Номер 30.1, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.1. Запишите в виде многочлена стандартного вида выражение:

1) $(x - 1)(x + 1)(x - 3)$;

2) $(x - 1)(x + 3)(x - 3)$;

3) $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$;

4) $(x - 1)(x + 1) + (x^2 - 2)(x - 3)$.

1) Для того чтобы записать выражение $(x - 1)(x + 1)(x - 3)$ в виде многочлена стандартного вида, сначала применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь умножим полученный двучлен на третий множитель $(x - 3)$:

$(x^2 - 1)(x - 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-3) = x^3 - 3x^2 - x + 3$.

Полученный многочлен $x^3 - 3x^2 - x + 3$ уже находится в стандартном виде, так как все его члены являются одночленами стандартного вида и расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $x^3 - 3x^2 - x + 3$.

2) В выражении $(x - 1)(x + 3)(x - 3)$ заметим, что последние два множителя образуют разность квадратов:

$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Далее умножим первый множитель $(x - 1)$ на полученный результат:

$(x - 1)(x^2 - 9) = x \cdot x^2 + x \cdot (-9) - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot (-9) = x^3 - 9x - x^2 + 9$.

Для приведения многочлена к стандартному виду расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $x$:

$x^3 - x^2 - 9x + 9$.

Ответ: $x^3 - x^2 - 9x + 9$.

3) В выражении $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$ можно переставить множители, чтобы использовать формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2)(x + 1) = (x^2 - 2^2)(x + 1) = (x^2 - 4)(x + 1)$.

Теперь перемножим полученные двучлены:

$(x^2 - 4)(x + 1) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1 - 4 \cdot x - 4 \cdot 1 = x^3 + x^2 - 4x - 4$.

Многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: $x^3 + x^2 - 4x - 4$.

4) Данное выражение является суммой двух произведений: $(x - 1)(x + 1) + (x^2 - 2)(x - 3)$. Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое — это разность квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Второе слагаемое — это произведение двух двучленов, раскроем скобки:

$(x^2 - 2)(x - 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-3) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3) = x^3 - 3x^2 - 2x + 6$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 1) + (x^3 - 3x^2 - 2x + 6) = x^2 - 1 + x^3 - 3x^2 - 2x + 6$.

Приведем подобные члены и запишем результат в стандартном виде:

$x^3 + (x^2 - 3x^2) - 2x + (-1 + 6) = x^3 - 2x^2 - 2x + 5$.

Ответ: $x^3 - 2x^2 - 2x + 5$.