Страница 3, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Перечислите члены многочлена $xy + 1.5x^3 - 7y^5$.

Многочлен представляет собой алгебраическую сумму одночленов. Эти одночлены и являются членами многочлена. Чтобы их перечислить, необходимо рассмотреть выражение как сумму отдельных слагаемых.

Дан многочлен $xy + 1,5x^3 - 7y^5$.

Мы можем переписать это выражение, представив операцию вычитания как сложение с отрицательным одночленом. Таким образом, многочлен можно записать в виде следующей суммы:

$xy + 1,5x^3 + (-7y^5)$

Из этой записи видно, что слагаемыми, то есть членами многочлена, являются:

Первый член: $xy$

Второй член: $1,5x^3$

Третий член: $-7y^5$

Ответ: Членами многочлена являются $xy$, $1,5x^3$ и $-7y^5$.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему выражения $x^3y^3$, $8a^3y^5$, $13$, $y$, $m^2$ являются одночленами, выражения $x^3 + y^3$, $a^3 - 8y^3$, $13 + 67$, $y - 5$ не являются одночленами?

Чтобы понять разницу, нужно сначала дать определение одночлена.

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (или нулевыми) показателями. Важно, что одночлен не содержит операций сложения и вычитания, которые бы разделяли его на несколько частей.

Выражения, состоящие из алгебраической суммы (то есть, соединенные знаками "+" или "−") нескольких одночленов, называются многочленами.

Теперь разберем каждую группу выражений.

Почему выражения $x^3y^3$, $8a^3y^5$, $13$, $y$, $m^2$ являются одночленами

Эти выражения являются одночленами, потому что каждое из них представляет собой единое целое, являющееся произведением. В них нет знаков "+" или "−", разделяющих их на отдельные слагаемые.

• $x^3y^3$ — это произведение переменных $x^3$ и $y^3$.
• $8a^3y^5$ — это произведение числа $8$ и переменных в степенях $a^3$ и $y^5$.
• $13$ — это просто число, которое по определению является одночленом.
• $y$ — это переменная, которая также является одночленом (можно представить как $1 \cdot y^1$).
• $m^2$ — это переменная во второй степени, что соответствует определению одночлена.

Ответ: Данные выражения являются одночленами, потому что они представляют собой произведение чисел и переменных в натуральных степенях и не содержат операций сложения или вычитания.

Почему выражения $x^3+y^3$, $a^3-8y^5$, $13+67$, $y-5$ не являются одночленами

Эти выражения не являются одночленами, так как они состоят из двух одночленов, соединенных знаком сложения или вычитания. Такие выражения являются многочленами (в данном случае — двучленами).

• $x^3+y^3$ — это сумма двух одночленов: $x^3$ и $y^3$.
• $a^3-8y^5$ — это разность двух одночленов: $a^3$ и $8y^5$.
• $13+67$ — это сумма двух одночленов (чисел): $13$ и $67$.
• $y-5$ — это разность двух одночленов: $y$ и $5$.

Наличие знаков "+" или "−" указывает на то, что выражение состоит из нескольких слагаемых (членов), а значит, не может быть одночленом.

Ответ: Данные выражения не являются одночленами, так как представляют собой алгебраическую сумму или разность двух одночленов, то есть являются многочленами.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему выражение $ \frac{z^2 + x + y}{8} $ является многочленом, выражение $ \frac{x^4}{y-23} + 2x - x^2 $ не является многочленом?

Для того чтобы понять, почему одно выражение является многочленом, а другое нет, необходимо вспомнить определение многочлена.

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. В свою очередь, одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (целыми неотрицательными) показателями.

Ключевой момент в определении: в многочлене не допускается деление на переменную. Деление на число (константу) допускается, так как это равносильно умножению на обратное число (например, деление на 8 — это то же самое, что умножение на $\frac{1}{8}$).

Почему выражение $\frac{z^2+x+y}{8}$ является многочленом?

Данное выражение можно переписать, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{z^2+x+y}{8} = \frac{z^2}{8} + \frac{x}{8} + \frac{y}{8}$

Это можно представить как:

$\frac{1}{8}z^2 + \frac{1}{8}x + \frac{1}{8}y$

Это выражение является суммой трех одночленов: $\frac{1}{8}z^2$, $\frac{1}{8}x$ и $\frac{1}{8}y$. В каждом из них переменные возведены в натуральную степень ($2$ и $1$), и они умножаются на числовые коэффициенты ($\frac{1}{8}$). Деление происходит на константу $8$, что не противоречит определению многочлена.

Ответ: Данное выражение является многочленом, так как представляет собой сумму одночленов и не содержит операции деления на переменную.

Почему выражение $\frac{x^4}{y-23} + 2x - x^2$ не является многочленом?

Рассмотрим первое слагаемое в этом выражении: $\frac{x^4}{y-23}$. В знаменателе этой дроби находится выражение $y-23$, которое содержит переменную $y$.

Согласно определению, многочлен не может содержать операцию деления на переменную или на выражение, содержащее переменную. Наличие слагаемого $\frac{x^4}{y-23}$ нарушает это правило. Такие выражения, которые содержат деление на переменные, называются рациональными выражениями (или алгебраическими дробями), но не многочленами.

Ответ: Данное выражение не является многочленом, потому что в его состав входит слагаемое $\frac{x^4}{y-23}$, которое содержит деление на выражение с переменной ($y-23$).