Страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.9. На одной координатной плоскости постройте графики функций и укажите число общих точек этих графиков:

1) $y = \frac{3x+2}{x-1}$ и $y = \frac{1}{x^2}$;

2) $y = \frac{2x-3}{x+2}$ и $y = \sqrt{x+3}$.

1) $y = \frac{3x+2}{x-1}$ и $y = \frac{1}{x^2}$

Для построения графиков исследуем каждую функцию.

Первая функция: $y = \frac{3x+2}{x-1}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для удобства построения выделим целую часть:

$y = \frac{3(x-1) + 3 + 2}{x-1} = \frac{3(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 3 + \frac{5}{x-1}$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

• С осью Oy (x=0): $y = \frac{3(0)+2}{0-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.
• С осью Ox (y=0): $0 = \frac{3x+2}{x-1} \implies 3x+2=0 \implies x = -2/3$. Точка $(-2/3, 0)$.

Вторая функция: $y = \frac{1}{x^2}$

Это четная функция, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

Область определения: $x \neq 0$. Область значений: $y > 0$.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Построение графиков и поиск общих точек

Нанесем оба графика на одну координатную плоскость. Чтобы найти число общих точек, проанализируем взаимное расположение графиков.

• При $x > 1$: график гиперболы $y = 3 + \frac{5}{x-1}$ находится выше своей горизонтальной асимптоты $y=3$. График функции $y=\frac{1}{x^2}$ находится между осью Ox и прямой $y=1$ (так как $x^2>1$). Общих точек нет.
• При $0 < x < 1$: график гиперболы находится в нижней полуплоскости (значения y отрицательны), а график функции $y=\frac{1}{x^2}$ — в верхней (y всегда положителен). Общих точек нет.
• При $x < 0$: график гиперболы $y=3+\frac{5}{x-1}$ приближается к асимптоте $y=3$ снизу при $x \to -\infty$ и уходит на $-\infty$ при $x \to 0^-$. График функции $y=\frac{1}{x^2}$ приближается к асимптоте $y=0$ сверху при $x \to -\infty$ и уходит на $+\infty$ при $x \to 0^-$. Так как при $x \to -\infty$ гипербола (значения y близки к 3) находится выше графика второй функции (значения y близки к 0), а при $x \to 0^-$ гипербола (y $\to -\infty$) находится ниже графика второй функции (y $\to +\infty$), то в силу непрерывности обеих функций на интервале $(-\infty, 0)$ их графики должны пересечься. Это пересечение единственное.

Ответ: 1 общая точка.

2) $y = \frac{2x-3}{x+2}$ и $y = \sqrt{x+3}$

Для построения графиков исследуем каждую функцию.

Первая функция: $y = \frac{2x-3}{x+2}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Выделим целую часть:

$y = \frac{2(x+2) - 4 - 3}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x+2} - \frac{7}{x+2} = 2 - \frac{7}{x+2}$.

График получается из графика $y = -\frac{7}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

• С осью Oy (x=0): $y = \frac{2(0)-3}{0+2} = -1.5$. Точка $(0, -1.5)$.
• С осью Ox (y=0): $0 = \frac{2x-3}{x+2} \implies 2x-3=0 \implies x = 1.5$. Точка $(1.5, 0)$.

Вторая функция: $y = \sqrt{x+3}$

График этой функции — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Он получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox.

• Область определения: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
• Область значений: $y \ge 0$.
• Начальная точка графика: $(-3, 0)$.
• Контрольные точки: $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(6, 3)$.

Построение графиков и поиск общих точек

Общие точки могут существовать только в области определения обеих функций, то есть при $x \ge -3$ и $x \neq -2$. Рассмотрим два интервала.

• Интервал $[-3, -2)$:

  Для функции $y = \sqrt{x+3}$ значения лежат в диапазоне $[0, 1)$ (так как $y(-3)=0$ и $y(-2)=1$).

  Для гиперболы $y = 2 - \frac{7}{x+2}$ на этом интервале $x+2$ изменяется от -1 до 0. Тогда $\frac{7}{x+2}$ изменяется от -7 до $-\infty$, а $y = 2 - \frac{7}{x+2}$ изменяется от $2-(-7)=9$ до $+\infty$. Таким образом, значения гиперболы лежат в диапазоне $[9, +\infty)$.

  Поскольку минимальное значение гиперболы (9) больше максимального значения функции корня (1) на этом интервале, общих точек здесь нет.

• Интервал $(-2, +\infty)$:

  Для гиперболы $y = 2 - \frac{7}{x+2}$, при $x > -2$ знаменатель $x+2$ положителен, значит $\frac{7}{x+2} > 0$. Следовательно, $y < 2$. График гиперболы на этом интервале всегда находится ниже горизонтальной асимптоты $y=2$.

  Для функции $y = \sqrt{x+3}$ найдем, при каких $x$ ее значения больше 2: $\sqrt{x+3} > 2 \implies x+3 > 4 \implies x > 1$. Значение равно 2 при $x=1$.

  Таким образом, при $x>1$ график $y=\sqrt{x+3}$ лежит выше прямой $y=2$, а график гиперболы — ниже. Значит, при $x>1$ пересечений нет.

  Рассмотрим оставшийся участок $(-2, 1]$. На этом участке функция $y=\sqrt{x+3}$ принимает положительные значения от 1 до 2. Гипербола же пересекает ось Ox в точке $x=1.5$, поэтому на интервале $(-2, 1.5)$ ее значения отрицательны. Так как на $(-2, 1]$ одна функция положительна, а другая отрицательна (за исключением точки x=1.5, которая не входит в интервал), их графики не пересекаются.

Ответ: 0 общих точек.

4.10. Найдите графическим способом число корней уравнения:

1) $x^2 + 3x = \frac{1}{x};$

2) $x^2 - 4x = \frac{1}{x^2};$

3) $\sqrt{x+3} = \frac{1}{x+1};$

4) $\sqrt{2-x} = \frac{2}{x+2}.$

1) Чтобы найти число корней уравнения $x^2 + 3x = \frac{1}{x}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 + 3x$ и $y = \frac{1}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно числу корней уравнения.

Функция $y = x^2 + 3x$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. $y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина находится в точке $(-1.5, -2.25)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках, где $x^2 + 3x = 0$, то есть $x(x+3)=0$, откуда $x=0$ и $x=-3$.

Функция $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Ее ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Анализируя взаимное расположение графиков, видим:

- При $x > 0$ одна ветвь гиперболы убывает от $+\infty$ до 0, а парабола возрастает от 0 до $+\infty$ (начиная с точки (0,0)). Графики пересекаются в одной точке.

- При $x < 0$ ветвь гиперболы находится в третьей четверти. Парабола также проходит через третью четверть. Учитывая положение вершины параболы $(-1.5, -2.25)$ и поведение гиперболы, графики пересекаются в двух точках: одна на интервале $(-3, -1.5)$, другая на интервале $(-1.5, 0)$.

Всего получается три точки пересечения.

