 0$, он подходит.

Ответ: $-3 - \sqrt{17}; 4$.

5) $2x^2 - 3|x+3| + 5x - 8 = 0$

Уравнение содержит модуль $|x+3|$. Раскрываем его в двух случаях.

Случай 1: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Тогда $|x+3| = x+3$.

$2x^2 - 3(x+3) + 5x - 8 = 0$

$2x^2 - 3x - 9 + 5x - 8 = 0$

$2x^2 + 2x - 17 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 4 + 136 = 140$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{140}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{35}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{35}}{2}$.

Проверяем условие $x \ge -3$. Корень $x_1 = \frac{-1+\sqrt{35}}{2} \approx \frac{-1+5.9}{2} \approx 2.45$, что больше -3, значит, он подходит. Корень $x_2 = \frac{-1-\sqrt{35}}{2} \approx \frac{-1-5.9}{2} \approx -3.45$, что меньше -3, значит, он не подходит.

Случай 2: $x+3 < 0$, то есть $x < -3$. Тогда $|x+3| = -(x+3)$.

$2x^2 + 3(x+3) + 5x - 8 = 0$

$2x^2 + 3x + 9 + 5x - 8 = 0$

$2x^2 + 8x + 1 = 0$

$D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 64 - 8 = 56$.

$x_{3,4} = \frac{-8 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{14}}{2}$.

Проверяем условие $x < -3$. Корень $x_3 = \frac{-4+\sqrt{14}}{2} \approx \frac{-4+3.7}{2} \approx -0.15$, что не меньше -3, не подходит. Корень $x_4 = \frac{-4-\sqrt{14}}{2} \approx \frac{-4-3.7}{2} \approx -3.85$, что меньше -3, подходит.

Ответ: $\frac{-4 - \sqrt{14}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{35}}{2}$.

6) $4x^2 + 5|x-1| + 4x + 11 = 1$

Перенесем 1 в левую часть: $4x^2 + 5|x-1| + 4x + 10 = 0$. Раскрываем модуль $|x-1|$.

Случай 1: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Тогда $|x-1| = x-1$.

$4x^2 + 5(x-1) + 4x + 10 = 0$

$4x^2 + 5x - 5 + 4x + 10 = 0$

$4x^2 + 9x + 5 = 0$

$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.

$x_1 = \frac{-9+1}{8}=-1$ и $x_2 = \frac{-9-1}{8}=-\frac{5}{4}$. Ни один из корней не удовлетворяет условию $x \ge 1$. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $x-1 < 0$, то есть $x < 1$. Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

$4x^2 + 5(1-x) + 4x + 10 = 0$

$4x^2 + 5 - 5x + 4x + 10 = 0$

$4x^2 - x + 15 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 1 - 240 = -239$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Поскольку ни в одном из случаев нет решений, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

3. Найдите корни уравнения:

1) $1 - \frac{x}{x+2} = \frac{x}{x-3};$

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x+4} = 16 - \frac{3x-1}{x+4};$

3) $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x-12} = 3;$

4) $\frac{5}{2x+3} + \frac{3-2x}{x+2} = 10;$

5) $\frac{12}{x^2+2x} - \frac{3}{x^2+2x-2} = 1;$

6) $\frac{16}{x^2+5x-6} - \frac{20}{x^2+5x+6} = 1.$

1) $1 - \frac{x}{x+2} = \frac{x}{x-3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x+2 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 3$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $1 - \frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-3} = 0$.

Приведем все члены к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:

$\frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-3)} - \frac{x(x-3)}{(x+2)(x-3)} - \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю:

$(x+2)(x-3) - x(x-3) - x(x+2) = 0$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 3x + 2x - 6) - (x^2 - 3x) - (x^2 + 2x) = 0$

$x^2 - x - 6 - x^2 + 3x - x^2 - 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2 - x^2) + (-x + 3x - 2x) - 6 = 0$

$-x^2 - 6 = 0$

$x^2 = -6$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

2) $x^2 + \frac{1-3x}{x+4} = 16 - \frac{3x-1}{x+4}$

ОДЗ: $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Перенесем члены с переменной в левую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1-3x}{x+4} + \frac{3x-1}{x+4} = 16$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$x^2 + \frac{1-3x+3x-1}{x+4} = 16$

$x^2 + \frac{0}{x+4} = 16$

Поскольку $x \neq -4$, дробь $\frac{0}{x+4}$ равна 0. Уравнение упрощается до:

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x \neq -4$, поэтому является посторонним. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

3) $\frac{36}{x^2-12x} - \frac{3}{x-12} = 3$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 - 12x = x(x-12)$.

