Страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1.9.1) $y = 2 + \sqrt{x}$;

2) $y = -\sqrt{x}$;

3) $y = -\sqrt{x} + 10$;

4) $y = -2,3 - \sqrt{x}$.

Для каждой из представленных функций необходимо найти область определения и область значений.

1) $y = 2 + \sqrt{x}$

Область определения (D(y)):

Функция содержит квадратный корень, поэтому выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. В данном случае это $x$, следовательно, $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений (E(y)):

Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ по определению принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Функция $y$ получается из $\sqrt{x}$ прибавлением числа 2. Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2$

$y \ge 2$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = [2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$; область значений $E(y) = [2, +\infty)$.

2) $y = -\sqrt{x}$

Область определения (D(y)):

Выражение под знаком корня $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений (E(y)):

Мы знаем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Функция $y$ равна $\sqrt{x}$, умноженному на -1. Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt{x} \le -1 \cdot 0$

$-\sqrt{x} \le 0$, что означает $y \le 0$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty, 0]$.

3) $y = -\sqrt{x} + 10$

Область определения (D(y)):

Условие для подкоренного выражения: $x \ge 0$. Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений (E(y)):

Начнем с того, что $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим на -1: $-\sqrt{x} \le 0$. Теперь прибавим 10 к обеим частям неравенства:

$-\sqrt{x} + 10 \le 0 + 10$

$y \le 10$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 10]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty, 10]$.

4) $y = -2,3 - \sqrt{x}$

Область определения (D(y)):

Условие для подкоренного выражения: $x \ge 0$. Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений (E(y)):

Начнем с неравенства $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим его на -1, изменив знак неравенства: $-\sqrt{x} \le 0$. Теперь вычтем 2,3 (или прибавим -2,3) из обеих частей:

$-\sqrt{x} - 2,3 \le 0 - 2,3$

$y \le -2,3$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty, -2,3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty, -2,3]$.

1.10.1) $y = |x| + 4;$

2) $y = |x| - 11;$

3) $y = 6 - |x|;$

4) $y = -|x| - 2.$

1) Для построения графика функции $y = |x| + 4$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = |x|$. График функции $y = |x|$ — это объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Преобразование вида $y = f(x) + k$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ по вертикали. В нашем случае $f(x) = |x|$ и $k = 4$. Так как $k = 4 > 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = |x|$ на 4 единицы вверх вдоль оси ординат (OY). Вершина нового графика сместится в точку $(0, 4)$.

Ответ: График функции $y = |x| + 4$ получается из графика функции $y = |x|$ параллельным переносом на 4 единицы вверх вдоль оси OY.

2) Для построения графика функции $y = |x| - 11$ используется график базовой функции $y = |x|$. Данное преобразование имеет вид $y = f(x) + k$, где $f(x) = |x|$ и $k = -11$. Так как $k = -11 < 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = |x|$ на 11 единиц вниз вдоль оси ординат (OY). Вершина графика сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -11)$.

Ответ: График функции $y = |x| - 11$ получается из графика функции $y = |x|$ параллельным переносом на 11 единиц вниз вдоль оси OY.

3) Функцию $y = 6 - |x|$ можно записать как $y = -|x| + 6$. Для построения её графика нужно выполнить два последовательных преобразования над графиком функции $y = |x|$:

1. Симметричное отражение относительно оси абсцисс (OX). Это преобразование переводит $y = |x|$ в $y = -|x|$. Ветви графика, ранее направленные вверх, теперь будут направлены вниз.

2. Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат (OY). Полученный график $y = -|x|$ сдвигается на 6 единиц вверх, так как к функции прибавляется положительное число 6.

Таким образом, вершина графика сместится из $(0, 0)$ в точку $(0, 6)$.

Ответ: График функции $y = 6 - |x|$ получается из графика функции $y = |x|$ путем его симметричного отражения относительно оси OX и последующего параллельного переноса на 6 единиц вверх вдоль оси OY.

4) Для построения графика функции $y = -|x| - 2$ выполняются два преобразования над графиком $y = |x|$:

1. Симметричное отражение относительно оси абсцисс (OX). Получаем график функции $y = -|x|$, ветви которого направлены вниз.

2. Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат (OY). Полученный график $y = -|x|$ сдвигается на 2 единицы вниз, так как из функции вычитается число 2.

Вершина итогового графика будет находиться в точке $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = -|x| - 2$ получается из графика функции $y = |x|$ путем его симметричного отражения относительно оси OX и последующего параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси OY.

1.11. Найдите область определения и множество значений функции, используя ее график (рис. 1.3):

1)

2)

3)

4)

Рис. 1.3

1) Область определения функции, обозначаемая как $D(y)$, представляет собой проекцию графика функции на ось абсцисс ($Ox$). Анализируя график, мы видим, что он существует для всех значений $x$ от $-4$ до $2$ включительно. Таким образом, область определения функции есть отрезок $D(y) = [-4; 2]$.

Множество значений функции, обозначаемое как $E(y)$, представляет собой проекцию графика на ось ординат ($Oy$). Из графика следует, что наименьшее значение функции равно $0$ (в точках $x=-4$ и $x=2$), а наибольшее значение равно $5$ (в вершине параболы при $x=-1$). Следовательно, множество значений функции есть отрезок $E(y) = [0; 5]$.

Ответ: $D(y) = [-4; 2]$, $E(y) = [0; 5]$.