Ответ: 3

2) Рассмотрим уравнение $x^2 - 4x = \frac{1}{x^2}$. Построим графики функций $y = x^2 - 4x$ и $y = \frac{1}{x^2}$.

Функция $y = x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=4$.

Функция $y = \frac{1}{x^2}$ определена для всех $x \neq 0$ и принимает только положительные значения ($y > 0$). График симметричен относительно оси Oy, асимптоты — оси координат.

Сравним графики:

- На интервале $(0, 4)$ парабола $y = x^2 - 4x$ принимает отрицательные значения, а функция $y = \frac{1}{x^2}$ — положительные. Пересечений нет.

- При $x > 4$ обе функции положительны. Парабола возрастает, а график $y = \frac{1}{x^2}$ убывает, стремясь к нулю. Есть одна точка пересечения.

- При $x < 0$ обе функции также положительны. Парабола убывает от $+\infty$ до $0$ (при $x \to 0^-$), а график $y = \frac{1}{x^2}$ возрастает от $0$ до $+\infty$ (при $x \to 0^-$). Есть одна точка пересечения.

Итого, две точки пересечения.

Ответ: 2

3) Для уравнения $\sqrt{x+3} = \frac{1}{x+1}$ построим графики функций $y = \sqrt{x+3}$ и $y = \frac{1}{x+1}$.

Функция $y = \sqrt{x+3}$ определена при $x+3 \ge 0$, то есть при $x \ge -3$. Ее график — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-3, 0)$ и монотонно возрастающая.

Функция $y = \frac{1}{x+1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота $x = -1$.

Рассмотрим пересечения на области определения $x \ge -3$:

- На интервале $[-3, -1)$ функция $y = \sqrt{x+3}$ неотрицательна, а функция $y = \frac{1}{x+1}$ отрицательна. Пересечений нет.

- На интервале $(-1, +\infty)$ обе функции положительны. График $y = \sqrt{x+3}$ возрастает (от $\sqrt{2}$ при $x \to -1^+$), а график $y = \frac{1}{x+1}$ убывает (от $+\infty$ до 0). Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. При $x=0$, $y=\sqrt{3} \approx 1.73$, а $y=1$. При $x=-0.5$, $y=\sqrt{2.5} \approx 1.58$, а $y=2$. Это подтверждает наличие одной точки пересечения.

Таким образом, есть только одна точка пересечения.

Ответ: 1

4) Для уравнения $\sqrt{2-x} = \frac{2}{x+2}$ построим графики функций $y = \sqrt{2-x}$ и $y = \frac{2}{x+2}$.

Функция $y = \sqrt{2-x}$ определена при $2-x \ge 0$, то есть при $x \le 2$. Ее график — ветвь параболы, выходящая из точки $(2, 0)$ и идущая влево и вверх.

Функция $y = \frac{2}{x+2}$ — это гипербола со сдвигом на 2 единицы влево и растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота $x = -2$.

Ищем пересечения при $x \le 2$:

- На интервале $(-\infty, -2)$ функция $y = \sqrt{2-x}$ положительна, а функция $y = \frac{2}{x+2}$ отрицательна. Пересечений нет.

- На интервале $(-2, 2]$ обе функции положительны и убывают. При $x \to -2$ справа, $y = \sqrt{2-x} \to \sqrt{4} = 2$, а $y = \frac{2}{x+2} \to +\infty$. В точке $x=2$, $y = \sqrt{2-2} = 0$, а $y = \frac{2}{2+2} = 0.5$. В точке $x=0$, $y=\sqrt{2} \approx 1.414$, а $y=2/2=1$. Поскольку на интервале $(-2, 0)$ одна функция "догоняет" другую (в $x \to -2^+$ $y_{гип} > y_{кор}$, а в $x=0$ $y_{кор} > y_{гип}$), они пересекаются один раз. На интервале $(0, 2]$ неравенство снова меняется (в $x=0$ $y_{кор} > y_{гип}$, а в $x=2$ $y_{гип} > y_{кор}$), значит, есть еще одна точка пересечения.

Всего получается две точки пересечения.

Ответ: 2

4.11. Используя преобразования над функцией $y = \sqrt{x}$, на координатной плоскости построен график функции (рис. 4.17).

1)

2)

Рис. 4.17

1) Исходный график функции $y = \sqrt{x}$ имеет вершину в точке $(0; 0)$ и проходит через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$ и так далее, находясь в первой координатной четверти. График на рисунке 1) имеет ту же форму, что и $y = \sqrt{x}$, но его вершина смещена в точку $(1; -1)$. Это означает, что график исходной функции был сдвинут на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 1 единицу вниз по оси $Oy$.

Сдвиг графика функции $f(x)$ на $a$ единиц вправо описывается функцией $f(x-a)$. В нашем случае сдвиг на 1 единицу вправо дает функцию $y = \sqrt{x-1}$.

Сдвиг графика функции $f(x)$ на $b$ единиц вниз описывается функцией $f(x)-b$. Применяя сдвиг на 1 единицу вниз к полученной функции, получаем итоговое уравнение: $y = \sqrt{x-1} - 1$.

Проверим себя, подставив координаты одной из точек графика, например, $(5; 1)$.

$y(5) = \sqrt{5-1} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Точка $(5; 1)$ принадлежит графику, следовательно, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = \sqrt{x-1} - 1$.

2) График на рисунке 2) имеет вершину в начале координат, в точке $(0; 0)$, как и у исходной функции $y = \sqrt{x}$. Однако, в отличие от исходного графика, который расположен в первой координатной четверти, этот график расположен в третьей четверти. Это указывает на симметричные преобразования (отражения) относительно координатных осей.

График функции $y = f(-x)$ симметричен графику $y = f(x)$ относительно оси $Oy$. Применение этого преобразования к $y = \sqrt{x}$ дает функцию $y = \sqrt{-x}$. Ее график расположен во второй координатной четверти.

График функции $y = -f(x)$ симметричен графику $y = f(x)$ относительно оси $Ox$. Применение этого преобразования к функции $y = \sqrt{-x}$ дает итоговую функцию $y = -\sqrt{-x}$. Ее график будет симметричен графику $y = \sqrt{-x}$ относительно оси $Ox$ и будет расположен в третьей координатной четверти, что и соответствует рисунку.

Таким образом, график получен путем последовательного отражения графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Oy$, а затем относительно оси $Ox$.

Проверим себя, подставив координаты одной из точек графика, например, $(-4; -2)$.

$y(-4) = -\sqrt{-(-4)} = -\sqrt{4} = -2$.

Точка $(-4; -2)$ принадлежит графику, следовательно, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = -\sqrt{-x}$.

Запишите аналитическую формулу этой функции.

Постройте графики функций (4.12—4.13):

4.12.1) $y = \left| \frac{2}{|x-1|} \right|$;

2) $y = \left| \frac{1}{|1-x|} \right|$;

3) $y = \left| \frac{-3}{|x+2|} \right|$.

