Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1.25. Общее понятие функции, как и остальные понятия математики, сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития.

Математический термин "функция" впервые появился в 1692 г. у Лейбница

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646—1716)

Первое общее определение функции встречается у Бернулли (1718)

Иоганн Бернулли
(1667—1748)

Современное определение функции дал Дирихле (1837)

Дирихле Петер Густав Лежен
(1805—1859)

Развитие понятия функции в математике является ярким примером того, как фундаментальные концепции эволюционируют со временем, проходя путь от интуитивных и частных представлений до строгих и общих определений. В этом процессе ключевую роль сыграли работы нескольких выдающихся математиков.

Математический термин "функция" (Лейбниц)

Немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) впервые ввел сам термин «функция» (от латинского functio — совершение, исполнение) в 1692 году. Однако его понимание было далеко от современного. Для Лейбница и его современников функция была связана исключительно с геометрией. Он называл функцией различные отрезки, связанные с определенной точкой на кривой, например, длину касательной, нормали, подкасательной или абсциссу и ординату точки. То есть, функция понималась как некоторая изменяющаяся величина, зависящая от положения точки на кривой. Это был важный шаг, так как он сместил фокус с изучения статических фигур на изучение зависимостей между величинами.

Ответ: Готфрид Лейбниц в 1692 году ввел термин «функция» для обозначения величин, геометрически связанных с точкой на кривой.

Первое общее определение функции (Бернулли)

Следующий значительный шаг был сделан швейцарским математиком Иоганном Бернулли (1667–1748), учеником Лейбница. В 1718 году он дал первое определение функции, свободное от геометрической интуиции. Согласно Бернулли, «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». По сути, это определение отождествляло функцию с аналитическим выражением, то есть с формулой. Примерами таких функций могли быть $y = x^2$, $y = \sqrt{1-x}$ или $y = \sin(x)$. Это определение, позже уточненное и популяризированное Леонардом Эйлером, доминировало в математике на протяжении всего XVIII века.

Ответ: Иоганн Бернулли в 1718 году определил функцию как аналитическое выражение (формулу), состоящее из переменной и констант.

Современное определение функции (Дирихле)

Современное и наиболее общее определение функции было сформулировано немецким математиком Петером Густавом Леженом Дирихле (1805–1859) в 1837 году. Он полностью отказался от требования представимости функции в виде единой аналитической формулы. Согласно Дирихле, переменная $y$ является функцией переменной $x$ на некотором множестве, если каждому значению $x$ из этого множества соответствует одно определенное значение $y$, причем совершенно неважно, каким способом установлено это соответствие. Это может быть формула, график, таблица или даже словесное описание.

Это определение позволило рассматривать и более "экзотические" объекты, например, знаменитую функцию Дирихле, которая не может быть задана одной формулой и не является непрерывной ни в одной точке:

$D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$

Именно определение Дирихле, основанное на идее соответствия между элементами двух множеств, лежит в основе современного математического анализа.

Ответ: Петер Дирихле в 1837 году дал современное определение функции как правила, по которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (области значений).

1.26. Докажите тождество:

$(\frac{3b}{a^2 - ab} + \frac{4a}{b^2 - ab}) \cdot (\frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} + \frac{b^2}{2a - \sqrt{3b}}) : \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} = 1.$

Для доказательства тождества необходимо упростить левую часть выражения. Выполним преобразования по действиям.

1. Сначала упростим выражение в первой скобке: $ \frac{3b}{a^2 - ab} + \frac{4a}{b^2 - ab} $.

Разложим знаменатели на множители: $ a^2 - ab = a(a - b) $ и $ b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b) $.

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение:

$ \frac{3b}{a(a - b)} + \frac{4a}{-b(a - b)} = \frac{3b}{a(a - b)} - \frac{4a}{b(a - b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a - b) $:

$ \frac{3b \cdot b}{ab(a - b)} - \frac{4a \cdot a}{ab(a - b)} = \frac{3b^2 - 4a^2}{ab(a - b)} $

Числитель $ 3b^2 - 4a^2 $ является разностью квадратов $ (\sqrt{3b})^2 - (2a)^2 $, поэтому его можно разложить на множители по формуле $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 3b^2 - 4a^2 = (\sqrt{3b} - 2a)(\sqrt{3b} + 2a) $

В результате выражение в первой скобке равно:

$ \frac{(\sqrt{3b} - 2a)(\sqrt{3b} + 2a)}{ab(a - b)} $

2. Теперь упростим выражение во второй скобке: $ \frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} + \frac{b^2}{2a - \sqrt{3b}} $.

Заметим, что знаменатели являются противоположными выражениями: $ 2a - \sqrt{3b} = -(\sqrt{3b} - 2a) $.

Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$ \frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} + \frac{b^2}{-(\sqrt{3b} - 2a)} = \frac{ab}{\sqrt{3b} - 2a} - \frac{b^2}{\sqrt{3b} - 2a} $

Теперь можно вычесть дроби:

$ \frac{ab - b^2}{\sqrt{3b} - 2a} $

Вынесем общий множитель $ b $ в числителе:

$ \frac{b(a - b)}{\sqrt{3b} - 2a} $

3. Выполним умножение результатов, полученных после упрощения первой и второй скобок:

$ \frac{(\sqrt{3b} - 2a)(\sqrt{3b} + 2a)}{ab(a - b)} \cdot \frac{b(a - b)}{\sqrt{3b} - 2a} $

Сократим общие множители $ (\sqrt{3b} - 2a) $, $ b $ и $ (a - b) $ в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{(\sqrt{3b} - 2a)}(\sqrt{3b} + 2a)}{a\cancel{b}\cancel{(a - b)}} \cdot \frac{\cancel{b}\cancel{(a - b)}}{\cancel{(\sqrt{3b} - 2a)}} = \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} $

4. На последнем шаге выполним деление результата умножения на третье выражение $ \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} $:

$ \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} : \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} $

Деление выражения на само себя дает 1 (при условии, что выражение не равно нулю). Также можно заменить деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{\sqrt{3b} + 2a}{a} \cdot \frac{a}{\sqrt{3b} + 2a} = 1 $

Таким образом, мы преобразовали левую часть уравнения и получили 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1.27. Числитель несократимой дроби на единицу меньше знаменателя.

Если к данной дроби прибавить взаимно-обратную дробь, то значение их суммы будет равно $\frac{113}{56}$. Найдите данную дробь.

Пусть знаменатель искомой несократимой дроби равен $x$.

Согласно условию, числитель на единицу меньше знаменателя, значит, числитель равен $x-1$.

Таким образом, искомая дробь имеет вид $\frac{x-1}{x}$. Условие несократимости означает, что числа $x-1$ и $x$ являются взаимно простыми, что всегда верно для последовательных натуральных чисел.

Дробь, взаимно-обратная данной, равна $\frac{x}{x-1}$.

Сумма этих двух дробей по условию равна $\frac{113}{56}$. Составим уравнение:

$\frac{x-1}{x} + \frac{x}{x-1} = \frac{113}{56}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)} + \frac{x \cdot x}{x(x-1)} = \frac{113}{56}$

$\frac{(x-1)^2 + x^2}{x(x-1)} = \frac{113}{56}$

Раскроем скобки и упростим выражение в левой части:

$\frac{x^2 - 2x + 1 + x^2}{x^2 - x} = \frac{113}{56}$

$\frac{2x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} = \frac{113}{56}$

Теперь используем основное свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$56 \cdot (2x^2 - 2x + 1) = 113 \cdot (x^2 - x)$

$112x^2 - 112x + 56 = 113x^2 - 113x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$113x^2 - 112x^2 - 113x + 112x - 56 = 0$

$x^2 - x - 56 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Мы получили два возможных значения для знаменателя $x$. Рассмотрим каждый из них:

1. Если $x = 8$, то знаменатель равен 8, а числитель равен $x-1 = 8-1 = 7$. Искомая дробь — $\frac{7}{8}$. Эта дробь удовлетворяет всем условиям: она несократима, и ее числитель на единицу меньше знаменателя.

2. Если $x = -7$, то знаменатель равен -7, а числитель равен $x-1 = -7-1 = -8$. Получается дробь $\frac{-8}{-7}$, которая равна $\frac{8}{7}$. В этой дроби числитель (8) на единицу больше знаменателя (7), что противоречит условию задачи.

Следовательно, единственным подходящим решением является первый случай.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

1.28. Найдите наименьшее и наибольшее целые числа, удовлетворяющие неравенству $ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \leq 0 $.

Для решения неравенства $ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \le 0 $ необходимо сначала разложить числитель и знаменатель дроби на множители, а затем решить полученное рациональное неравенство методом интервалов.

1. Разложение на множители и определение области допустимых значений (ОДЗ).

Числитель представляет собой разность квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Для разложения знаменателя $x^2 - 5x + 6$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда знаменатель можно разложить на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 5x + 6 \neq 0$, что равносильно $(x-2)(x-3) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

2. Упрощение и решение неравенства.

Подставим разложенные на множители выражения в исходное неравенство: $$ \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \le 0 $$ С учетом ОДЗ ($x \neq 2$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-2)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{x+2}{x-3} \le 0 $$ Это неравенство решается методом интервалов.

3. Метод интервалов.

На числовую ось наносим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x = -2$ (корень числителя) и $x = 3$ (корень знаменателя).

Точка $x=-2$ будет "закрашенной" (включенной в решение), так как исходное неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=3$ будет "выколотой" (исключенной из решения), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2]$, $[-2, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак выражения $ \frac{x+2}{x-3} $ на каждом из них:

- При $x > 3$ (например, $x=4$): $ \frac{4+2}{4-3} = 6 > 0 $ (знак "+").

- При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $ \frac{0+2}{0-3} = -\frac{2}{3} < 0 $ (знак "-").

- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $ \frac{-3+2}{-3-3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0 $ (знак "+").

Нас интересует область, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это промежуток $x \in [-2, 3)$.

4. Нахождение целых решений.

Теперь необходимо совместить полученное решение $x \in [-2, 3)$ с ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 3$). Точка $x=3$ уже исключена из решения. Точка $x=2$ входит в найденный промежуток, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговое множество решений неравенства: $x \in [-2, 2) \cup (2, 3)$.

Теперь выпишем все целые числа, которые принадлежат этому множеству:

- Целые числа из промежутка $[-2, 2)$: -2, -1, 0, 1.

- В промежутке $(2, 3)$ целых чисел нет.

Таким образом, множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству: $\{-2, -1, 0, 1\}$.

5. Определение наименьшего и наибольшего целого решения.

Из множества целых решений $\{-2, -1, 0, 1\}$ находим:

- Наименьшее целое число: -2.

- Наибольшее целое число: 1.

Ответ: наименьшее целое число -2, наибольшее целое число 1.