Объясните, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему многочлены $x^6 - 116x^5 - x^4 + 4x^3 - x^2 - 116x + 1$; $13x^5 - x^4 + 47x^3 + 47x^2 - x + 13$ являются симметрическими?

Симметрическим (или возвратным) многочленом называется многочлен вида $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, у которого коэффициенты, равноудаленные от начала и конца, равны. Это означает, что для любого целого числа $k$ от 0 до $n$ выполняется условие $a_k = a_{n-k}$.

Проверим это свойство для каждого из заданных многочленов.

Многочлен $x^6 - 116x^5 - x^4 + 4x^3 - x^2 - 116x + 1$

Степень этого многочлена $n = 6$. Выпишем его коэффициенты по порядку:

$a_6 = 1$ (коэффициент при $x^6$)

$a_5 = -116$ (коэффициент при $x^5$)

$a_4 = -1$ (коэффициент при $x^4$)

$a_3 = 4$ (коэффициент при $x^3$)

$a_2 = -1$ (коэффициент при $x^2$)

$a_1 = -116$ (коэффициент при $x^1$)

$a_0 = 1$ (свободный член)

Теперь сравним коэффициенты, равноудаленные от концов, согласно условию $a_k = a_{6-k}$:

Первый и последний ($k=0$): $a_0 = 1$ и $a_6 = 1$. Они равны.

Второй и предпоследний ($k=1$): $a_1 = -116$ и $a_5 = -116$. Они равны.

Третий от начала и третий от конца ($k=2$): $a_2 = -1$ и $a_4 = -1$. Они равны.

Центральный коэффициент $a_3 = 4$ остается один, и условие для него ($a_3 = a_{6-3}$) выполняется тривиально.

Так как для всех пар коэффициентов условие симметрии выполнено, многочлен является симметрическим.

Ответ: Многочлен является симметрическим, так как его коэффициенты на симметричных позициях равны: $a_0=a_6=1$, $a_1=a_5=-116$ и $a_2=a_4=-1$.

Многочлен $13x^5 - x^4 + 47x^3 + 47x^2 - x + 13$

Степень этого многочлена $n = 5$. Выпишем его коэффициенты:

$a_5 = 13$ (коэффициент при $x^5$)

$a_4 = -1$ (коэффициент при $x^4$)

$a_3 = 47$ (коэффициент при $x^3$)

$a_2 = 47$ (коэффициент при $x^2$)

$a_1 = -1$ (коэффициент при $x^1$)

$a_0 = 13$ (свободный член)

Сравним коэффициенты, равноудаленные от концов, согласно условию $a_k = a_{5-k}$:

Первый и последний ($k=0$): $a_0 = 13$ и $a_5 = 13$. Они равны.

Второй и предпоследний ($k=1$): $a_1 = -1$ и $a_4 = -1$. Они равны.

Третий от начала и третий от конца ($k=2$): $a_2 = 47$ и $a_3 = 47$. Они равны.

Все пары симметричных коэффициентов равны, следовательно, этот многочлен также является симметрическим.

Ответ: Многочлен является симметрическим, так как его коэффициенты на симметричных позициях равны: $a_0=a_5=13$, $a_1=a_4=-1$ и $a_2=a_3=47$.