4.12.1) $y = |\frac{2}{x-1}|$

Сначала запишем аналитическую формулу функции, раскрыв модуль. Используем свойство модуля $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.

$y = |\frac{2}{x-1}| = \frac{|2|}{|x-1|} = \frac{2}{|x-1|}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

По определению модуля:

$|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{если } x-1 > 0 \implies x > 1 \\ -(x-1) = 1-x, & \text{если } x-1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

Следовательно, функция может быть записана в кусочном виде:

$y = \begin{cases} \frac{2}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{2}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$

Для построения графика функции $y = \frac{2}{|x-1|}$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

2. Сместим график $y_1$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получим график функции $y_2 = \frac{2}{x-1}$. Вертикальная асимптота сместится в $x=1$. Горизонтальная асимптота останется $y=0$. При $x > 1$, $y_2 > 0$; при $x < 1$, $y_2 < 0$.

3. Чтобы получить график исходной функции $y = |\frac{2}{x-1}| = |y_2|$, нужно часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (где $y_2 < 0$, то есть при $x < 1$), отразить симметрично относительно оси Ox. Часть графика, которая уже находится выше оси Ox (при $x > 1$), остаётся без изменений.

В итоге, график функции $y = \frac{2}{|x-1|}$ будет состоять из двух ветвей, обе расположены выше оси Ox. Вертикальная асимптота – прямая $x=1$. Горизонтальная асимптота – прямая $y=0$. Контрольные точки: (2, 2), (3, 1), (0, 2), (-1, 1).

Ответ: Аналитическая формула: $y = \begin{cases} \frac{2}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{2}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

2) $y = |\frac{1}{1-x}|$

Запишем аналитическую формулу, раскрыв модуль. Используем свойства $|-a|=|a|$ и $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.

$y = |\frac{1}{1-x}| = \frac{|1|}{|1-x|} = \frac{1}{|-(x-1)|} = \frac{1}{|x-1|}$

Область определения функции: $x \ne 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Раскрывая модуль $|x-1|$, как в предыдущем задании, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$

Построение графика аналогично предыдущему пункту. График функции $y=\frac{1}{|x-1|}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ следующими преобразованиями:

1. Сдвигаем график $y_1 = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вправо, чтобы получить график $y_2 = \frac{1}{x-1}$. Вертикальная асимптота $x=1$.

2. Отражаем отрицательную часть графика $y_2$ (при $x<1$) симметрично относительно оси Ox.

Итоговый график состоит из двух ветвей, расположенных над осью Ox, с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Контрольные точки: (2, 1), (0, 1), (1.5, 2), (0.5, 2).

Ответ: Аналитическая формула: $y = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

3) $y = |\frac{-3}{x+2}|$

Запишем аналитическую формулу, раскрыв модуль.

$y = |\frac{-3}{x+2}| = \frac{|-3|}{|x+2|} = \frac{3}{|x+2|}$

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Раскроем модуль в знаменателе:

$|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{если } x+2 > 0 \implies x > -2 \\ -(x+2), & \text{если } x+2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$

Следовательно, функция имеет вид:

$y = \begin{cases} \frac{3}{x+2}, & \text{при } x > -2 \\ \frac{3}{-(x+2)} = \frac{-3}{x+2}, & \text{при } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика функции $y = \frac{3}{|x+2|}$ выполним преобразования. Построим график функции $y_2 = \frac{3}{x+2}$ путем сдвига графика $y_1 = \frac{3}{x}$ на 2 единицы влево. Затем, часть графика $y_2$, расположенную ниже оси Ox (при $x < -2$), отразим симметрично относительно оси Ox. Часть графика при $x > -2$ уже положительна и остается на месте.

В результате получим график с двумя ветвями над осью Ox, с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Контрольные точки: (-1, 3), (1, 1), (-3, 3), (-5, 1).

Ответ: Аналитическая формула: $y = \begin{cases} \frac{3}{x+2}, & \text{при } x > -2 \\ \frac{-3}{x+2}, & \text{при } x < -2 \end{cases}$.

4.13.1) $y = |\sqrt{x+3}-2|$;

2) $y = |1-\sqrt{x-2}|$;

3) $y = |2-\sqrt{1-x}|$.

1) $y=|\sqrt{x+3}-2|$

Для построения графика данной функции мы будем использовать метод преобразования графиков, взяв за основу функцию $y=\sqrt{x}$.

1. Сначала определим область определения функции. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0$, что дает нам $x \ge -3$. Таким образом, область определения $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \sqrt{x+3}-2$ без модуля. Ее график можно получить из графика $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

- Сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y=\sqrt{x+3}$. Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в $(-3,0)$.

- Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем график $y_1 = \sqrt{x+3}-2$. Начальная точка смещается в $(-3,-2)$.

3. Найдем точки пересечения графика $y_1$ с осями координат:

- С осью Ox ($y_1=0$): $\sqrt{x+3}-2=0 \implies \sqrt{x+3}=2 \implies x+3=4 \implies x=1$. Точка пересечения — $(1,0)$.

- С осью Oy ($x=0$): $y_1(0) = \sqrt{0+3}-2 = \sqrt{3}-2$. Точка пересечения — $(0, \sqrt{3}-2)$.

4. Теперь построим график исходной функции $y=|\sqrt{x+3}-2|$. Это означает, что $y=|y_1|$. Часть графика $y_1$, которая находится ниже оси Ox (т.е. где $y_1 < 0$), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox. Часть графика, где $y_1 \ge 0$, остается без изменений.

- Участок графика $y_1$ на промежутке $[-3, 1]$ находится ниже оси Ox. Мы отражаем его. Начальная точка $(-3, -2)$ переходит в точку $(-3, 2)$. Точка $(0, \sqrt{3}-2)$ переходит в $(0, 2-\sqrt{3})$.

- Участок графика на промежутке $[1, +\infty)$ остается на месте, так как там $y_1 \ge 0$.

- Точка $(1,0)$ является точкой "излома" графика и его точкой минимума.

Ответ: График функции $y=|\sqrt{x+3}-2|$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево, 2 единицы вниз и последующего отражения отрицательной части графика относительно оси Ox. График начинается в точке $(-3, 2)$, имеет точку минимума (излом) в точке $(1, 0)$ и уходит в бесконечность. Область значений функции $E(y)=[0; +\infty)$.

2) $y=|1-\sqrt{x-2}|$

Заметим, что $|1-a| = |-(a-1)| = |a-1|$, поэтому функцию можно переписать в виде $y=|\sqrt{x-2}-1|$ для удобства анализа.

1. Область определения функции: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. $D(y) = [2; +\infty)$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \sqrt{x-2}-1$. Ее график получается из графика $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

- Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить $y=\sqrt{x-2}$. Начало в точке $(2,0)$.

- Сдвиг на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, чтобы получить $y_1=\sqrt{x-2}-1$. Начало в точке $(2,-1)$.

3. Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox ($y_1=0$): $\sqrt{x-2}-1=0 \implies \sqrt{x-2}=1 \implies x-2=1 \implies x=3$. Точка пересечения — $(3,0)$. Пересечения с осью Oy нет, так как $x \ge 2$.

4. Применяем операцию взятия модуля: $y=|y_1|=|\sqrt{x-2}-1|$. Часть графика $y_1$, расположенную ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно этой оси.

- Участок графика на промежутке $[2, 3]$ находится ниже оси Ox. Отражаем его. Начальная точка $(2,-1)$ переходит в точку $(2,1)$.

- Участок на промежутке $[3, +\infty)$ остается без изменений.

- Точка $(3,0)$ является точкой излома и минимума.

Ответ: График функции $y=|1-\sqrt{x-2}|$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо, 1 единицу вниз и отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. График начинается в точке $(2, 1)$, имеет точку минимума (излом) в точке $(3, 0)$. Область значений $E(y)=[0; +\infty)$.

3) $y=|2-\sqrt{1-x}|$

Перепишем функцию в виде $y=|\sqrt{1-x}-2|$.

1. Область определения функции: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. $D(y) = (-\infty; 1]$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \sqrt{1-x}-2$. Ее график получается из графика $y=\sqrt{x}$ преобразованиями:

- Сначала отразим $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy, чтобы получить $y=\sqrt{-x}$.

- Затем сдвинем $y=\sqrt{-x}$ на 1 единицу вправо, чтобы получить $y=\sqrt{-(x-1)} = \sqrt{1-x}$. Конечная точка графика (аналог начальной) находится в $(1,0)$.

- Сдвинем полученный график на 2 единицы вниз, чтобы получить $y_1=\sqrt{1-x}-2$. Конечная точка графика теперь в $(1,-2)$.

3. Найдем точки пересечения графика $y_1$ с осями:

- С осью Ox ($y_1=0$): $\sqrt{1-x}-2=0 \implies \sqrt{1-x}=2 \implies 1-x=4 \implies x=-3$. Точка пересечения — $(-3,0)$.

- С осью Oy ($x=0$): $y_1(0) = \sqrt{1-0}-2 = 1-2 = -1$. Точка пересечения — $(0,-1)$.

4. Применяем модуль: $y=|y_1|=|\sqrt{1-x}-2|$. Отражаем часть графика $y_1$, лежащую под осью Ox, наверх.

- Участок графика на промежутке $(-3, 1]$ находится ниже оси Ox. Отражаем его. Конечная точка $(1,-2)$ переходит в $(1,2)$. Точка $(0, -1)$ переходит в $(0, 1)$.

- Участок на промежутке $(-\infty, -3]$ остается без изменений.

- Точка $(-3,0)$ является точкой излома и минимума.

Ответ: График функции $y=|2-\sqrt{1-x}|$ получается из графика $y=\sqrt{-x}$ сдвигом на 1 единицу вправо, 2 единицы вниз и отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. График имеет конечную точку в $(1, 2)$, точку минимума (излом) в точке $(-3, 0)$. Область значений $E(y)=[0; +\infty)$.

4.14. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x - 2}{x^2 - 9}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{2 - 3x}{x^2 - 1}}$;

3) $y = \frac{1}{x - 2} + \sqrt{\frac{x - 2}{x^2 - 9}}$;

4) $y = \frac{1}{x^2 - 4} + \sqrt{\frac{x^2 - 16}{x + 3}}$.

1) $y = \sqrt{\frac{x-2}{x^2-9}}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Составим систему неравенств:

$\frac{x-2}{x^2-9} \ge 0$

$x^2-9 \ne 0$

Второе условие ($x \ne \pm 3$) автоматически учитывается при решении первого неравенства методом интервалов, так как корни знаменателя всегда являются выколотыми точками.

Решим неравенство $\frac{x-2}{(x-3)(x+3)} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$x-2=0 \implies x=2$

$(x-3)(x+3)=0 \implies x=3, x=-3$

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=2$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точки $x=-3$ и $x=3$ — выколотыми (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2]$, $[2; 3)$, $(3; +\infty)$.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{+}{+\cdot+} > 0$.
• При $2 \le x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{+}{-\cdot+} < 0$.
• При $-3 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{-}{-\cdot+} > 0$.
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-3; 2]$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 2] \cup (3; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{\frac{2-3x}{x^2-1}}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равным нулю.

Решаем неравенство $\frac{2-3x}{x^2-1} \ge 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{2-3x}{(x-1)(x+1)} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$2-3x=0 \implies x=\frac{2}{3}$

$(x-1)(x+1)=0 \implies x=1, x=-1$

Отметим точки на числовой оси: $x=-1$ (выколотая), $x=\frac{2}{3}$ (закрашенная), $x=1$ (выколотая).

Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; \frac{2}{3}]$, $[\frac{2}{3}; 1)$, $(1; +\infty)$.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{-}{+\cdot+} < 0$.
• При $\frac{2}{3} \le x < 1$ (например, $x=0.8$): $\frac{-}{-\cdot+} > 0$.
• При $-1 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{+}{-\cdot+} < 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{+}{-\cdot-} > 0$.

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -1)$ и $[\frac{2}{3}; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [\frac{2}{3}; 1)$.

3) $y = \frac{1}{x-2} + \sqrt{\frac{x-2}{x^2-9}}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух слагаемых.

Для первого слагаемого $\frac{1}{x-2}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

Для второго слагаемого $\sqrt{\frac{x-2}{x^2-9}}$ область определения была найдена в пункте 1): $x \in (-3; 2] \cup (3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этих двух условий. Мы должны взять множество $x \in (-3; 2] \cup (3; +\infty)$ и исключить из него точку $x=2$.

Интервал $(-3; 2]$ содержит точку $x=2$. Исключив ее, получим интервал $(-3; 2)$.

Интервал $(3; +\infty)$ не содержит точку $x=2$, поэтому он остается без изменений.

Объединяя результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-3; 2) \cup (3; +\infty)$.

4) $y = \frac{1}{x^2-4} + \sqrt{\frac{x^2-16}{x+3}}$

Область определения является пересечением областей определения двух слагаемых.

Для первого слагаемого $\frac{1}{x^2-4}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2-4 \ne 0 \implies (x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Для второго слагаемого $\sqrt{\frac{x^2-16}{x+3}}$ решаем неравенство $\frac{x^2-16}{x+3} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x-4)(x+4)}{x+3} \ge 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=4, x=-4, x=-3$.

Отметим точки на числовой оси: $x=-4$ (закрашенная), $x=-3$ (выколотая), $x=4$ (закрашенная).

Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -4]$, $[-4; -3)$, $(-3; 4]$, $[4; +\infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{+\cdot+}{+} > 0$.
• При $-3 < x \le 4$ (например, $x=0$): $\frac{-\cdot+}{+} < 0$.
• При $-4 \le x < -3$ (например, $x=-3.5$): $\frac{-\cdot+}{-} > 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-\cdot-}{-} < 0$.

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю: $[-4; -3) \cup [4; +\infty)$.