2) Область определения функции $D(y)$ — это все значения $x$, для которых график существует. График простирается от минус бесконечности по оси $Ox$ до точки с абсциссой $x=2$. Эта точка (обозначена закрашенным кружком) включена в область определения. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2]$.

Множество значений функции $E(y)$ — это все значения $y$, которые принимает функция. График простирается от минус бесконечности по оси $Oy$ до точки с ординатой $y=1$. Эта точка также включена в множество значений. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2]$, $E(y) = (-\infty; 1]$.

3) Область определения $D(y)$ находится как проекция графика на ось $Ox$. График начинается от минус бесконечности и заканчивается в точке $x=2$ (точка включена). Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 2]$.

Множество значений $E(y)$ — это проекция графика на ось $Oy$. График имеет наименьшее значение $y=-1$ в точке $x=2$ (точка включена) и неограниченно возрастает вверх. Следовательно, множество значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2]$, $E(y) = [-1; +\infty)$.

4) Область определения $D(y)$. Ветви графика неограниченно простираются влево и вправо вдоль оси $Ox$, что означает, что функция определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(y)$. График имеет минимальное значение в своей вершине, которая находится в точке $(2, -1)$. Ордината этой точки, $y=-1$, является наименьшим значением функции. От этой точки ветви графика уходят вверх в бесконечность. Таким образом, множество значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = [-1; +\infty)$.

Найдите области определения функций (1.12—1.13):

1.12.1) $y = \frac{15}{\sqrt{19 + x}};

2) $y = -\frac{21}{\sqrt{x - 17}};

3) $y = \frac{22}{\sqrt{9x - 12}};

4) $y = -\frac{x}{\sqrt{36 - 1,8x}}.$

1) Область определения функции $y = \frac{15}{\sqrt{19 + x}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня, стоящего в знаменателе, должно быть строго положительным. Это требование объединяет два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю.

Составим и решим неравенство:

$19 + x > 0$

Перенесем 19 в правую часть неравенства:

$x > -19$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие -19.

Ответ: $x \in (-19; +\infty)$.

2) Для функции $y = -\frac{21}{\sqrt{x - 17}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$x - 17 > 0$

Перенесем -17 в правую часть неравенства:

$x > 17$

Следовательно, область определения — это интервал от 17 до плюс бесконечности, не включая 17.

Ответ: $x \in (17; +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{22}{\sqrt{9x - 12}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$9x - 12 > 0$

Перенесем -12 в правую часть:

$9x > 12$

Разделим обе части на 9:

$x > \frac{12}{9}$

Сократим дробь:

$x > \frac{4}{3}$

Область определения — это все числа, большие $\frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$.

4) Для функции $y = -\frac{x}{\sqrt{36 - 1,8x}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$36 - 1,8x > 0$

Перенесем 36 в правую часть:

$-1,8x > -36$

Разделим обе части на -1,8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-36}{-1,8}$

$x < 20$

Область определения — это все числа, меньшие 20.

Ответ: $x \in (-\infty; 20)$.

1.13.1) $C = \frac{\sqrt{x + 11}}{\sqrt{18 + x}};$

2) $y = \frac{\sqrt{x - 1,3}}{\sqrt{1,2 + x}};$

3) $y = \frac{\sqrt{25 - 2x}}{\sqrt{1,6 + 0,4x}};$

4) $y = \frac{\sqrt{4,2 - 0,7x}}{\sqrt{9x - 2,7}}.$

1) Для того чтобы выражение $C = \frac{\sqrt{x + 11}}{\sqrt{18 + x}}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, а знаменатель не был равен нулю. Это приводит к следующей системе неравенств:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x + 11 \geq 0$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как оно находится в знаменателе и не может быть равно нулю): $18 + x > 0$.

Решим полученную систему:

$\begin{cases} x + 11 \geq 0 \\ 18 + x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \geq -11$.

Из второго неравенства получаем: $x > -18$.

Найдем пересечение этих двух условий. Общим решением системы является $x \geq -11$.

Ответ: $x \in [-11, +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{\sqrt{x - 1,3}}{\sqrt{1,2 + x}}$ область определения (ОДЗ) находится из следующих условий:

1. Подрадикальное выражение числителя неотрицательно: $x - 1,3 \geq 0$.

2. Подрадикальное выражение знаменателя строго положительно: $1,2 + x > 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 1,3 \geq 0 \\ 1,2 + x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $x \geq 1,3$.

Из второго неравенства: $x > -1,2$.

Пересечением множеств $x \geq 1,3$ и $x > -1,2$ является $x \geq 1,3$.

Ответ: $x \in [1,3, +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{\sqrt{25 - 2x}}{\sqrt{1,6 + 0,4x}}$ область определения задается системой неравенств:

1. $25 - 2x \geq 0$.

2. $1,6 + 0,4x > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 25 - 2x \geq 0 \\ 1,6 + 0,4x > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $25 \geq 2x \implies 12,5 \geq x \implies x \leq 12,5$.

Решаем второе неравенство: $0,4x > -1,6 \implies x > \frac{-1,6}{0,4} \implies x > -4$.

Таким образом, искомая область определения является пересечением интервалов $x \leq 12,5$ и $x > -4$, что дает $(-4, 12,5]$.

Ответ: $x \in (-4, 12,5]$.

4) Для функции $y = \frac{\sqrt{4,2 - 0,7x}}{\sqrt{9x - 2,7}}$ область определения задается системой неравенств:

1. $4,2 - 0,7x \geq 0$.

