Номер 30.11, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.11. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $ \frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}} $

2) $ \frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3} $

30.12. Найдите период функции:

1) Чтобы представить выражение в виде рациональной дроби, выполним операции деления и умножения слева направо.

Исходное выражение: $ \frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}} $

Сначала заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{3x^3}{5y^3} \cdot \frac{4y^4}{27x^5} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}} $

Теперь упростим последнюю дробь, избавившись от отрицательной степени в знаменателе. По определению $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $, поэтому $ x^{-3} = \frac{1}{x^3} $.

$ \frac{45}{8y^2x^{-3}} = \frac{45}{8y^2 \cdot \frac{1}{x^3}} = \frac{45x^3}{8y^2} $

Подставим это обратно в выражение:

$ \frac{3x^3}{5y^3} \cdot \frac{4y^4}{27x^5} \cdot \frac{45x^3}{8y^2} $

Объединим все в одну дробь, перемножив числители и знаменатели:

$ \frac{3x^3 \cdot 4y^4 \cdot 45x^3}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 8y^2} $

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{(3 \cdot 4 \cdot 45) \cdot (x^3 \cdot x^3) \cdot y^4}{(5 \cdot 27 \cdot 8) \cdot x^5 \cdot (y^3 \cdot y^2)} $

Выполним умножение и применим свойства степеней ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):

$ \frac{540 \cdot x^{3+3} \cdot y^4}{1080 \cdot x^5 \cdot y^{3+2}} = \frac{540x^6y^4}{1080x^5y^5} $

Сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты: $ \frac{540}{1080} = \frac{1}{2} $.

Сокращаем переменные, используя свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x^1 = x $

$ \frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y} $

Собираем все вместе:

$ \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{2y} $

Ответ: $ \frac{x}{2y} $

2) Выполним операции деления последовательно слева направо. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

Исходное выражение: $ \frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3} $

Заменим оба знака деления на умножение на обратные дроби:

$ \frac{25a(b-1)}{81d} \cdot \frac{27ab}{5cd^2} \cdot \frac{2c^3d^3}{a^3(b-1)} $

Запишем все множители в одну дробь:

$ \frac{25a(b-1) \cdot 27ab \cdot 2c^3d^3}{81d \cdot 5cd^2 \cdot a^3(b-1)} $

Теперь проведем сокращение. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$ \frac{25 \cdot 27 \cdot 2}{81 \cdot 5} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot 27 \cdot 2}{(3 \cdot 27) \cdot 5} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} $

Теперь сократим переменные:

Для переменной $ a $: $ \frac{a \cdot a}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a} $

Для переменной $ b $: в числителе есть множитель $ b $, в знаменателе его нет.

Для множителя $ (b-1) $: $ \frac{b-1}{b-1} = 1 $ (при условии $ b \neq 1 $)

Для переменной $ c $: $ \frac{c^3}{c} = c^{3-1} = c^2 $

Для переменной $ d $: $ \frac{d^3}{d \cdot d^2} = \frac{d^3}{d^3} = 1 $

Соберем все оставшиеся множители:

В числителе: $ 10, b, c^2 $

В знаменателе: $ 3, a $

Итоговая дробь:

$ \frac{10bc^2}{3a} $

Ответ: $ \frac{10bc^2}{3a} $