Теперь объединим все условия. Область определения второго слагаемого: $x \in [-4; -3) \cup [4; +\infty)$. Условия для первого слагаемого: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Проверим, входят ли точки $x=2$ и $x=-2$ в найденную область. Точка $x=2$ не входит ни в один из интервалов. Точка $x=-2$ также не входит. Следовательно, дополнительные ограничения не изменяют полученное множество.

Ответ: $x \in [-4; -3) \cup [4; +\infty)$.

4.15. Докажите тождество:

1) $\cos^2(180^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) - \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}(180^\circ + x) = 0;$

2) $\frac{\cos^2(\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.$

1) Докажем тождество: $ \cos^2(180^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) - \text{tg}\,x \cdot \text{ctg}(180^\circ + x) = 0 $

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения:

1. $ \cos(180^\circ - x) = -\cos x $. Так как угол $ 180^\circ - x $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а при $ 180^\circ $ функция не меняется. Тогда $ \cos^2(180^\circ - x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x $.

2. $ \cos(270^\circ + x) = \sin x $. Так как угол $ 270^\circ + x $ находится в четвертой четверти, где косинус положителен, а при $ 270^\circ $ функция меняется на кофункцию. Тогда $ \cos^2(270^\circ + x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x $.

3. $ \text{ctg}(180^\circ + x) = \text{ctg}\,x $. Так как угол $ 180^\circ + x $ находится в третьей четверти, где котангенс положителен, а при $ 180^\circ $ функция не меняется.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ \cos^2 x + \sin^2 x - \text{tg}\,x \cdot \text{ctg}\,x $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и тождество $ \text{tg}\,x \cdot \text{ctg}\,x = 1 $:

$ 1 - 1 = 0 $

Получили $ 0 = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\cos^2(\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения:

1. $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $. Угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Тогда $ \cos^2(\pi + \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $.

2. $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти, где косинус положителен, а при $ \frac{\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию.

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{\cos^2\alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $ и подставим его в числитель дроби:

$ \frac{1 - \sin^2\alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 1 $):

$ (1 + \sin \alpha) - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Упростим выражение:

$ 1 + \sin \alpha - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha = 1 + \text{tg}^2\alpha $

Используем еще одно основное тригонометрическое тождество $ 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} $

Левая часть равна правой: $ \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4.16. Найдите корни уравнения:

1)

$|x + 3| = |2 - x|;$

2)

$|x - 4| - |x - 2| = -2;$

3)

$|x - 3| + 2|x + 1| = 4.$

46

1) Дано уравнение $|x + 3| = |2 - x|$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x + 3 = 2 - x$

2) $x + 3 = -(2 - x)$

Решим первое уравнение:

$x + x = 2 - 3$

$2x = -1$

$x = -0.5$

Решим второе уравнение:

$x + 3 = x - 2$

$3 = -2$

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае корней нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = -0.5$.

2) Дано уравнение $|x - 4| - |x - 2| = -2$.

Для решения этого уравнения раскроем модули на разных промежутках. Нули подмодульных выражений: $x = 4$ и $x = 2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2)$, $[2, 4)$ и $[4, \infty)$.

1. Если $x < 2$, то $x-4 < 0$ и $x-2 < 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 4) - (-(x - 2)) = -2$

$-x + 4 + x - 2 = -2$

$2 = -2$

Это неверное равенство, значит, на этом промежутке корней нет.

2. Если $2 \le x < 4$, то $x-4 < 0$ и $x-2 \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 4) - (x - 2) = -2$

$-x + 4 - x + 2 = -2$

$-2x + 6 = -2$

$-2x = -8$

$x = 4$

Найденный корень $x=4$ не принадлежит интервалу $[2, 4)$.

3. Если $x \ge 4$, то $x-4 \ge 0$ и $x-2 > 0$. Уравнение принимает вид:

$(x - 4) - (x - 2) = -2$

$x - 4 - x + 2 = -2$

$-2 = -2$

Это верное равенство, значит, все значения $x$ из этого промежутка являются решениями уравнения.

Объединяя результаты, получаем, что решением является промежуток $[4, \infty)$.

Ответ: $x \in [4, \infty)$.

3) Дано уравнение $|x - 3| + 2|x + 1| = 4$.

Раскроем модули на интервалах, которые определяются нулями подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = -1$. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $[-1, 3)$ и $[3, \infty)$.

1. Если $x < -1$, то $x-3 < 0$ и $x+1 < 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 3) + 2(-(x + 1)) = 4$

$-x + 3 - 2x - 2 = 4$

$-3x + 1 = 4$

$-3x = 3$

$x = -1$

Значение $x=-1$ не входит в промежуток $x < -1$, поэтому на этом интервале решений нет.

2. Если $-1 \le x < 3$, то $x-3 < 0$ и $x+1 \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 3) + 2(x + 1) = 4$

$-x + 3 + 2x + 2 = 4$

$x + 5 = 4$

$x = -1$

Значение $x=-1$ принадлежит промежутку $[-1, 3)$, следовательно, является корнем уравнения.

3. Если $x \ge 3$, то $x-3 \ge 0$ и $x+1 > 0$. Уравнение принимает вид:

$(x - 3) + 2(x + 1) = 4$

$x - 3 + 2x + 2 = 4$

$3x - 1 = 4$

$3x = 5$

$x = 5/3$

Значение $x=5/3$ (примерно 1.67) не принадлежит промежутку $x \ge 3$, поэтому не является решением.

Единственным корнем уравнения является $x=-1$.

Ответ: $x = -1$.

37.5. Используя замечательный предел, вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 2x}{2 \text{ sin } x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 3x}{\text{sin } 3x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 2x}{\text{tg } 5x};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{arctg } 6x}{\text{arcsin } 3x}.$

1) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2\sin x}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, воспользуемся следствиями из первого замечательного предела, которые гласят, что при $x \to 0$ справедливы следующие эквивалентности для бесконечно малых функций: $\operatorname{arctg}(kx) \sim kx$ и $\sin(kx) \sim kx$.

В данном случае, при $x \to 0$, мы имеем $\operatorname{arctg} 2x \sim 2x$ и $\sin x \sim x$.

Заменим функции в пределе на их эквиваленты:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2\sin x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{2x} = \lim_{x\to0} 1 = 1$.

Для более строгого доказательства, преобразуем выражение так, чтобы явно использовать известные пределы $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{arctg} u}{u}=1$ и $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2\sin x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\sin x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to0} \left( \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{2x}{x} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x}\right) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Ответ: 1.

2) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{\sin 3x}$ также используем метод замены на эквивалентные бесконечно малые, поскольку при $x \to 0$ мы имеем неопределенность $\frac{0}{0}$.

При $x \to 0$, $\operatorname{arctg} 3x \sim 3x$ и $\sin 3x \sim 3x$.

Подставим эти эквивалентности в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0} \frac{3x}{3x} = 1$.