ОДЗ: $x(x-12) \neq 0$ и $x-12 \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Перепишем уравнение:

$\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3}{x-12} = 3$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-12)$:

$36 - 3x = 3x(x-12)$

$36 - 3x = 3x^2 - 36x$

Перенесем все члены в правую часть:

$3x^2 - 36x + 3x - 36 = 0$

$3x^2 - 33x - 36 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 12$ не удовлетворяет условию $x \neq 12$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

4) $\frac{5}{2x+3} + \frac{3-2x}{x+2} = 10$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Отсюда $x \neq -\frac{3}{2}$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x+3)(x+2)$ и умножим на него обе части уравнения:

$5(x+2) + (3-2x)(2x+3) = 10(2x+3)(x+2)$

Раскроем скобки:

$5x + 10 + (6x + 9 - 4x^2 - 6x) = 10(2x^2 + 4x + 3x + 6)$

$5x + 10 + 9 - 4x^2 = 10(2x^2 + 7x + 6)$

$-4x^2 + 5x + 19 = 20x^2 + 70x + 60$

Перенесем все члены в правую часть:

$20x^2 + 70x + 60 + 4x^2 - 5x - 19 = 0$

$24x^2 + 65x + 41 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 65^2 - 4 \cdot 24 \cdot 41 = 4225 - 3936 = 289 = 17^2$

$x_1 = \frac{-65 + 17}{2 \cdot 24} = \frac{-48}{48} = -1$

$x_2 = \frac{-65 - 17}{2 \cdot 24} = \frac{-82}{48} = -\frac{41}{24}$

Оба корня, $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{41}{24}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; $-\frac{41}{24}$.

5) $\frac{12}{x^2+2x} - \frac{3}{x^2+2x-2} = 1$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2+2x$. Уравнение примет вид:

$\frac{12}{y} - \frac{3}{y-2} = 1$

ОДЗ для $y$: $y \neq 0$ и $y \neq 2$.

Умножим обе части на общий знаменатель $y(y-2)$:

$12(y-2) - 3y = y(y-2)$

$12y - 24 - 3y = y^2 - 2y$

$9y - 24 = y^2 - 2y$

$y^2 - 11y + 24 = 0$

По теореме Виета, $y_1 = 3$, $y_2 = 8$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$

$x^2 + 2x = 3 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Случай 2: $y = 8$

$x^2 + 2x = 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни: $x_3 = 2$, $x_4 = -4$.

Проверим ОДЗ для $x$. Знаменатели исходного уравнения $x^2+2x$ и $x^2+2x-2$ не должны быть равны нулю. Это соответствует $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, что мы уже учли. Все найденные корни $1, -3, 2, -4$ являются решениями.

Ответ: -4; -3; 1; 2.

6) $\frac{16}{x^2+5x-6} - \frac{20}{x^2+5x+6} = 1$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2+5x$. Уравнение примет вид:

$\frac{16}{y-6} - \frac{20}{y+6} = 1$

ОДЗ для $y$: $y \neq 6$ и $y \neq -6$.

Умножим обе части на общий знаменатель $(y-6)(y+6) = y^2-36$:

$16(y+6) - 20(y-6) = y^2-36$

$16y + 96 - 20y + 120 = y^2 - 36$

$-4y + 216 = y^2 - 36$

$y^2 + 4y - 252 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 4^2 - 4(1)(-252) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$

$y_1 = \frac{-4+32}{2} = 14$

$y_2 = \frac{-4-32}{2} = -18$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 14$

$x^2 + 5x = 14 \Rightarrow x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -7$.

Случай 2: $y = -18$

$x^2 + 5x = -18 \Rightarrow x^2 + 5x + 18 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(18) = 25 - 72 = -47 < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Проверим ОДЗ для $x$. Знаменатели $x^2+5x-6$ и $x^2+5x+6$ не равны нулю. Это соответствует $y \neq 6$ и $y \neq -6$, что было учтено. Найденные корни $2$ и $-7$ являются решениями.

Ответ: -7; 2.

