Номер 31.14, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.14. Постройте график функции $y = |x^2 + 2x - 8|$. Найдите:

1) координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

2) промежутки монотонности функции;

3) ось симметрии графика функции;

4) значение параметра $p$, при котором уравнение $p = |x^2 + 2x - 8|$ имеет три корня.

Для построения графика функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 + 2x - 8$.Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх.Найдем координаты вершины параболы ($x_в, y_в$):$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$.Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$:Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.График функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ получается из графика параболы $y = x^2 + 2x - 8$ следующим образом: часть графика, где $y \ge 0$ (при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$), остается без изменений, а часть графика, где $y < 0$ (при $x \in (-4, 2)$), симметрично отражается относительно оси Ox. При этом вершина $(-1, -9)$ переходит в точку $(-1, 9)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Пересечение с осью Oy: подставляем $x=0$ в уравнение функции.$y = |0^2 + 2 \cdot 0 - 8| = |-8| = 8$.Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 8)$.

Пересечение с осью Ox: решаем уравнение $y=0$.$|x^2 + 2x - 8| = 0$, что эквивалентно $x^2 + 2x - 8 = 0$.Корни этого уравнения, как мы нашли ранее, $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.Точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0, 8)$; с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

Для определения промежутков монотонности проанализируем построенный график. Точки, в которых характер монотонности меняется, — это точки экстремумов. Для данной функции это $x=-4$ (локальный минимум), $x=-1$ (локальный максимум) и $x=2$ (локальный минимум).- На промежутке $(-\infty, -4]$ функция убывает.- На промежутке $[-4, -1]$ функция возрастает.- На промежутке $[-1, 2]$ функция убывает.- На промежутке $[2, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4, -1]$ и $[2, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[-1, 2]$.

Исходная парабола $y = x^2 + 2x - 8$ симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Ось симметрии параболы — это прямая $x = -1$. Поскольку операция взятия модуля является симметричным преобразованием относительно этой же оси, график функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ также симметричен относительно прямой $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

Число корней уравнения $p = |x^2 + 2x - 8|$ равно числу точек пересечения графика функции $y = |x^2 + 2x - 8|$ и горизонтальной прямой $y = p$.Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения $p$:- При $p < 0$ — 0 корней (нет пересечений).- При $p = 0$ — 2 корня (прямая $y=0$ проходит через точки $(-4,0)$ и $(2,0)$).- При $0 < p < 9$ — 4 корня.- При $p = 9$ — 3 корня. Прямая $y=9$ касается графика в его локальном максимуме, точке $(-1, 9)$, и пересекает две другие ветви графика.- При $p > 9$ — 2 корня.Уравнение имеет ровно три корня, когда прямая $y=p$ проходит через вершину отраженной части параболы, то есть при $p=9$.

Ответ: $p = 9$.