2. $9x - 2,7 > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 4,2 - 0,7x \geq 0 \\ 9x - 2,7 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $4,2 \geq 0,7x \implies \frac{4,2}{0,7} \geq x \implies 6 \geq x \implies x \leq 6$.

Решаем второе неравенство: $9x > 2,7 \implies x > \frac{2,7}{9} \implies x > 0,3$.

Найдем пересечение полученных решений: $x \leq 6$ и $x > 0,3$. Это соответствует интервалу $(0,3, 6]$.

Ответ: $x \in (0,3, 6]$.

32.1. Найдите остаток от деления на двучлен многочлена $P(x)$:

1) $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 9$ на $(x + 2);

2) $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 4$ на $(x - 1);

3) $P(x) = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x - 12$ на $(x + 2);

4) $P(x) = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x - 10$ на $(x - 1).

1) Для нахождения остатка от деления многочлена на двучлен используется теорема Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $R = P(a)$.

В данном случае многочлен $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 9$ делится на двучлен $(x + 2)$. Это соответствует форме $(x - a)$, где $a = -2$.

Вычислим значение $P(-2)$:

$P(-2) = 2(-2)^4 + 7(-2)^3 - 2(-2)^2 - 13(-2) + 9 = 2 \cdot 16 + 7 \cdot (-8) - 2 \cdot 4 + 26 + 9 = 32 - 56 - 8 + 26 + 9 = 3$.

Ответ: 3

2) Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 2x^2 - 13x + 4$ на двучлен $(x - 1)$ применим теорему Безу.

В данном случае двучлен-делитель $(x - 1)$, следовательно, $a = 1$.

Вычислим значение $P(1)$:

$P(1) = 2(1)^4 + 7(1)^3 - 2(1)^2 - 13(1) + 4 = 2 + 7 - 2 - 13 + 4 = -2$.

Ответ: -2

3) Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x - 12$ на двучлен $(x + 2)$ применим теорему Безу.

В данном случае двучлен-делитель $(x + 2)$, следовательно, $a = -2$.

Вычислим значение $P(-2)$:

$P(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^3 + 5(-2)^2 + 4(-2) - 12 = 16 + 2 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 - 8 - 12 = 16 - 16 + 20 - 8 - 12 = 0$.

Ответ: 0

4) Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x - 10$ на двучлен $(x - 1)$ применим теорему Безу.

В данном случае двучлен-делитель $(x - 1)$, следовательно, $a = 1$.

Вычислим значение $P(1)$:

$P(1) = (1)^4 + 2(1)^3 + 5(1)^2 + 4(1) - 10 = 1 + 2 + 5 + 4 - 10 = 2$.

Ответ: 2

32.2. Запишите многочлен 4-й степени, корнями которого являются числа:

1) -2, 0, 2, 3;

2) -3, -1, 1, 3;

3) -3, -1, 0, 3;

4) -2, 1, 2, 5.

1) Для того чтобы составить многочлен 4-й степени, корнями которого являются числа $-2, 0, 2, 3$, воспользуемся свойством, что если $r$ является корнем многочлена $P(x)$, то $(x-r)$ является его множителем. Таким образом, многочлен можно представить в виде произведения линейных множителей, соответствующих каждому корню. Для простоты выберем старший коэффициент равным 1.$P(x) = (x - (-2))(x - 0)(x - 2)(x - 3) = (x+2)x(x-2)(x-3)$.

Для упрощения выражения сгруппируем множители, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:$P(x) = x(x+2)(x-2)(x-3) = x(x^2 - 4)(x-3)$.

Далее, раскроем оставшиеся скобки:$P(x) = x(x^3 - 3x^2 - 4x + 12) = x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x$.

Это и есть искомый многочлен 4-й степени.

Ответ: $x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x$.

2) Корни многочлена: $-3, -1, 1, 3$. Составим многочлен как произведение множителей $(x-r)$ для каждого корня $r$, со старшим коэффициентом, равным 1:$P(x) = (x - (-3))(x - (-1))(x - 1)(x - 3) = (x+3)(x+1)(x-1)(x-3)$.

Сгруппируем множители парами, чтобы применить формулу разности квадратов:$P(x) = ((x+3)(x-3)) \cdot ((x+1)(x-1)) = (x^2 - 3^2)(x^2 - 1^2) = (x^2 - 9)(x^2 - 1)$.

Теперь раскроем скобки, перемножив два двучлена:$P(x) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot (-1) - 9 \cdot x^2 - 9 \cdot (-1) = x^4 - x^2 - 9x^2 + 9$.

Приведем подобные члены:$P(x) = x^4 - 10x^2 + 9$.

Ответ: $x^4 - 10x^2 + 9$.

3) Корни многочлена: $-3, -1, 0, 3$. Запишем многочлен в виде произведения множителей, соответствующих корням, со старшим коэффициентом, равным 1:$P(x) = (x - (-3))(x - (-1))(x - 0)(x - 3) = (x+3)(x+1)x(x-3)$.

Сгруппируем множители для удобства вычислений:$P(x) = x((x+3)(x-3))(x+1) = x(x^2 - 9)(x+1)$.

Последовательно раскроем скобки:$P(x) = x(x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1 - 9 \cdot x - 9 \cdot 1) = x(x^3 + x^2 - 9x - 9)$.

$P(x) = x^4 + x^3 - 9x^2 - 9x$.

Ответ: $x^4 + x^3 - 9x^2 - 9x$.

