Страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2.1. Какие из графиков, изображенных на рисунке 2.3, являются графиками функций?

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.3

Для определения, является ли кривая на плоскости графиком функции, используется так называемый тест вертикальной линии. Согласно определению, функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из области определения ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

Графически это означает, что любая вертикальная прямая, проведенная на координатной плоскости, может пересекать график функции не более чем в одной точке. Если существует хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график в двух или более точках, то этот график не является графиком функции.

Применим этот тест к каждому из представленных графиков.

1) Этот график — прямая линия. Любая вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает эту прямую ровно в одной точке. Следовательно, данное изображение является графиком функции.

Ответ: является графиком функции.

2) Этот график — парабола, ветви которой направлены вниз. Любая вертикальная прямая пересекает эту параболу только в одной точке. Следовательно, это график функции.

Ответ: является графиком функции.

3) На этом графике можно провести вертикальную прямую левее оси $Oy$, которая пересечет кривую сразу в трех точках. Это означает, что одному значению $x$ соответствует три разных значения $y$, что противоречит определению функции. Следовательно, это не график функции.

Ответ: не является графиком функции.

4) Этот график — парабола, ветви которой направлены вверх. Как и в случае с графиком 2), любая вертикальная прямая пересекает эту кривую не более чем в одной точке. Следовательно, это график функции.

Ответ: является графиком функции.

2.2. Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке 2.4:

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.4

1) График состоит из двух отрезков прямой, значит, функция является кусочно-линейной. Необходимо найти уравнение для каждого участка и определить его область определения.

Первый участок — это отрезок прямой, проходящий через точки $(-5, 1)$ (точка закрашенная) и $(-1, 5)$. В точке $x = -1$ на графике есть две точки: $(-1, 5)$ и $(-1, 3)$. Чтобы это была функция, одна из них должна быть выколотой. Судя по второму участку, точка $(-1, 3)$ является закрашенной, а значит точка $(-1, 5)$ — выколотая. Таким образом, первый участок определен на промежутке $x \in [-5, -1)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент (тангенс угла наклона): $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{-1 - (-5)} = \frac{4}{4} = 1$.

Уравнение принимает вид $y = x + b$. Подставим координаты точки $(-5, 1)$: $1 = -5 + b$, откуда $b = 6$.

Итак, для $x \in [-5, -1)$ формула функции: $y = x + 6$.

Второй участок — это отрезок прямой, проходящий через точки $(-1, 3)$ (точка закрашенная) и $(4, -2)$ (точка выколотая). Таким образом, второй участок определен на промежутке $x \in [-1, 4)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент: $k = \frac{-2 - 3}{4 - (-1)} = \frac{-5}{5} = -1$.

Уравнение принимает вид $y = -x + b$. Подставим координаты точки $(-1, 3)$: $3 = -(-1) + b$, откуда $3 = 1 + b$, и $b = 2$.

Итак, для $x \in [-1, 4)$ формула функции: $y = -x + 2$.

Объединяя оба участка, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} x + 6, & \text{если } -5 \le x < -1 \\ -x + 2, & \text{если } -1 \le x < 4 \end{cases}$

2) График представляет собой кусочно-линейную функцию, состоящую из двух отрезков и одной изолированной точки.

Первый участок — отрезок прямой, соединяющий точки $(-5, 2)$ (закрашенная) и $(-2, 0)$ (закрашенная). Область определения этого участка: $x \in [-5, -2]$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент: $k = \frac{0 - 2}{-2 - (-5)} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$.

Уравнение принимает вид $y = -\frac{2}{3}x + b$. Подставим координаты точки $(-2, 0)$: $0 = -\frac{2}{3}(-2) + b$, откуда $0 = \frac{4}{3} + b$, и $b = -\frac{4}{3}$.

Итак, для $x \in [-5, -2]$ формула функции: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$.

Второй участок — отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 0)$ (закрашенная) и $(3, 5)$ (выколотая). Область определения этого участка: $x \in (-2, 3)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент: $k = \frac{5 - 0}{3 - (-2)} = \frac{5}{5} = 1$.

Уравнение принимает вид $y = x + b$. Подставим координаты точки $(-2, 0)$: $0 = -2 + b$, откуда $b = 2$.

Итак, для $x \in (-2, 3)$ формула функции: $y = x + 2$.

Третий элемент — изолированная точка $(3, 2)$ (закрашенная). Это означает, что при $x = 3$ значение функции $y = 2$.

Функция непрерывна в точке $x=-2$, так как $-\frac{2}{3}(-2) - \frac{4}{3} = 0$ и $-2+2=0$. Поэтому можно включить $x=-2$ в любой из первых двух интервалов. Объединим все части.