Формальное решение состоит в делении числителя и знаменателя на $3x$ и использовании свойств пределов:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\operatorname{arctg} 3x}{3x}}{\frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arctg} 3x}{3x}}{\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}}$.

Поскольку при $x \to 0$ также и $3x \to 0$, оба предела в числителе и знаменателе равны 1. Таким образом, получаем:

$\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1.

3) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\operatorname{tg} 5x}$. Здесь снова неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся эквивалентностями, следующими из первого замечательного предела: при $x \to 0$ имеем $\operatorname{arctg} 2x \sim 2x$ и $\operatorname{tg} 5x \sim 5x$.

Произведем замену в исходном выражении:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\operatorname{tg} 5x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$.

Подробное решение с использованием стандартных пределов $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{arctg} u}{u}=1$ и $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{tg} u}{u}=1$:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\operatorname{tg} 5x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\operatorname{tg} 5x}{5x} \cdot 5x} = \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}}{\frac{\operatorname{tg} 5x}{5x}} \cdot \frac{2x}{5x} \right) = \frac{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}}{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} 5x}{5x}} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

4) Рассмотрим предел $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 6x}{\operatorname{arcsin} 3x}$. При подстановке $x=0$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Используем эквивалентные бесконечно малые: при $x \to 0$ справедливы соотношения $\operatorname{arctg} 6x \sim 6x$ и $\operatorname{arcsin} 3x \sim 3x$.

Подставляем эквиваленты в предел и упрощаем:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 6x}{\operatorname{arcsin} 3x} = \lim_{x\to0} \frac{6x}{3x} = \frac{6}{3} = 2$.

Для формального решения преобразуем выражение, чтобы выделить известные пределы:

$\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} 6x}{\operatorname{arcsin} 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\operatorname{arctg} 6x}{6x} \cdot 6x}{\frac{\operatorname{arcsin} 3x}{3x} \cdot 3x} = \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\operatorname{arctg} 6x}{6x}}{\frac{\operatorname{arcsin} 3x}{3x}} \cdot \frac{6x}{3x} \right) = \frac{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arctg} 6x}{6x}}{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arcsin} 3x}{3x}} \cdot 2$.

Так как $\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{arctg} u}{u}=1$ и $\lim_{v\to0}\frac{\operatorname{arcsin} v}{v}=1$, получаем:

$\frac{1}{1} \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2.

37.6. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \frac{\sin 3x}{x} \right);$

2) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\arcsin x}{3x} + \frac{\sin x}{2x} \right);$

3) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} + \frac{\sin 3x}{2x} \right);$

4) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} - \frac{\sin 3x}{3x} \right);$

5) $\lim_{x \to \infty} (\sin 5x + \operatorname{tg} 3x);$

6) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 1}{x - 1} + \frac{\sin 6x}{3x} \right).$

1)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \frac{\sin 3x}{x}) $ воспользуемся свойством предела суммы, которое гласит, что предел суммы равен сумме пределов (если они существуют):$ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \frac{\sin 3x}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} $.Для вычисления каждого предела воспользуемся первым замечательным пределом $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $ и его следствиями, в частности $ \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{tg} u}{u} = 1 $.Рассмотрим первое слагаемое:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{4x} \cdot \frac{4x}{2x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{tg} 4x}{4x} \cdot 2) $.Поскольку при $ x \to 0 $, $ 4x \to 0 $, то $ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 4x}{4x} = 1 $. Таким образом, предел первого слагаемого равен $ 1 \cdot 2 = 2 $.Рассмотрим второе слагаемое:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3) $.Поскольку при $ x \to 0 $, $ 3x \to 0 $, то $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 $. Таким образом, предел второго слагаемого равен $ 1 \cdot 3 = 3 $.Сложим полученные значения: $ 2 + 3 = 5 $.Ответ: 5

2)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\arcsin x}{3x} + \frac{\sin x}{2x}) $ разобьем его на сумму двух пределов:$ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{3x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} $.Используем эквивалентные бесконечно малые функции при $ x \to 0 $: $ \arcsin x \sim x $ и $ \sin x \sim x $, из которых следуют пределы $ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1 $ и $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $.Вычислим предел первого слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{3x} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{\arcsin x}{x}) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $.Вычислим предел второго слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $.Сложим полученные результаты: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} $.Ответ: $ \frac{5}{6} $

3)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} + \frac{\sin 3x}{2x}) $ воспользуемся свойством предела суммы:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} $.Используем эквивалентные бесконечно малые функции при $ u \to 0 $: $ \operatorname{arctg} u \sim u $ и $ \sin u \sim u $, что означает $ \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{arctg} u}{u} = 1 $ и $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.Вычислим предел первого слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{3x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3}) = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $.Вычислим предел второго слагаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2}) = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $.Сложим полученные результаты: $ \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} $.Ответ: $ \frac{13}{6} $

4)Для вычисления предела $ \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} - \frac{\sin 3x}{3x}) $ воспользуемся свойством предела разности:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} $.Используем известные пределы, следующие из первого замечательного предела: $ \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{arctg} u}{u} = 1 $ и $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.Вычислим предел уменьшаемого:$ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 3x}{x} = \lim_{x \to 0} (\frac{\operatorname{arctg} 3x}{3x} \cdot 3) = 1 \cdot 3 = 3 $.Вычислим предел вычитаемого. Обозначим $ u = 3x $. При $ x \to 0 $, $ u \to 0 $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.Вычтем полученные значения: $ 3 - 1 = 2 $.Ответ: 2

5)Рассмотрим предел $ \lim_{x \to \infty} (\sin 5x + \operatorname{tg} 3x) $.Функция $ f(x) = \sin 5x $ является периодической и ее значения колеблются в отрезке $ [-1, 1] $. При $ x \to \infty $ функция не стремится ни к какому конкретному значению, поэтому предел $ \lim_{x \to \infty} \sin 5x $ не существует.Функция $ g(x) = \operatorname{tg} 3x $ является периодической с периодом $ \frac{\pi}{3} $. Ее значения колеблются в интервале $ (-\infty, +\infty) $ и она имеет бесконечное число вертикальных асимптот. При $ x \to \infty $ функция не стремится ни к какому конкретному значению, поэтому предел $ \lim_{x \to \infty} \operatorname{tg} 3x $ не существует.Поскольку предел каждого из слагаемых не существует, предел их суммы также не существует.Ответ: предел не существует