4) Корни многочлена: $-2, 1, 2, 5$. Составим многочлен как произведение множителей $(x-r)$ для каждого корня $r$, со старшим коэффициентом, равным 1:$P(x) = (x - (-2))(x - 1)(x - 2)(x - 5) = (x+2)(x-1)(x-2)(x-5)$.

Сгруппируем множители:$P(x) = ((x+2)(x-2)) \cdot ((x-1)(x-5))$.

Раскроем скобки в каждой группе:$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$.

$(x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5$.

Теперь перемножим полученные многочлены:$P(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 6x + 5) = x^2(x^2 - 6x + 5) - 4(x^2 - 6x + 5)$.

$P(x) = x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 4x^2 + 24x - 20$.

Приведем подобные члены:$P(x) = x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20$.

Ответ: $x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20$.

32.3. Найдите значение многочлена $P(x)$ в точке $x = a$:

1) $P(x) = x^3 + 4x^2 + 3x + 11, a = -3$;

2) $P(x) = 3x^6 - x^3 - 12x^2 - 51, a = -2$;

3) $P(x) = 3x^4 - x^2 + x - 31, a = 2$;

4) $P(x) = -3x^5 + 2x^3 - 4x^2 - 2x + 10, a = -1$.

1) Чтобы найти значение многочлена $P(x) = x^3 + 4x^2 + 3x + 11$ в точке $x = a = -3$, необходимо подставить значение $a$ в выражение для многочлена вместо $x$.

Подставляем $x = -3$:

$P(-3) = (-3)^3 + 4(-3)^2 + 3(-3) + 11$

Выполняем вычисления по порядку действий:

$P(-3) = -27 + 4 \cdot 9 - 9 + 11$

$P(-3) = -27 + 36 - 9 + 11$

$P(-3) = 9 - 9 + 11$

$P(-3) = 0 + 11 = 11$

Ответ: 11

2) Найдем значение многочлена $P(x) = 3x^6 - x^3 - 12x^2 - 51$ в точке $x = a = -2$.

Подставляем $x = -2$ в многочлен:

$P(-2) = 3(-2)^6 - (-2)^3 - 12(-2)^2 - 51$

Вычисляем степени:

$(-2)^6 = 64$

$(-2)^3 = -8$

$(-2)^2 = 4$

Подставляем полученные значения в выражение:

$P(-2) = 3 \cdot 64 - (-8) - 12 \cdot 4 - 51$

$P(-2) = 192 + 8 - 48 - 51$

$P(-2) = 200 - 99 = 101$

Ответ: 101

3) Найдем значение многочлена $P(x) = 3x^4 - x^2 + x - 31$ в точке $x = a = 2$.

Подставляем $x = 2$ в выражение:

$P(2) = 3(2)^4 - (2)^2 + 2 - 31$

Выполняем возведение в степень и умножение:

$P(2) = 3 \cdot 16 - 4 + 2 - 31$

$P(2) = 48 - 4 + 2 - 31$

Выполняем сложение и вычитание:

$P(2) = 44 + 2 - 31$

$P(2) = 46 - 31 = 15$

Ответ: 15

4) Найдем значение многочлена $P(x) = -3x^5 + 2x^3 - 4x^2 - 2x + 10$ в точке $x = a = -1$.

Подставляем $x = -1$ в многочлен:

$P(-1) = -3(-1)^5 + 2(-1)^3 - 4(-1)^2 - 2(-1) + 10$

Помним, что нечетная степень отрицательного числа дает отрицательный результат, а четная - положительный:

$P(-1) = -3(-1) + 2(-1) - 4(1) - 2(-1) + 10$

Выполняем умножение:

$P(-1) = 3 - 2 - 4 + 2 + 10$

Складываем и вычитаем:

$P(-1) = (3 + 2 + 10) - (2 + 4) = 15 - 6 = 9$

Ответ: 9

32.4. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ и заполните таблицу 20:

Таблица 20

Для многочлена $P(x) = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ и $a = 2$

Для деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ используем схему Горнера. Коэффициенты многочлена $P(x)$ по убыванию степеней: $1, -2, 3, -7, 2, -1$.

Пусть $q_i$ - коэффициенты частного, а $R$ - остаток. Вычисляем их последовательно:

1. Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого: $q_4 = 1$.

2. Следующий коэффициент: $q_3 = -2 + a \cdot q_4 = -2 + 2 \cdot 1 = 0$.

3. Следующий коэффициент: $q_2 = 3 + a \cdot q_3 = 3 + 2 \cdot 0 = 3$.

4. Следующий коэффициент: $q_1 = -7 + a \cdot q_2 = -7 + 2 \cdot 3 = -1$.

5. Последний коэффициент частного: $q_0 = 2 + a \cdot q_1 = 2 + 2 \cdot (-1) = 0$.

6. Остаток: $R = -1 + a \cdot q_0 = -1 + 2 \cdot 0 = -1$.

Коэффициенты частного: $1, 0, 3, -1, 0$. Так как исходный многочлен был 5-й степени, частное будет 4-й степени.

Частное: $Q(x) = 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 - 1 \cdot x + 0 = x^4 + 3x^2 - x$.

Остаток: $R = -1$.

Ответ: Частное: $x^4 + 3x^2 - x$, Остаток: $-1$.

Для многочлена $P(x) = 2x^4 + 7x^3 - 21x - 30$ и $a = -1$

Применим схему Горнера для деления на $(x - (-1)) = (x+1)$. Коэффициенты многочлена $P(x)$, включая член с $x^2$, коэффициент которого равен 0: $2, 7, 0, -21, -30$.