4. Решите неравенство:

1) $(x - 2)(x + 3)(x - 1)^2 > 0;$

2) $(2x - 3)(x + 5)(3x - 1)^3 \le 0;$

3) $|x - 2|(x + 4)(x - 5)^2 \le 0;$

4) $\frac{2}{a + 3} + \frac{1}{a + 1} < \frac{3}{a + 2};$

5) $\frac{2}{a - 2} - \frac{1}{a + 2} > 2;$

6) $\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \le \frac{1}{x + 1}.$

1) $(x-2)(x+3)(x-1)^2 \ge 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $(x-2)(x+3)(x-1)^2 = 0$.

Корнями уравнения являются $x=-3$, $x=1$ и $x=2$.

Отметим кратность корней. Корень $x=1$ имеет кратность 2 (четная), так как множитель $(x-1)$ находится в квадрате. Это значит, что при переходе через точку $x=1$ знак выражения на числовой оси меняться не будет. Корни $x=-3$ и $x=2$ имеют кратность 1 (нечетная), поэтому при переходе через эти точки знак будет меняться.

Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: -3, 1, 2. Они разбивают ось на интервалы. Определим знак выражения на крайнем правом интервале $(2, \infty)$, взяв пробную точку, например $x=10$: $(10-2)(10+3)(10-1)^2 = 8 \cdot 13 \cdot 9^2 > 0$. Знак «+».

Теперь расставим знаки на остальных интервалах, двигаясь справа налево:

- на $(2, \infty)$ знак «+»

- при переходе через $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(1, 2)$ имеет знак «-».

- при переходе через $x=1$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-3, 1)$ также имеет знак «-».

- при переходе через $x=-3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(-\infty, -3)$ имеет знак «+».

Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это происходит на интервалах, где стоит знак «+», а также в точках, где выражение равно нулю. Выражение равно нулю в точках $x=-3, x=1, x=2$.

Объединяя интервалы со знаком «+» и точки, где выражение равно нулю, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup [2, \infty)$.

2) $(2x-3)(x+5)(3x-1)^3 \le 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни: $2x-3=0 \Rightarrow x=3/2$; $x+5=0 \Rightarrow x=-5$; $3x-1=0 \Rightarrow x=1/3$.

Все корни ($x=-5, x=1/3, x=3/2$) имеют нечетную кратность (1, 1 и 3 соответственно), поэтому при переходе через каждую из этих точек на числовой оси знак выражения будет меняться.

Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: -5, 1/3, 3/2.

Определим знак на крайнем правом интервале $(3/2, \infty)$, взяв $x=2$: $(2\cdot2-3)(2+5)(3\cdot2-1)^3 = 1 \cdot 7 \cdot 5^3 > 0$. Знак «+».

Расставляем знаки, двигаясь справа налево: $(-\infty, -5) \rightarrow -$; $(-5, 1/3) \rightarrow +$; $(1/3, 3/2) \rightarrow -$; $(3/2, \infty) \rightarrow +$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-» и точки, где выражение равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1/3, 3/2]$.

3) $|x-2|(x+4)(x-5)^2 \le 0$

Проанализируем множители. Множитель $|x-2|$ всегда неотрицателен ($|x-2| \ge 0$). Множитель $(x-5)^2$ также всегда неотрицателен ($(x-5)^2 \ge 0$).

Произведение трех множителей будет меньше или равно нулю, если:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $|x-2|=0 \Rightarrow x=2$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$; $(x-5)^2=0 \Rightarrow x=5$. Все эти три значения являются решениями.

2. Произведение строго меньше нуля. Так как первые два множителя ($|x-2|$ и $(x-5)^2$) неотрицательны, для отрицательности всего произведения необходимо, чтобы третий множитель был отрицателен, а первые два не равнялись нулю. То есть: $x+4 < 0$ и $x \ne 2$ и $x \ne 5$. Из $x+4 < 0$ следует $x < -4$. Это условие уже исключает $x=2$ и $x=5$.

Объединяем полученные результаты: $x < -4$ или $x=-4$ (что дает $x \le -4$), а также изолированные точки $x=2$ и $x=5$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup \{2, 5\}$.

4) $\frac{2}{a+3} + \frac{1}{a+1} < \frac{3}{a+2}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{2}{a+3} + \frac{1}{a+1} - \frac{3}{a+2} < 0$.

Общий знаменатель: $(a+3)(a+1)(a+2)$.

$\frac{2(a+1)(a+2) + 1(a+3)(a+2) - 3(a+3)(a+1)}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{2(a^2+3a+2) + (a^2+5a+6) - 3(a^2+4a+3)}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$.