6)Для вычисления предела $ \lim_{x \to \infty} (\frac{2x+1}{x-1} + \frac{\sin 6x}{3x}) $ разобьем его на сумму двух пределов:$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} + \lim_{x \to \infty} \frac{\sin 6x}{3x} $.Вычислим предел первого слагаемого. Это предел отношения двух многочленов, где степени числителя и знаменателя равны. Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях. Или, разделив числитель и знаменатель на $ x $:$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} $.Так как $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $, получаем $ \frac{2+0}{1-0} = 2 $.Вычислим предел второго слагаемого. Функция $ \sin 6x $ ограничена: $ -1 \le \sin 6x \le 1 $. Функция $ \frac{1}{3x} $ является бесконечно малой при $ x \to \infty $. Предел произведения ограниченной функции на бесконечно малую равен нулю. Формально, по теореме о сжатой переменной (теореме о двух милиционерах):Так как $ -1 \le \sin 6x \le 1 $, то для $ x > 0 $ имеем $ \frac{-1}{3x} \le \frac{\sin 6x}{3x} \le \frac{1}{3x} $.Поскольку $ \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{3x} = 0 $ и $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x} = 0 $, то и предел "зажатой" между ними функции равен нулю: $ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin 6x}{3x} = 0 $.Сложим полученные результаты: $ 2 + 0 = 2 $.Ответ: 2

Найдите пределы выражений (37.7–37.9):

37.7. 1) $ \lim_{x \to 0} \cos x; $2) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 2x; $3) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{\sin 3x}; $

4) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}; $5) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}; $6) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + \operatorname{tg} 2x}{\sin x}. $

1) Для нахождения предела $\lim_{x \to 0} \cos x$ воспользуемся свойством непрерывности функции косинус. Поскольку функция $y = \cos x$ непрерывна в точке $x=0$, мы можем просто подставить это значение в функцию: $\lim_{x \to 0} \cos x = \cos(0) = 1$.

Ответ: $1$.

2) Для нахождения предела $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 2x$ воспользуемся свойством непрерывности функции $y = \cos 2x$. Подставим значение $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение:$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 2x = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Найдем предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{\sin 3x}$.Проверим значения числителя и знаменателя в предельной точке $x = \frac{\pi}{2}$.

Числитель: $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.

Знаменатель: $\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -1$.

Поскольку и числитель, и знаменатель являются непрерывными функциями, и знаменатель в предельной точке не равен нулю, предел частного равен частному пределов:$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{\sin 3x} = \frac{-1}{-1} = 1$.

Ответ: $1$.

4) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1 - \cos(0) = 0$ и $\sin^2(0) = 0$.Для раскрытия неопределенности используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.Подставим это тождество в исходное выражение:$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{\sin^2 x}$.Поскольку при $x \to 0$, $x \neq 0$, то и $\sin^2 x \neq 0$, поэтому мы можем сократить дробь на $\sin^2 x$:$\lim_{x \to 0} 2 = 2$.

Ответ: $2$.

5) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.Воспользуемся тригонометрической формулой $1 - \cos \alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. В нашем случае $\alpha = 4x$, поэтому $1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)$.Предел принимает вид:$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2}$.Теперь воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$.Преобразуем наше выражение, чтобы его использовать:$\lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{x}\right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2\right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2 \cdot 4 = \lim_{x \to 0} 8 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2$.Так как при $x \to 0$ выражение $2x$ также стремится к нулю, то по первому замечательному пределу $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$.Следовательно, искомый предел равен:$8 \cdot 1^2 = 8$.

Ответ: $8$.

6) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + \operatorname{tg} 2x}{\sin x}$.При $x \to 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 4x + \operatorname{tg} 2x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 4x}{x} + \frac{\operatorname{tg} 2x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}$.Предел знаменателя, согласно первому замечательному пределу, равен $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.Рассмотрим предел числителя:$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 4x}{x} + \frac{\operatorname{tg} 2x}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{x}$.Вычислим каждый предел отдельно, приводя их к первому замечательному пределу:$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4\right) = 1 \cdot 4 = 4$.$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{\cos 2x}\right) = 1 \cdot \frac{2}{\cos 0} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$.Таким образом, предел числителя равен $4 + 2 = 6$.Итоговый предел равен: $\frac{6}{1} = 6$.

Ответ: $6$.

37.8. 1) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\operatorname{tg}(x^2)};$

2) $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 3x + \sin 5x};$

3) $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 2x - 4\sin x}{5x - \sin 3x};$

4) $\lim_{x\to 0} \frac{2\sin 2x + 2\sin 3x}{2x - 4\sin 2x}.$

1) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\text{tg}(x^2)}$ сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся известными тригонометрическими тождествами и эквивалентными бесконечно малыми функциями.

Сначала применим формулу понижения степени для косинуса: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$. В нашем случае $\alpha=x$.

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\text{tg}(x^2)} = \lim_{x\to0} \frac{2\sin^2 x}{\text{tg}(x^2)}$

Теперь используем эквивалентные бесконечно малые при $x \to 0$. Из первого замечательного предела ($\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$) следуют эквивалентности:

$\sin x \sim x$

$\text{tg}(x^2) \sim x^2$ (поскольку $x^2 \to 0$ при $x \to 0$)

Заменяем функции в пределе на их эквиваленты:

$\lim_{x\to0} \frac{2(x)^2}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{2x^2}{x^2} = 2$

Ответ: $2$

2) В пределе $\lim_{x\to0} \frac{3\sin 2x - 4\sin 5x}{5\sin 3x + \sin 5x}$ при подстановке $x=0$ возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Для решения воспользуемся эквивалентностью $\sin(kx) \sim kx$ при $x \to 0$.

Заменяем синусы в числителе и знаменателе на эквивалентные им функции:

$\sin 2x \sim 2x$

$\sin 5x \sim 5x$

$\sin 3x \sim 3x$

Подставляем в исходный предел:

$\lim_{x\to0} \frac{3(2x) - 4(5x)}{5(3x) + 5x} = \lim_{x\to0} \frac{6x - 20x}{15x + 5x} = \lim_{x\to0} \frac{-14x}{20x} = -\frac{14}{20} = -\frac{7}{10}$

Ответ: $-\frac{7}{10}$

3) В пределе $\lim_{x\to0} \frac{3\sin 2x - 4\sin x}{5x - \sin 3x}$ также имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Применим тот же метод, что и в предыдущем задании, используя эквивалентность $\sin(kx) \sim kx$ при $x \to 0$.

$\sin 2x \sim 2x$

$\sin x \sim x$

$\sin 3x \sim 3x$

Подставляем эквивалентные функции в выражение под знаком предела:

$\lim_{x\to0} \frac{3(2x) - 4(x)}{5x - 3x} = \lim_{x\to0} \frac{6x - 4x}{5x - 3x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{2x} = 1$

Ответ: $1$

4) Для вычисления предела $\lim_{x\to0} \frac{2\sin 2x + 2\sin 3x}{2x - 4\sin 2x}$ мы снова сталкиваемся с неопределенностью $\frac{0}{0}$.

Используем замену на эквивалентные бесконечно малые при $x \to 0$: $\sin(kx) \sim kx$.

$\sin 2x \sim 2x$

$\sin 3x \sim 3x$

Подставляем эти эквивалентности в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{2(2x) + 2(3x)}{2x - 4(2x)} = \lim_{x\to0} \frac{4x + 6x}{2x - 8x} = \lim_{x\to0} \frac{10x}{-6x} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$

37.9. 1) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4x}{x+2}\right)^2$;

2) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^2}{x^2-1}\right)^2$;

3) $\lim_{x \to \infty} \left(2 + \frac{\sin x}{2x-1}\right)$;

4) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4+x^2}{3-x^2}\right)^{-2}$.