Вычисляем коэффициенты частного $q_i$ и остаток $R$:

1. $q_3 = 2$.

2. $q_2 = 7 + a \cdot q_3 = 7 + (-1) \cdot 2 = 5$.

3. $q_1 = 0 + a \cdot q_2 = 0 + (-1) \cdot 5 = -5$.

4. $q_0 = -21 + a \cdot q_1 = -21 + (-1) \cdot (-5) = -16$.

5. $R = -30 + a \cdot q_0 = -30 + (-1) \cdot (-16) = -14$.

Коэффициенты частного: $2, 5, -5, -16$. Степень частного - 3.

Частное: $Q(x) = 2x^3 + 5x^2 - 5x - 16$.

Остаток: $R = -14$.

Ответ: Частное: $2x^3 + 5x^2 - 5x - 16$, Остаток: $-14$.

Для многочлена $P(x) = 3x^5 + 5x^4 + 11x^2 + 2x$ и $a = 1$

Применим схему Горнера для деления на $(x - 1)$. Коэффициенты многочлена $P(x)$, включая члены с $x^3$ и $x^0$, коэффициенты которых равны 0: $3, 5, 0, 11, 2, 0$.

Вычисляем коэффициенты частного $q_i$ и остаток $R$:

1. $q_4 = 3$.

2. $q_3 = 5 + a \cdot q_4 = 5 + 1 \cdot 3 = 8$.

3. $q_2 = 0 + a \cdot q_3 = 0 + 1 \cdot 8 = 8$.

4. $q_1 = 11 + a \cdot q_2 = 11 + 1 \cdot 8 = 19$.

5. $q_0 = 2 + a \cdot q_1 = 2 + 1 \cdot 19 = 21$.

6. $R = 0 + a \cdot q_0 = 0 + 1 \cdot 21 = 21$.

Коэффициенты частного: $3, 8, 8, 19, 21$. Степень частного - 4.

Частное: $Q(x) = 3x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 19x + 21$.

Остаток: $R = 21$.

Ответ: Частное: $3x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 19x + 21$, Остаток: $21$.

32.5. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $49^n - 25^n$ делится на 24;

2) $25^n - 9^n$ делится на 24;

3) $6^{2n} - 2^{2n}$ делится на 32;

4) $21^n + 4^{n+2}$ делится на 17;

5) $13^n + 3^{n+2}$ кратно 10;

6) $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.

1) Для доказательства воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$. Эта формула показывает, что выражение $a^n - b^n$ всегда делится на $a-b$.

В нашем случае $a = 49$ и $b = 25$.

Разность $a-b = 49 - 25 = 24$.

Следовательно, выражение $49^n - 25^n$ делится на 24 при любом натуральном $n$, так как его можно представить в виде $24 \cdot k$, где $k = 49^{n-1} + 49^{n-2} \cdot 25 + \dots + 25^{n-1}$ является целым числом.

Ответ: Доказано, что выражение $49^n - 25^n$ делится на 24.

2) Заметим, что утверждение в задаче, скорее всего, содержит опечатку. Если подставить $n=1$, то значение выражения будет $25^1 - 9^1 = 16$. Число 16 не делится нацело на 24. Аналогично, при $n=2$, $25^2 - 9^2 = 625 - 81 = 544$, что также не делится на 24 ($544 = 22 \cdot 24 + 16$).

Предположим, что имелось в виду выражение $25^n - 1$. Докажем, что оно делится на 24.

Используем сравнения по модулю. Нам нужно доказать, что $25^n - 1 \equiv 0 \pmod{24}$.

Число 25 при делении на 24 дает в остатке 1, то есть $25 \equiv 1 \pmod{24}$.

Возведем обе части сравнения в степень $n$: $25^n \equiv 1^n \pmod{24}$, что равносильно $25^n \equiv 1 \pmod{24}$.

Тогда $25^n - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{24}$.

Это доказывает, что выражение $25^n - 1$ делится на 24 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Если предположить опечатку и рассматривать выражение $25^n-1$, то доказано, что оно делится на 24.

3) Сначала преобразуем выражение: $6^{2n} - 2^{2n} = (6^2)^n - (2^2)^n = 36^n - 4^n$.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + \dots + b^{n-1})$.

В нашем случае $a = 36$ и $b = 4$.

Разность $a-b = 36 - 4 = 32$.

Следовательно, выражение $36^n - 4^n$ делится на 32 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что выражение $6^{2n} - 2^{2n}$ делится на 32.

4) Для доказательства будем использовать сравнения по модулю 17.

Преобразуем выражение: $21^n + 4^{n+2} = 21^n + 4^n \cdot 4^2 = 21^n + 16 \cdot 4^n$.

Найдем остатки от деления оснований степеней на 17:

$21 \equiv 4 \pmod{17}$

$16 \equiv -1 \pmod{17}$

Подставим эти значения в выражение:

$21^n + 16 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{17}$

$4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{17}$

Так как остаток от деления равен 0, выражение делится на 17.

Ответ: Доказано, что выражение $21^n + 4^{n+2}$ делится на 17.

5) Докажем, что выражение кратно 10, используя сравнения по модулю 10.

Преобразуем выражение: $13^n + 3^{n+2} = 13^n + 3^n \cdot 3^2 = 13^n + 9 \cdot 3^n$.