$\frac{2a^2+6a+4 + a^2+5a+6 - 3a^2-12a-9}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{(2+1-3)a^2 + (6+5-12)a + (4+6-9)}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$.

$\frac{-a+1}{(a+3)(a+1)(a+2)} < 0$

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $a=1$. Корни знаменателя: $a=-3, a=-1, a=-2$.

Наносим точки -3, -2, -1, 1 на числовую ось. Все корни имеют нечетную кратность.

Проверяем знак на интервале $(1, \infty)$, взяв $a=2$: $\frac{-2+1}{(2+3)(2+1)(2+2)} = \frac{-1}{5 \cdot 3 \cdot 4} < 0$. Знак «-».

Знаки на интервалах: $(-\infty, -3) \rightarrow -$; $(-3, -2) \rightarrow +$; $(-2, -1) \rightarrow -$; $(-1, 1) \rightarrow +$; $(1, \infty) \rightarrow -$.

Нам нужны интервалы со знаком «-». Так как неравенство строгое, точки в ответ не включаются.

Ответ: $a \in (-\infty, -3) \cup (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

5) $\frac{2}{a-2} - \frac{1}{a+2} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю $(a-2)(a+2)=a^2-4$:

$\frac{2(a+2) - 1(a-2) - 2(a^2-4)}{(a-2)(a+2)} > 0$

$\frac{2a+4 - a+2 - 2a^2+8}{(a-2)(a+2)} > 0$

$\frac{-2a^2+a+14}{(a-2)(a+2)} > 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный: $\frac{2a^2-a-14}{(a-2)(a+2)} < 0$.

Найдем корни числителя $2a^2-a-14=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 1 + 112 = 113$. Корни: $a_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{113}}{4}$.

Корни знаменателя: $a=-2$ и $a=2$.

Сравним корни. $\sqrt{100} < \sqrt{113} < \sqrt{121}$, т.е. $10 < \sqrt{113} < 11$.

$a_1 = \frac{1-\sqrt{113}}{4} \approx \frac{1-10.6}{4} \approx -2.4$. Этот корень меньше -2.

$a_2 = \frac{1+\sqrt{113}}{4} \approx \frac{1+10.6}{4} \approx 2.9$. Этот корень больше 2.

Наносим точки на ось в порядке: $\frac{1-\sqrt{113}}{4}$, -2, 2, $\frac{1+\sqrt{113}}{4}$.

Определяем знаки для выражения $\frac{2a^2-a-14}{(a-2)(a+2)}$. При $a=3$ выражение $\frac{2(9)-3-14}{(3-2)(3+2)} = \frac{1}{5} > 0$. Знак «+».

Знаки на интервалах: $(-\infty, \frac{1-\sqrt{113}}{4}) \rightarrow +$; $(\frac{1-\sqrt{113}}{4}, -2) \rightarrow -$; $(-2, 2) \rightarrow +$; $(2, \frac{1+\sqrt{113}}{4}) \rightarrow -$; $(\frac{1+\sqrt{113}}{4}, \infty) \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля («-»).

Ответ: $a \in (\frac{1 - \sqrt{113}}{4}, -2) \cup (2, \frac{1 + \sqrt{113}}{4})$.

6) $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} \le \frac{1}{x+1}$

Перенесем все в левую часть: $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1} \le 0$.

Общий знаменатель $(x-3)(x+3)(x+1)$.

$\frac{2(x+3)(x+1) - 1(x-3)(x+1) - 1(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{2(x^2+4x+3) - (x^2-2x-3) - (x^2-9)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{2x^2+8x+6 - x^2+2x+3 - x^2+9}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{10x+18}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

Метод интервалов. Корень числителя: $10x+18=0 \Rightarrow x = -1.8$ или $x = -9/5$.

Корни знаменателя: $x=3, x=-3, x=-1$.

Наносим точки на ось: -3, -1.8, -1, 3.

Проверяем знак на $(3, \infty)$, взяв $x=4$: $\frac{10(4)+18}{(4-3)(4+3)(4+1)} > 0$. Знак «+».

Знаки на интервалах: $(-\infty, -3) \rightarrow +$; $(-3, -1.8) \rightarrow -$; $(-1.8, -1) \rightarrow +$; $(-1, 3) \rightarrow -$; $(3, \infty) \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы со знаком «-» и точка, где числитель равен нулю. Корень числителя $x=-1.8$ включаем, корни знаменателя исключаем.

