Страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Что означает запись $x \to a$, $x \to \infty$?

2. В каких случаях надо раскрывать неопределенности?

3. Что означают словосочетания: "бесконечно большая функция", "бесконечно малая функция"?

4. Приведите пример бесконечно большой функции.

1. Что означает запись x → a, x → ∞?

Запись $x \to a$ (читается как «икс стремится к а») означает, что переменная $x$ последовательно принимает значения, которые становятся всё ближе и ближе к числу $a$. Иными словами, расстояние между $x$ и $a$, то есть $|x - a|$, можно сделать сколь угодно малым. При этом значение $x$ не обязательно достигает значения $a$.

Запись $x \to \infty$ (читается как «икс стремится к бесконечности») означает, что переменная $x$ принимает значения, которые неограниченно возрастают, становясь больше любого наперёд заданного положительного числа. Важно понимать, что бесконечность ($\infty$) — это не число, а символ, обозначающий процесс неограниченного роста переменной.

Ответ: Запись $x \to a$ означает, что переменная $x$ неограниченно приближается к числу $a$. Запись $x \to \infty$ означает, что переменная $x$ неограниченно возрастает.

2. В каких случаях надо раскрывать неопределенности?

Раскрывать неопределенности необходимо при вычислении пределов, когда формальная подстановка предельного значения аргумента в выражение под знаком предела приводит к одной из следующих ситуаций, называемых неопределенностями:

• Отношение двух бесконечно малых величин (вид $\frac{0}{0}$).
• Отношение двух бесконечно больших величин (вид $\frac{\infty}{\infty}$).
• Разность двух бесконечно больших величин (вид $\infty - \infty$).
• Произведение бесконечно малой на бесконечно большую (вид $0 \cdot \infty$).
• Степенные неопределенности (вида $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$).

Ответ: Раскрывать неопределенности надо, когда при вычислении предела прямая подстановка приводит к выражениям вида $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.

3. Что означают словосочетания: "бесконечно большая функция", "бесконечно малая функция"?

Бесконечно большая функция — это функция $f(x)$, предел которой при стремлении аргумента $x$ к некоторой точке $a$ (или к бесконечности) равен бесконечности. Математически это записывается как $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$. Это значит, что по мере приближения $x$ к $a$, значения функции $|f(x)|$ становятся и остаются больше любого, сколь угодно большого, положительного числа.

Бесконечно малая функция (или инфинитезималь) — это функция $\alpha(x)$, предел которой при стремлении аргумента $x$ к некоторой точке $a$ (или к бесконечности) равен нулю. Математически: $\lim_{x \to a} \alpha(x) = 0$. Это значит, что по мере приближения $x$ к $a$, значения функции $|\alpha(x)|$ становятся и остаются меньше любого, сколь угодно малого, положительного числа.

Ответ: "Бесконечно большая функция" — это функция, которая стремится к бесконечности. "Бесконечно малая функция" — это функция, которая стремится к нулю.

4. Приведите пример бесконечно большой функции.

Существует множество примеров бесконечно больших функций. Выбор зависит от того, к чему стремится аргумент $x$.

Например, функция $f(x) = 2^x$ является бесконечно большой при $x \to \infty$, так как $\lim_{x \to \infty} 2^x = \infty$.

Другой пример — рациональная функция $g(x) = \frac{x^2}{x-3}$. Эта функция является бесконечно большой при $x \to \infty$ (так как степень числителя выше степени знаменателя), а также при $x \to 3$ (так как знаменатель стремится к нулю, а числитель — к 9). Например, $\lim_{x \to 3} \frac{x^2}{x-3} = \infty$.

Ответ: Функция $f(x) = x^2$ при $x \to \infty$; функция $g(x) = \frac{1}{x}$ при $x \to 0$.

36.1. Найдите предел последовательности:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{n}$;

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - n + 3}{n^2}$;

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2}$;

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin 2n}{n}$;

5) $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos 2n}{n}$.

1) Чтобы найти предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{n}$, мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим каждый член числителя и знаменателя на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{1}$.

Поскольку при $n