Номер 35.15, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.15. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 5x + 6 \le 0, \\ |x| > 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0, \\ |x| < 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 + 3x - 5 > 0, \\ |x| \ge 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 + 5x - 8 \le 0, \\ |x| \le 4. \end{cases}$

1) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 + 5x + 6 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Используя теорему Виета, получаем корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 5x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни: $x \in [-3, -2]$.

Второе неравенство: $|x| > 2$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x > 2$ или $x < -2$.

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-3, -2]$ и $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

На числовой оси видно, что общим решением является промежуток $[-3, -2)$.

Ответ: $x \in [-3, -2)$.

2) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 - x - 6 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-2, 3]$.

Второе неравенство: $|x| < 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < x < 3$.

Решением является интервал $x \in (-3, 3)$.

Найдем пересечение решений: $[-2, 3]$ и $(-3, 3)$.

Общим решением является промежуток $[-2, 3)$.

Ответ: $x \in [-2, 3)$.

3) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $2x^2 + 3x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -2.5$; $x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1$.

Парабола $y = 2x^2 + 3x - 5$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется вне промежутка между корнями: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (1, \infty)$.

Второе неравенство: $|x| \ge 3$.

Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, -2.5) \cup (1, \infty)$ и $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

4) Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $3x^2 + 5x - 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-5 - 11}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$; $x_2 = \frac{-5 + 11}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 + 5x - 8$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-\frac{8}{3}, 1]$.

Второе неравенство: $|x| \le 4$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$.

Решением является отрезок $x \in [-4, 4]$.

Найдем пересечение решений: $[-\frac{8}{3}, 1]$ и $[-4, 4]$.

Поскольку $-\frac{8}{3} \approx -2.67$, отрезок $[-\frac{8}{3}, 1]$ полностью содержится в отрезке $[-4, 4]$. Следовательно, их пересечение равно $[-\frac{8}{3}, 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{8}{3}, 1]$.