Номер 31.10, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.10. Известно, что $f(x)$ — многочлен степени $n$ и при всех значениях переменной $x$ выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. Докажите:

1) $n$ — четное натуральное число или нуль;

2) коэффициенты многочлена $f(x)$ при нечетных степенях $x$ равны 0.

Пусть многочлен $f(x)$ степени $n$ записан в общем виде:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_k x^k + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n \neq 0$ (для $n \ge 1$).

Если $n=0$, то $f(x) = a_0$, где $a_0$ - константа.

По условию, для всех значений $x$ выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. Такие функции называются четными.

Найдем выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ в многочлен:

$f(-x) = a_n (-x)^n + a_{n-1} (-x)^{n-1} + \dots + a_k (-x)^k + \dots + a_1 (-x) + a_0$.

Используя свойство $(-x)^k = (-1)^k x^k$, перепишем $f(-x)$:

$f(-x) = a_n (-1)^n x^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} x^{n-1} + \dots + a_k (-1)^k x^k + \dots - a_1 x + a_0$.

Приравняем многочлены $f(x)$ и $f(-x)$:

$a_n x^n + \dots + a_k x^k + \dots + a_0 = a_n (-1)^n x^n + \dots + a_k (-1)^k x^k + \dots + a_0$.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравнивая коэффициенты при $x^k$ для всех $k$ от $0$ до $n$, получаем:

$a_k = a_k (-1)^k$.

Перенеся все в левую часть, получим $a_k - a_k (-1)^k = 0$, или

$a_k (1 - (-1)^k) = 0$.

Это соотношение является ключом к доказательству обоих утверждений.

1) n — четное натуральное число или нуль;

Рассмотрим полученное выше соотношение для старшего коэффициента многочлена, то есть для $k=n$:

$a_n (1 - (-1)^n) = 0$.

По определению степени многочлена, старший коэффициент $a_n$ не равен нулю ($a_n \neq 0$). Если $n=0$, то $f(x) = a_0$, $f(-x) = a_0$, равенство $f(x)=f(-x)$ выполняется, и $n=0$ является четным числом. Если $n \ge 1$, то $a_n \neq 0$. Следовательно, для выполнения равенства $a_n (1 - (-1)^n) = 0$, необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$1 - (-1)^n = 0$.

Это уравнение равносильно тому, что $(-1)^n = 1$.

Такое равенство справедливо только в том случае, если показатель степени $n$ является четным числом. Так как степень многочлена $n$ — это неотрицательное целое число, то $n$ может быть либо нулем, либо четным натуральным числом ($2, 4, 6, \dots$).

Ответ: Доказано, что $n$ — четное натуральное число или нуль.

2) коэффициенты многочлена f(x) при нечетных степенях x равны 0.

Вновь обратимся к основному соотношению для коэффициентов: $a_k (1 - (-1)^k) = 0$.

Рассмотрим это равенство для любого нечетного индекса $k$ (например, $k=1, 3, 5, \dots$). Если $k$ — нечетное число, то $(-1)^k = -1$. Подставим это значение в соотношение:

$a_k (1 - (-1)) = 0$

$a_k (1 + 1) = 0$

$2a_k = 0$.

Из последнего равенства следует, что $a_k = 0$ для любого нечетного $k$. Таким образом, все коэффициенты многочлена при нечетных степенях $x$ равны нулю.

Ответ: Доказано, что коэффициенты многочлена $f(x)$ при нечетных степенях $x$ равны 0.