Найдем остатки от деления чисел на 10:

$13 \equiv 3 \pmod{10}$

$9 \equiv -1 \pmod{10}$

Подставим эти значения в выражение:

$13^n + 9 \cdot 3^n \equiv 3^n + (-1) \cdot 3^n \pmod{10}$

$3^n - 3^n \equiv 0 \pmod{10}$

Так как остаток от деления равен 0, выражение кратно 10.

Ответ: Доказано, что выражение $13^n + 3^{n+2}$ кратно 10.

6) Докажем, что выражение кратно 4, используя сравнения по модулю 4.

Рассмотрим выражение $5^n + 7 \cdot 9^n$.

Найдем остатки от деления чисел на 4:

$5 \equiv 1 \pmod{4}$

$7 \equiv -1 \pmod{4}$ (или $7 \equiv 3 \pmod{4}$)

$9 \equiv 1 \pmod{4}$

Подставим эти значения в выражение:

$5^n + 7 \cdot 9^n \equiv 1^n + (-1) \cdot 1^n \pmod{4}$

$1 - 1 \equiv 0 \pmod{4}$

Так как остаток от деления равен 0, выражение кратно 4.

Ответ: Доказано, что выражение $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.

32.6. Докажите, что при любом нечетном натуральном $n$ значение выражения:

1) $5^n + 2^n$ делится на 7;

2) $5^n + 11^n + 2$ делится на 6;

3) $5^n + 13 \cdot 11^{2n} - 4$ делится на 6.

1) Докажем, что выражение $5^n + 2^n$ делится на 7 при любом нечетном натуральном $n$.

Для доказательства воспользуемся формулой суммы степеней для нечетного показателя: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$. Данная формула верна, когда $n$ является нечетным натуральным числом.

В нашем случае $a=5$ и $b=2$. Поскольку по условию $n$ — нечетное число, мы можем применить эту формулу:

$5^n + 2^n = (5+2)(5^{n-1} - 5^{n-2} \cdot 2 + 5^{n-3} \cdot 2^2 - \dots + 2^{n-1})$

$5^n + 2^n = 7 \cdot (5^{n-1} - 5^{n-2} \cdot 2 + \dots + 2^{n-1})$

В полученном произведении один из множителей равен 7. Следовательно, все выражение $5^n + 2^n$ делится на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $5^n + 11^n + 2$ делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$.

Для того чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3.

1. Докажем делимость на 2 (проверка на четность).

Число 5 является нечетным, поэтому любая его натуральная степень $5^n$ также будет нечетным числом.

Аналогично, число 11 является нечетным, поэтому его степень $11^n$ также будет нечетной.

Сумма двух нечетных чисел ($5^n + 11^n$) является четным числом.

Если к четному числу ($5^n + 11^n$) прибавить четное число 2, результат ($5^n + 11^n + 2$) также будет четным. Следовательно, выражение делится на 2.

2. Докажем делимость на 3.

Воспользуемся методом сравнений по модулю 3. Нам нужно показать, что $5^n + 11^n + 2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Найдем остатки от деления оснований степеней на 3:

$5 \equiv 2 \pmod{3}$, что эквивалентно $5 \equiv -1 \pmod{3}$.

$11 \equiv 2 \pmod{3}$, что эквивалентно $11 \equiv -1 \pmod{3}$.

Поскольку по условию $n$ — нечетное число, то $5^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{3}$ и $11^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod{3}$.

Подставим полученные сравнения в исходное выражение:

$5^n + 11^n + 2 \equiv (-1) + (-1) + 2 \pmod{3}$

$5^n + 11^n + 2 \equiv -2 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$

Это означает, что выражение делится на 3.

Так как выражение $5^n + 11^n + 2$ делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми, то оно делится на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что выражение $5^n + 13 \cdot 11^{2n} - 4$ делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$.

Данное утверждение, по всей видимости, содержит ошибку. Проверим его, подставив в выражение наименьшее нечетное натуральное число, $n=1$.

При $n=1$ выражение принимает вид:

$5^1 + 13 \cdot 11^{2 \cdot 1} - 4 = 5 + 13 \cdot 11^2 - 4 = 5 + 13 \cdot 121 - 4 = 5 + 1573 - 4 = 1574$.

Число 1574 не делится на 6 без остатка ($1574 = 6 \cdot 262 + 2$). В частности, оно не делится на 3, так как сумма его цифр $1+5+7+4=17$ не кратна 3. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и имелось в виду выражение $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$. Докажем, что это исправленное выражение делится на 6 для любого нечетного натурального $n$.

Для доказательства воспользуемся сравнениями по модулю 6.

Рассмотрим остатки от деления на 6 для каждого слагаемого в выражении $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$:

1. $5 \equiv -1 \pmod 6$. Так как $n$ — нечетное, то $5^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod 6$.

2. $13 = 2 \cdot 6 + 1$, отсюда $13 \equiv 1 \pmod 6$.

3. $11 \equiv -1 \pmod 6$. Так как $n$ — нечетное, то $11^n \equiv (-1)^n \equiv -1 \pmod 6$.

4. $4 \equiv 4 \pmod 6$.

Теперь подставим эти сравнения в выражение:

$5^n + 13 \cdot 11^n - 4 \equiv (-1) + 1 \cdot (-1) - 4 \pmod 6$

$\equiv -1 - 1 - 4 \pmod 6$

$\equiv -6 \pmod 6$

$\equiv 0 \pmod 6$

Поскольку остаток от деления выражения $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$ на 6 равен 0, оно делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$.