Ответ: $x \in (-3, -1.8] \cup (-1, 3)$.

Почему многочлены $7x - 9yxy^2 - 8xy + 5xy$ и $7x^2 - 9xy^3 - 8xy + 5xy$ нельзя назвать многочленами стандартного вида, а многочлен $7x^2 - 9xy^3 - 3xy$ — можно?

Для того чтобы многочлен был записан в стандартном виде, он должен удовлетворять двум основным условиям:

1. Каждый член многочлена (одночлен) должен быть представлен в стандартном виде. Это означает, что он является произведением числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Например, $7x^2y$ — это одночлен стандартного вида, а $7xyx$ — нет, так как переменную $x$ можно упростить до $x^2$.

2. В многочлене не должно быть подобных членов. Подобные члены — это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть (например, $5xy$ и $-8xy$). Их необходимо сложить или вычесть (привести подобные слагаемые).

Рассмотрим каждый многочлен на соответствие этим правилам.

Почему многочлен $7xx - 9yxy^2 - 8xy + 5xy$ нельзя назвать многочленом стандартного вида

Этот многочлен нарушает оба условия стандартного вида.

1. Не все члены в стандартном виде. Член $7xx$ не является одночленом стандартного вида, так как переменная $x$ повторяется. Его стандартный вид — $7x^2$. Член $-9yxy^2$ также не в стандартном виде. Его стандартная форма — $-9xy^3$.

2. Есть подобные члены. Члены $-8xy$ и $5xy$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $xy$. Их можно и нужно привести: $-8xy + 5xy = -3xy$.

Ответ: Этот многочлен не является многочленом стандартного вида, так как не все его члены записаны в стандартном виде (например, $7xx$ и $-9yxy^2$) и он содержит подобные члены ($-8xy$ и $5xy$).

Почему многочлен $7x^2 - 9xy^3 - 8xy + 5xy$ нельзя назвать многочленом стандартного вида

В этом многочлене все одночлены ($7x^2$, $-9xy^3$, $-8xy$, $5xy$) уже приведены к стандартному виду. Таким образом, первое условие выполнено. Однако многочлен нарушает второе условие.

1. Все члены в стандартном виде. Это условие выполнено.

2. Есть подобные члены. Члены $-8xy$ и $5xy$ являются подобными, и их необходимо привести: $-8xy + 5xy = -3xy$.

Ответ: Этот многочлен не является многочленом стандартного вида, поскольку он содержит подобные члены ($-8xy$ и $5xy$), которые можно привести.

Почему многочлен $7x^2 - 9xy^3 - 3xy$ можно назвать многочленом стандартного вида

Этот многочлен удовлетворяет обоим условиям стандартного вида.

1. Все члены в стандартном виде. Члены $7x^2$, $-9xy^3$ и $-3xy$ являются одночленами стандартного вида.

2. Нет подобных членов. Буквенные части всех членов ($x^2$, $xy^3$ и $xy$) различны, поэтому подобных членов нет.

Ответ: Этот многочлен является многочленом стандартного вида, так как все его члены — одночлены стандартного вида, и среди них нет подобных.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему многочлены: $x + y$, $x^2 + y^2$, $x^3 + y^3$, $xy(x + y)$ являются симметрическими, а многочлены $x^2y - xy^2$, $x^2 - y^2$, $x^3 - y^3$ — нет?

Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке (замене) своих переменных. В случае двух переменных $x$ и $y$ это означает, что многочлен $P(x, y)$ является симметрическим, если при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ он остается неизменным, то есть выполняется равенство $P(x, y) = P(y, x)$.

Проверим это свойство для каждого из данных многочленов.

Почему многочлены $x + y, x^2+ y^2, x^3 + y^3, xy(x + y)$ являются симметрическими

Проверим каждый многочлен из этой группы, выполнив замену переменных $x \leftrightarrow y$.

• Для многочлена $P(x, y) = x + y$:

  Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Получим $P(y, x) = y + x$.

  Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения), $y + x = x + y$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = x^2 + y^2$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^2 + x^2$.

  В силу коммутативности сложения, $y^2 + x^2 = x^2 + y^2$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = x^3 + y^3$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^3 + x^3$.

  Опять же, $y^3 + x^3 = x^3 + y^3$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = xy(x + y)$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = yx(y + x)$.

  Так как умножение и сложение коммутативны, $yx = xy$ и $y + x = x + y$.

