Вопросы, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях используется схема Горнера?

2. Как найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$?

1. В каких случаях используется схема Горнера?

Схема Горнера — это эффективный алгоритм, который применяется в нескольких ключевых ситуациях при работе с многочленами. Основные случаи её использования:

• Вычисление значения многочлена в точке. Схема Горнера позволяет быстро найти значение многочлена $P(x)$ в точке $x = c$. Этот метод требует меньше арифметических операций (всего $n$ умножений и $n$ сложений для многочлена степени $n$), чем прямое вычисление по формуле, что делает его особенно эффективным для компьютерных вычислений.

• Деление многочлена на двучлен вида $(x - c)$. Это самое известное применение схемы. В результате одного применения алгоритма одновременно находятся как коэффициенты частного (нового многочлена, степень которого на единицу меньше исходного), так и остаток от деления.

• Нахождение корней многочлена. Если остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x - c)$ равен нулю, то число $c$ является корнем этого многочлена. Схема Горнера позволяет систематически проверять предполагаемые рациональные корни (согласно теореме о рациональных корнях) и, в случае нахождения корня, сразу же получать коэффициенты многочлена меньшей степени, что упрощает поиск остальных корней.

• Разложение многочлена по степеням $(x - c)$. С помощью многократного применения схемы Горнера можно найти коэффициенты $d_k$ в разложении многочлена $P(x)$ по степеням двучлена $(x - c)$: $P(x) = d_n(x-c)^n + d_{n-1}(x-c)^{n-1} + \dots + d_1(x-c) + d_0$.

Ответ: Схема Горнера используется для быстрого вычисления значения многочлена в точке, для деления многочлена на двучлен вида $(x-c)$, для нахождения корней многочлена, а также для его разложения по степеням двучлена $(x-c)$.

2. Как найти остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x − c)?

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ используется теорема Безу (также известная как теорема об остатке).

Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на линейный двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $x = c$.

Это следует из определения операции деления многочлена с остатком. Деление $P(x)$ на $(x - c)$ можно представить в виде тождества:

$P(x) = Q(x) \cdot (x - c) + R$

Здесь $Q(x)$ — частное (неполное частное), а $R$ — остаток. Поскольку степень делителя $(x-c)$ равна 1, степень остатка $R$ должна быть меньше 1, то есть $R$ является константой (числом).

Данное равенство верно для любого значения переменной $x$. Если подставить в него значение $x = c$, мы получим:

$P(c) = Q(c) \cdot (c - c) + R$

$P(c) = Q(c) \cdot 0 + R$

$P(c) = R$

Следовательно, для нахождения остатка достаточно вычислить значение многочлена $P(x)$ при $x=c$.

Ответ: Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен $P(c)$, то есть значению этого многочлена в точке $c$.