Ответ: Утверждение в задаче в исходном виде неверно. Если предположить опечатку в условии и рассмотреть выражение $5^n + 13 \cdot 11^n - 4$, то оно действительно делится на 6 при любом нечетном натуральном $n$, что и было доказано.

32.7.

1) Докажите, что многочлен $P(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1$ делится на многочлен $S(x) = 2x^2 + 8x - 2.$

2) Докажите, что многочлен $H(x) = 5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ делится на многочлен $S(x) = -5x^2 + 4x - 4.$

3) Используя схему Горнера, разделите многочлен $P(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 2$ на двучлен $x + 2$. Найдите частное и остаток.

1) Докажите, что многочлен P(x) = x³ + 5x² + 3x − 1 делится на многочлен S(x) = 2x² + 8x − 2.

Для доказательства того, что многочлен $P(x)$ делится на $S(x)$ нацело, необходимо выполнить деление многочленов и показать, что остаток равен нулю. Проведем деление в столбик.

Сначала разделим старший член $x^3$ из $P(x)$ на старший член $2x^2$ из $S(x)$, получим $\frac{x^3}{2x^2} = \frac{1}{2}x$. Это первый член частного.

Умножим делитель $S(x)$ на $\frac{1}{2}x$:

$\frac{1}{2}x \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^3 + 4x^2 - x$

Вычтем полученный многочлен из $P(x)$:

$(x^3 + 5x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 - x) = x^3 - x^3 + 5x^2 - 4x^2 + 3x - (-x) - 1 = x^2 + 4x - 1$

Теперь разделим старший член полученного остатка $x^2$ на старший член делителя $2x^2$, получим $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$. Это второй член частного.

Умножим делитель $S(x)$ на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^2 + 4x - 1$

Вычтем полученный многочлен из предыдущего остатка:

$(x^2 + 4x - 1) - (x^2 + 4x - 1) = 0$

Остаток от деления равен 0. Это доказывает, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $S(x)$ без остатка. Частное при этом равно $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: Поскольку остаток от деления $P(x)$ на $S(x)$ равен нулю, многочлен $P(x)$ делится на $S(x)$ нацело.

2) Докажите, что многочлен H(x) = 5x⁴ − 9x³ − 2x² + 4x − 8 делится на многочлен S(x) = −5x² + 4x − 4.

Аналогично первому пункту, выполним деление многочлена $H(x)$ на $S(x)$ в столбик.

Шаг 1: Делим $5x^4$ на $-5x^2$, получаем $-x^2$. Умножаем $S(x)$ на $-x^2$:

$-x^2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = 5x^4 - 4x^3 + 4x^2$

Вычитаем результат из $H(x)$:

$(5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8) - (5x^4 - 4x^3 + 4x^2) = -5x^3 - 6x^2 + 4x - 8$

Шаг 2: Делим старший член нового многочлена $-5x^3$ на $-5x^2$, получаем $x$. Умножаем $S(x)$ на $x$:

$x \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -5x^3 + 4x^2 - 4x$

Вычитаем:

$(-5x^3 - 6x^2 + 4x - 8) - (-5x^3 + 4x^2 - 4x) = -10x^2 + 8x - 8$

Шаг 3: Делим старший член $-10x^2$ на $-5x^2$, получаем $2$. Умножаем $S(x)$ на $2$:

$2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -10x^2 + 8x - 8$

Вычитаем:

$(-10x^2 + 8x - 8) - (-10x^2 + 8x - 8) = 0$

Остаток равен 0, следовательно, многочлен $H(x)$ делится на $S(x)$ без остатка. Частное равно $-x^2 + x + 2$.

Ответ: Поскольку остаток от деления $H(x)$ на $S(x)$ равен нулю, многочлен $H(x)$ делится на $S(x)$ нацело.

3) Используя схему Горнера, разделите многочлен P(x) = 2x⁵ + x⁴ − 3x³ + 2x² + 2 на двучлен x + 2. Найдите частное и остаток.

Для деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x+2$ по схеме Горнера, мы используем корень этого двучлена, то есть значение $x$, при котором $x+2=0$. Отсюда $x = -2$.

Запишем коэффициенты многочлена $P(x) = 2x^5 + 1x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 0x + 2$ в первую строку таблицы. Важно не забыть коэффициент 0 для отсутствующей степени $x^1$.

Таблица для схемы Горнера выглядит следующим образом:

| 2 1 -3 2 0 2

-2 | -4 6 -6 8 -16

----------------------------------------------------

2 -3 3 -4 8 -14

Вычисления:

1. Первый коэффициент (2) сносим вниз без изменений.

2. Умножаем его на корень и складываем со следующим коэффициентом: $2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.

3. Повторяем операцию: $(-3) \cdot (-2) + (-3) = 6 - 3 = 3$.

4. $3 \cdot (-2) + 2 = -6 + 2 = -4$.

5. $(-4) \cdot (-2) + 0 = 8 + 0 = 8$.

6. $8 \cdot (-2) + 2 = -16 + 2 = -14$.

Числа в нижней строке, кроме последнего, являются коэффициентами частного. Степень частного на единицу меньше степени исходного многочлена.

Частное: $Q(x) = 2x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + 8$.

Последнее число в нижней строке является остатком от деления.

Остаток: $R = -14$.

Ответ: частное $2x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + 8$, остаток $-14$.

