Номер 36.1, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.1. Найдите предел последовательности:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{n}$;

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - n + 3}{n^2}$;

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2}$;

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin 2n}{n}$;

5) $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos 2n}{n}$.

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{n}$

• Разделим почленно числитель на $n$: $\lim_{n \to \infty} (\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} (2 - \frac{1}{n})$.
• Так как $\frac{1}{n} \to 0$ при $n \to \infty$, предел равен $2 - 0 = 2$.

Ответ: 2.

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - n + 3}{n^2}$

• Разделим почленно на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} (\frac{2n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{3}{n^2}) = \lim_{n \to \infty} (2 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2})$.
• Слагаемые $\frac{1}{n}$ и $\frac{3}{n^2}$ стремятся к нулю.

Ответ: 2.

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2}$

• Разделим почленно на $2n^2$: $\lim_{n \to \infty} (\frac{3n^2}{2n^2} - \frac{n}{2n^2} + \frac{1}{2n^2}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{3}{2} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n^2})$.
• Дроби с $n$ в знаменателе стремятся к нулю. Предел равен $\frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5.

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin 2n}{n}$

• Заметим, что функция $\sin 2n$ ограничена: $-1 \le \sin 2n \le 1$ для любого $n$.
• Следовательно, мы имеем произведение ограниченной величины на бесконечно малую ($\frac{1}{n} \to 0$).
• По теореме о пределе произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую, предел равен 0.

Ответ: 0.

5) $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos 2n}{n}$

• Логика аналогична предыдущему пункту: $\cos 2n$ — ограниченная функция ($|\cos 2n| \le 1$).
• При делении на бесконечно большую величину $n$ получаем бесконечно малую.

Ответ: 0.