Номер 10, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Один из корней многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + p$ равен $(-1)$. Найдите этот многочлен и все его действительные корни:

A) $x^3 - 2x^2 + 3x - 6$; $\left\{1; \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$;

B) $x^3 - 2x^2 + 3x + 6$; $\left\{-1; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$;

C) $x^3 - 2x^2 + 3x + 2$; $\left\{1; \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$;

D) $x^3 - 2x^2 + 3x - 6$; $\left\{1; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.

По условию задачи, нам дан многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + p$, и известно, что один из его корней равен -1. Если $x = -1$ является корнем многочлена, то при подстановке этого значения в многочлен результат должен быть равен нулю, то есть $P(-1) = 0$.

Найдем значение параметра $p$, подставив $x = -1$ в уравнение многочлена:

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1) + p = 0$

Выполним вычисления:

$-1 - 2(1) - 3 + p = 0$

$-1 - 2 - 3 + p = 0$

$-6 + p = 0$

$p = 6$

Таким образом, мы нашли искомый многочлен: $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 6$.

Теперь найдем все действительные корни этого многочлена. Поскольку мы знаем, что $x = -1$ является корнем, мы можем разделить многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$, без остатка. Воспользуемся методом деления многочленов (например, делением в столбик или схемой Горнера).

Деление $x^3 - 2x^2 + 3x + 6$ на $(x+1)$ дает в частном квадратный трехчлен:

$(x^3 - 2x^2 + 3x + 6) : (x+1) = x^2 - 3x + 6$

Следовательно, многочлен можно представить в виде произведения:

$P(x) = (x+1)(x^2 - 3x + 6)$

Остальные корни многочлена являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 3x + 6 = 0$. Найдем их, вычислив дискриминант $\Delta$.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант равен $\Delta = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=6$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$

Так как дискриминант $\Delta = -15$ меньше нуля ($\Delta < 0$), квадратное уравнение $x^2 - 3x + 6 = 0$ не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными.

Таким образом, единственный действительный корень исходного многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 6$ - это $x = -1$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа.Наш многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 6$ соответствует многочлену в варианте B. Однако в варианте B указаны корни $\{-1; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\}$. Эти корни являются решениями уравнения $(x+1)(x^2-3x+1)=0$, а не нашего уравнения. В предложенных вариантах ответов допущена ошибка. Тем не менее, единственным вариантом, где правильно определен сам многочлен, является вариант B.

Ответ: B