32.8. Найдите корни симметрического многочлена:

1) $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1;$

2) $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1;$

3) $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1;$

4) $2x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 5x + 2;$

5) $x^3 - 2x^2 - 2x + 1;$

6) $x^5 + 2x^3 + 2x^2 + 1.$

1) Решим уравнение $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + 5x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 2) + 5y + 2 = 0$

$y^2 + 5y = 0$

$y(y+5) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = -5$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. При $y_1=0$: $x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 \implies x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y_2=-5$: $x + \frac{1}{x} = -5 \implies x^2 + 5x + 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня многочлена.

Ответ: $\frac{-5 - \sqrt{21}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, -i, i$.

2) Решим уравнение $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение четвертой степени. Разделим его на $x^2$ (так как $x=0$ не корень):

$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

$(y^2 - 2) + 2y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$.

1. При $y_1=1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

2. При $y_2=-3$: $x + \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня.

Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.

3) Решим уравнение $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$.

Хотя этот многочлен не является симметрическим в строгом смысле (коэффициенты при $x^3$ и $x$ противоположны), он решается методом группировки.

Перепишем уравнение, выделив полный квадрат:

$x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x^2+x)^2 - 2(x^2+x) + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом относительно $z = x^2+x$:

$z^2 - 2z + 1 = 0 \implies (z-1)^2 = 0$

Отсюда $z=1$.

Сделаем обратную замену:

$x^2+x = 1 \implies x^2+x-1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку исходное уравнение эквивалентно $(x^2+x-1)^2=0$, каждый из этих двух корней имеет кратность 2.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ (кратность 2), $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ (кратность 2).

4) Решим уравнение $2x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 5x + 2 = 0$.

Это симметрическое уравнение. Разделим его на $x^2$ ($x=0$ не корень):

$2x^2 - 5x + 4 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 5(x + \frac{1}{x}) + 4 = 0$

Замена $y = x + \frac{1}{x}$ и $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$:

$2(y^2 - 2) - 5y + 4 = 0$

$2y^2 - 4 - 5y + 4 = 0$

$2y^2 - 5y = 0$

$y(2y - 5) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = \frac{5}{2}$.

Вернемся к $x$.

1. При $y_1=0$: $x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y_2=\frac{5}{2}$: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Это уравнение можно разложить на множители: $(2x-1)(x-2)=0$.

$x_3 = \frac{1}{2}$, $x_4 = 2$.

Таким образом, найдены все корни.

Ответ: $\frac{1}{2}, 2, -i, i$.

5) Решим уравнение $x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение нечетной степени, следовательно, $x=-1$ является его корнем. Проверим: $(-1)^3 - 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 2 + 1 = 0$.

Разделим многочлен на $(x+1)$ с помощью схемы Горнера или деления столбиком:

$(x^3 - 2x^2 - 2x + 1) \div (x+1) = x^2 - 3x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(x^2 - 3x + 1) = 0$.

Один корень $x_1 = -1$. Остальные два корня найдем из уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Найдены все три корня.

Ответ: $-1, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

6) Решим уравнение $x^5 + 2x^3 + 2x^2 + 1 = 0$.

Это симметрическое уравнение нечетной степени (коэффициенты: 1, 0, 2, 2, 0, 1), значит, $x=-1$ является корнем. Проверка: $(-1)^5 + 2(-1)^3 + 2(-1)^2 + 1 = -1 - 2 + 2 + 1 = 0$.

Разложим многочлен на множители, выделив $(x+1)$:

$(x^5+1) + (2x^3+2x^2) = (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) + 2x^2(x+1) = 0$

$(x+1)(x^4-x^3+3x^2-x+1) = 0$

Один корень $x_1=-1$. Остальные четыре корня найдем из уравнения $x^4-x^3+3x^2-x+1=0$.

Разделим на $x^2$ ($x=0$ не корень):

$x^2-x+3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

$(x^2+\frac{1}{x^2}) - (x+\frac{1}{x}) + 3 = 0$

Сделаем замену $y=x+\frac{1}{x}$, тогда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.

$(y^2-2) - y + 3 = 0 \implies y^2-y+1=0$.

Решим уравнение для $y$: $D = (-1)^2 - 4 = -3$, $y = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

$y_1 = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}$, $y_2 = \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$.

Вернемся к $x$, решив два уравнения $x+\frac{1}{x}=y$ или $x^2-yx+1=0$.

1. Для $y_1$: $x = \frac{y_1 \pm \sqrt{y_1^2-4}}{2}$. Вычислим $y_1^2-4 = (\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^2-4 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}-4 = \frac{-9+i\sqrt{3}}{2}$.

$x_{2,3} = \frac{1}{2}(\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \pm \sqrt{\frac{-9+i\sqrt{3}}{2}})$.

2. Для $y_2$: $x = \frac{y_2 \pm \sqrt{y_2^2-4}}{2}$. Вычислим $y_2^2-4 = (\frac{1-i\sqrt{3}}{2})^2-4 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}-4 = \frac{-9-i\sqrt{3}}{2}$.

$x_{4,5} = \frac{1}{2}(\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \pm \sqrt{\frac{-9-i\sqrt{3}}{2}})$.

Ответ: $-1$, и четыре комплексных корня: $\frac{1}{2}(\frac{1+i\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{-9+i\sqrt{3}}{2}})$, $\frac{1}{2}(\frac{1+i\sqrt{3}}{2} - \sqrt{\frac{-9+i\sqrt{3}}{2}})$, $\frac{1}{2}(\frac{1-i\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{-9-i\sqrt{3}}{2}})$, $\frac{1}{2}(\frac{1-i\sqrt{3}}{2} - \sqrt{\frac{-9-i\sqrt{3}}{2}})$.