Ответ: $y = \begin{cases} -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}, & \text{если } -5 \le x \le -2 \\ x + 2, & \text{если } -2 < x < 3 \\ 2, & \text{если } x = 3 \end{cases}$

3) График состоит из участка параболы и изолированной точки.

Основная часть графика — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(1, 5)$. Уравнение такой параболы имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.

Подставляя координаты вершины, получаем $y = a(x - 1)^2 + 5$.

Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся еще одной точкой на параболе, например, $(0, 4)$.

$4 = a(0 - 1)^2 + 5 \Rightarrow 4 = a + 5 \Rightarrow a = -1$.

Таким образом, уравнение параболы: $y = -(x - 1)^2 + 5$.

Область определения для этого участка: левый конец графика находится на оси Ox, найдем его: $0 = -(x-1)^2+5 \Rightarrow (x-1)^2=5 \Rightarrow x-1 = \pm\sqrt{5} \Rightarrow x=1\pm\sqrt{5}$. Левая точка $x = 1-\sqrt{5}$. Правый конец — выколотая точка при $x = 4$. Значение в этой точке было бы $y = -(4-1)^2+5 = -9+5 = -4$. Итак, этот участок определен для $x \in [1-\sqrt{5}, 4)$.

Изолированная точка имеет координаты $(4, 3)$. То есть, при $x = 4$ значение функции $y = 3$.

Объединяя, получаем функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -(x - 1)^2 + 5, & \text{если } 1-\sqrt{5} \le x < 4 \\ 3, & \text{если } x = 4 \end{cases}$

4) График является ветвью параболы, что соответствует функции квадратного корня. Общий вид такой функции $y = a\sqrt{x - h} + k$.

Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(-3, -2)$. Это означает, что $h = -3$ и $k = -2$.

Уравнение принимает вид $y = a\sqrt{x - (-3)} - 2 = a\sqrt{x + 3} - 2$.

Для нахождения коэффициента $a$ используем другую точку, через которую проходит график. На графике видно, что он проходит через точки с целыми координатами $(-2, -1)$ и $(1, 0)$. Возьмем точку $(1, 0)$.

Подставим ее координаты в уравнение: $0 = a\sqrt{1 + 3} - 2 \Rightarrow 0 = a\sqrt{4} - 2 \Rightarrow 0 = 2a - 2 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$.

Проверим с точкой $(-2, -1)$: $-1 = 1\sqrt{-2+3}-2 = \sqrt{1}-2=1-2=-1$. Точка также подходит.

Таким образом, формула функции: $y = \sqrt{x + 3} - 2$.

Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$, что соответствует графику. (Закрашенная точка в начале координат на рисунке, вероятно, является небольшой неточностью изображения, так как при $x=0$, $y=\sqrt{3}-2 \approx -0.268$).

Ответ: $y = \sqrt{x+3} - 2$

33.14. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$;

2) $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} = \frac{6}{x-4}$;

3) $\frac{4x-14}{x-3} = x-2$;

4) $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю. Знаменатель $x^2-4$ раскладывается на множители как $(x-2)(x+2)$. Таким образом, ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, что дает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, при условии, что $x \neq \pm 2$:

$x(x+2) - 7(x-2) = 8$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 2x - 7x + 14 = 8$

$x^2 - 5x + 14 - 8 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3

2) Исходное уравнение: $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} = \frac{6}{x-4}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю: $x \neq 0$, $x^2-4x \neq 0$, $x-4 \neq 0$.

$x^2-4x = x(x-4)$, поэтому условие $x(x-4) \neq 0$ дает $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $x(x-4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x-4) + (x^2+8) = 6x$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$2x - 8 + x^2 + 8 = 6x$

$x^2 + 2x = 6x$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$.

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$).

Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$, не удовлетворяют ОДЗ, следовательно, являются посторонними.

Ответ: нет корней

3) Исходное уравнение: $\frac{4x-14}{x-3} = x-2$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на $(x-3)$:

$4x - 14 = (x-2)(x-3)$.

Раскроем скобки в правой части:

$4x - 14 = x^2 - 3x - 2x + 6$

$4x - 14 = x^2 - 5x + 6$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 4x + 6 + 14 = 0$

$x^2 - 9x + 20 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$).

Оба корня, $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 4; 5

4) Исходное уравнение: $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, $x-1 \neq 0$ и $1-x \neq 0$, что в обоих случаях дает $x \neq 1$.

Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Перепишем уравнение:

$\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{-(x-1)}$

$\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = -\frac{2x-1