  Таким образом, $yx(y + x) = xy(x + y)$.

  Следовательно, $P(x, y) = P(y, x)$, и многочлен является симметрическим.

Ответ: Эти многочлены являются симметрическими, потому что при замене переменных $x$ на $y$ и $y$ на $x$ выражение для каждого многочлена не изменяется.

Почему многочлены $x^2y - xy^2, x^2 - y^2, x^3 - y^3$ не являются симметрическими

Проверим каждый многочлен из этой группы, выполнив ту же замену переменных $x \leftrightarrow y$.

• Для многочлена $P(x, y) = x^2y - xy^2$:

  Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Получим $P(y, x) = y^2x - yx^2$.

  Сравним исходный и новый многочлены: $x^2y - xy^2$ и $y^2x - yx^2$.

  Они не равны. Например, при $x=2, y=1$, $P(2,1) = 2^2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 = 2$, а $P(1,2) = 1^2 \cdot 2 - 1 \cdot 2^2 = 2 - 4 = -2$.

  Так как $P(x, y) \neq P(y, x)$, многочлен не является симметрическим. (Он является кососимметрическим, так как $P(y, x) = -P(x, y)$).

• Для многочлена $P(x, y) = x^2 - y^2$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^2 - x^2$.

  Выражение $x^2 - y^2$ не равно $y^2 - x^2$ (за исключением случая, когда оно равно нулю).

  Так как $P(x, y) \neq P(y, x)$, многочлен не является симметрическим.

• Для многочлена $P(x, y) = x^3 - y^3$:

  После замены переменных получаем $P(y, x) = y^3 - x^3$.

  Выражение $x^3 - y^3$ не равно $y^3 - x^3$.

  Так как $P(x, y) \neq P(y, x)$, многочлен не является симметрическим.

Ответ: Эти многочлены не являются симметрическими, потому что при замене переменных $x$ на $y$ и $y$ на $x$ их вид изменяется.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему многочлены: $x + 3y$, $x^2 + y^2$, $x^3 + y^3$, $xy(x + y)$, $x^2y - xy^2$, $x^3 - y^3$ являются однородными, а многочлены: $x + y^2$, $x^3 - 3y$ — нет?

Многочлен называется однородным, если все его члены (одночлены) имеют одну и ту же степень. Степенью одночлена, состоящего из произведения переменных, называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Степенью однородного многочлена называют степень любого из его членов.

Почему многочлены $x + 3y, x^2 + y^2, x^3 + y^3, xy(x + y), x^2y - xy^2, x^3 - y^3$ являются однородными

Рассмотрим каждый многочлен из этой группы, определив степень каждого его члена:

• Для многочлена $x + 3y$: член $x$ имеет степень 1, член $3y$ имеет степень 1. Так как степени всех членов равны 1, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^2 + y^2$: член $x^2$ имеет степень 2, член $y^2$ имеет степень 2. Так как степени всех членов равны 2, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^3 + y^3$: член $x^3$ имеет степень 3, член $y^3$ имеет степень 3. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

• Для многочлена $xy(x + y)$, раскроем скобки: $xy(x + y) = x^2y + xy^2$. Член $x^2y$ (т.е. $x^2y^1$) имеет степень $2+1=3$. Член $xy^2$ (т.е. $x^1y^2$) имеет степень $1+2=3$. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^2y - xy^2$: член $x^2y$ имеет степень $2+1=3$, член $-xy^2$ имеет степень $1+2=3$. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

• Для многочлена $x^3 - y^3$: член $x^3$ имеет степень 3, член $-y^3$ имеет степень 3. Так как степени всех членов равны 3, многочлен является однородным.

Ответ: эта группа многочленов является однородными, потому что в каждом из них все составляющие их одночлены имеют одинаковую степень.

Почему многочлены $x + y^2, x^3 - 3y$ не являются однородными

Рассмотрим многочлены из этой группы:

• Для многочлена $x + y^2$: член $x$ (т.е. $x^1$) имеет степень 1, а член $y^2$ имеет степень 2. Так как степени членов различны (1 и 2), многочлен не является однородным.

• Для многочлена $x^3 - 3y$: член $x^3$ имеет степень 3, а член $-3y$ (т.е. $-3y^1$) имеет степень 1. Так как степени членов различны (3 и 1), многочлен не является однородным.

Ответ: эта группа многочленов не является однородными, потому что в каждом из них составляющие их одночлены имеют разные степени.