Номер 36.2, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.2. Используя определение предела функции в точке, докажите, что:

1) $ \lim_{x\to 1} (3x - 1) = 2; $

2) $ \lim_{x\to 2} (3x - 2) = 4; $

3) $ \lim_{x\to -2} (5x + 4) = -6; $

4) $ \lim_{x\to -0,2} (5x - 1) = -2. $

1) Докажем, что $\lim_{x \to 1} (3x - 1) = 2$, используя определение предела функции в точке.

Согласно определению предела (по Коши), число $L$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ найдется такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.

В данном случае у нас есть:

$f(x) = 3x - 1$

$a = 1$

$L = 2$

Зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$. Нам необходимо найти такое $\delta > 0$, чтобы из неравенства $0 < |x - 1| < \delta$ следовало неравенство $|(3x - 1) - 2| < \epsilon$.

Преобразуем выражение в левой части второго неравенства:

$|(3x - 1) - 2| = |3x - 3| = |3(x - 1)| = 3|x - 1|$.

Таким образом, неравенство, которое должно выполняться, имеет вид $3|x - 1| < \epsilon$.

Разделив обе части на 3, получим: $|x - 1| < \frac{\epsilon}{3}$.

Сравнивая полученное неравенство с исходным условием $|x - 1| < \delta$, мы можем выбрать $\delta = \frac{\epsilon}{3}$.

Поскольку $\epsilon$ — положительное число, то и $\delta = \frac{\epsilon}{3}$ также будет положительным числом.

Проверим: пусть $\delta = \frac{\epsilon}{3}$. Тогда для любого $x$, такого, что $0 < |x - 1| < \delta$, мы имеем $|x - 1| < \frac{\epsilon}{3}$. Умножая обе части на 3, получаем $3|x - 1| < \epsilon$, что эквивалентно $|(3x - 1) - 2| < \epsilon$.

Таким образом, для любого $\epsilon > 0$ мы нашли соответствующее $\delta > 0$, что доказывает истинность утверждения.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что $\lim_{x \to 2} (3x - 2) = 4$.

В этом случае: $f(x) = 3x - 2$, $a = 2$, $L = 4$.

Возьмем произвольное $\epsilon > 0$ и найдем соответствующее ему $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - 2| < \delta$ следует $|(3x - 2) - 4| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|(3x - 2) - 4|$:

$|(3x - 2) - 4| = |3x - 6| = |3(x - 2)| = 3|x - 2|$.

Нам нужно, чтобы выполнялось $3|x - 2| < \epsilon$, или $|x - 2| < \frac{\epsilon}{3}$.

Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{3}$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$.

Тогда для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 2| < \delta$, будет справедливо $|x - 2| < \frac{\epsilon}{3}$, а значит, $3|x - 2| < \epsilon$, то есть $|(3x - 2) - 4| < \epsilon$.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что $\lim_{x \to -2} (5x + 4) = -6$.

В этом случае: $f(x) = 5x + 4$, $a = -2$, $L = -6$.

Возьмем произвольное $\epsilon > 0$ и найдем $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - (-2)| < \delta$ (то есть $0 < |x + 2| < \delta$) следует $|(5x + 4) - (-6)| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|(5x + 4) - (-6)|$:

$|(5x + 4) - (-6)| = |5x + 4 + 6| = |5x + 10| = |5(x + 2)| = 5|x + 2|$.

Требуется, чтобы выполнялось $5|x + 2| < \epsilon$, или $|x + 2| < \frac{\epsilon}{5}$.

Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{5}$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$.

Тогда для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x + 2| < \delta$, будет справедливо $|x + 2| < \frac{\epsilon}{5}$, а значит, $5|x + 2| < \epsilon$, то есть $|(5x + 4) - (-6)| < \epsilon$.

Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что $\lim_{x \to -0,2} (5x - 1) = -2$.

В этом случае: $f(x) = 5x - 1$, $a = -0,2$, $L = -2$.

Возьмем произвольное $\epsilon > 0$ и найдем $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - (-0,2)| < \delta$ (то есть $0 < |x + 0,2| < \delta$) следует $|(5x - 1) - (-2)| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|(5x - 1) - (-2)|$:

$|(5x - 1) - (-2)| = |5x - 1 + 2| = |5x + 1|$.

Вынесем 5 за скобки: $|5(x + \frac{1}{5})| = |5(x + 0,2)| = 5|x + 0,2|$.

Требуется, чтобы выполнялось $5|x + 0,2| < \epsilon$, или $|x + 0,2| < \frac{\epsilon}{5}$.

Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{5}$. Так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$.

Тогда для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x + 0,2| < \delta$, будет справедливо $|x + 0,2| < \frac{\epsilon}{5}$, а значит, $5|x + 0,2| < \epsilon$, то есть $|(5x - 1) - (-2)| < \epsilon$.

Ответ: Утверждение доказано.