1) Найдем предел выражения в скобках. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $x$ в старшей степени, то есть на $x$.$ \lim_{x\to\infty} \frac{4x}{x+2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{4}{1+\frac{2}{x}} $.Поскольку при $x\to\infty$ выражение $\frac{2}{x}\to 0$, то предел дроби равен $\frac{4}{1+0}=4$.Теперь воспользуемся свойством предела степенной функции: $\lim_{x\to a} (f(x))^n = (\lim_{x\to a} f(x))^n$.$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4x}{x+2}\right)^2 = \left(\lim_{x\to\infty} \frac{4x}{x+2}\right)^2 = 4^2 = 16 $.

Ответ: 16

2) Сначала найдем предел выражения в скобках. Это предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$. Степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2. Предел в этом случае равен отношению коэффициентов при старших степенях $x^2$.$ \lim_{x\to\infty} \frac{2x^2}{x^2-1} = \frac{2}{1} = 2 $.Или, разделив числитель и знаменатель на $x^2$:$ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{1-\frac{1}{x^2}} = \frac{2}{1-0} = 2 $.Теперь возведем полученный предел в квадрат:$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{2x^2}{x^2-1}\right)^2 = \left(\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2}{x^2-1}\right)^2 = 2^2 = 4 $.

Ответ: 4

3) Воспользуемся свойством предела суммы: $\lim_{x\to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x)$.$ \lim_{x\to\infty} \left(2+\frac{\sin x}{2x-1}\right) = \lim_{x\to\infty} 2 + \lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{2x-1} $.Первый предел: $\lim_{x\to\infty} 2 = 2$.Для второго предела $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{2x-1}$ заметим, что функция $\sin x$ является ограниченной ($-1 \le \sin x \le 1$), а знаменатель $2x-1$ стремится к бесконечности. Предел такого отношения (ограниченная функция, деленная на бесконечно большую) равен нулю. Это можно строго доказать по теореме о двух милиционерах (Squeeze Theorem).Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то для $x > 1/2$ имеем:$ \frac{-1}{2x-1} \le \frac{\sin x}{2x-1} \le \frac{1}{2x-1} $.Поскольку $\lim_{x\to\infty} \frac{-1}{2x-1} = 0$ и $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{2x-1} = 0$, то по теореме о двух милиционерах $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{2x-1} = 0$.Следовательно, искомый предел равен $2 + 0 = 2$.

Ответ: 2

4) Найдем предел выражения в скобках. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.$ \lim_{x\to\infty} \frac{4+x^2}{3-x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4}{x^2}+1}{\frac{3}{x^2}-1} $.При $x\to\infty$, выражения $\frac{4}{x^2}$ и $\frac{3}{x^2}$ стремятся к нулю.Предел равен $\frac{0+1}{0-1} = -1$.Теперь воспользуемся свойством предела степенной функции:$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4+x^2}{3-x^2}\right)^{-2} = \left(\lim_{x\to\infty} \frac{4+x^2}{3-x^2}\right)^{-2} = (-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1 $.

Ответ: 1

37.10. Вычислите предел:

1) $ \lim_{x \to 1} \frac{\operatorname{arctg}(x - 1)}{x - 1}; $

2) $ \lim_{x \to 2} \frac{\arcsin(x - 2)}{x - 2}; $

3) $ \lim_{x \to -1} \frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{\arcsin(x + 1)}; $

4) $ \lim_{x \to 1,5} \frac{\arcsin(2x - 3)}{\operatorname{arctg}(2x - 3)}. $

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{\operatorname{arctg}(x - 1)}{x - 1}$.

При $x \to 1$ числитель $\operatorname{arctg}(x - 1) \to \operatorname{arctg}(0) = 0$ и знаменатель $x - 1 \to 0$. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Для вычисления этого предела сделаем замену переменной. Пусть $y = x - 1$. Когда $x \to 1$, тогда $y \to 0$.

Предел принимает вид: $\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{y}$.

Это является следствием первого замечательного предела, известным как эквивалентность бесконечно малых: $\operatorname{arctg}(y) \sim y$ при $y \to 0$. Таким образом, предел равен 1.

$\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{y} = 1$.

Следовательно, исходный предел также равен 1.

Ответ: 1

2) Вычислим предел $\lim_{x \to 2} \frac{\arcsin(x - 2)}{x - 2}$.

Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как при $x \to 2$ и числитель $\arcsin(x - 2) \to \arcsin(0) = 0$, и знаменатель $x - 2 \to 0$.

Сделаем замену переменной: $y = x - 2$. При $x \to 2$, $y \to 0$.

Предел преобразуется к виду: $\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{y}$.

Это также следствие первого замечательного предела, $\arcsin(y) \sim y$ при $y \to 0$, значение которого равно 1.

$\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{y} = 1$.

Таким образом, искомый предел равен 1.

Ответ: 1

3) Вычислим предел $\lim_{x \to -1} \frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{\arcsin(x + 1)}$.

При $x \to -1$ выражение $x+1 \to 0$. Таким образом, мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $\operatorname{arctg}(0)=0$ и $\arcsin(0)=0$.

Для решения используем эквивалентные бесконечно малые функции. При $u \to 0$ справедливы эквивалентности: $\operatorname{arctg}(u) \sim u$ и $\arcsin(u) \sim u$.

Сделаем замену $y = x + 1$. При $x \to -1$, $y \to 0$.

Предел принимает вид: $\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{\arcsin(y)}$.

Заменяя функции на эквивалентные им бесконечно малые, получаем: $\lim_{y \to 0} \frac{y}{y} = \lim_{y \to 0} 1 = 1$.

Другой способ - разделить числитель и знаменатель на $x+1$: $\lim_{x \to -1} \frac{\frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{x + 1}}{\frac{\arcsin(x + 1)}{x + 1}} = \frac{\lim_{x \to -1} \frac{\operatorname{arctg}(x + 1)}{x + 1}}{\lim_{x \to -1} \frac{\arcsin(x + 1)}{x + 1}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1

4) Вычислим предел $\lim_{x \to 1.5} \frac{\arcsin(2x - 3)}{\operatorname{arctg}(2x - 3)}$.

При $x \to 1.5$ выражение $2x-3 \to 2 \cdot 1.5 - 3 = 3 - 3 = 0$. Мы снова сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Сделаем замену переменной $y = 2x - 3$. Когда $x \to 1.5$, тогда $y \to 0$.

Исходный предел становится: $\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{\operatorname{arctg}(y)}$.

Используя эквивалентности для бесконечно малых $\arcsin(y) \sim y$ и $\operatorname{arctg}(y) \sim y$ при $y \to 0$, получаем: $\lim_{y \to 0} \frac{y}{y} = 1$.

Как и в предыдущем примере, можно разделить числитель и знаменатель на $y=2x-3$ и использовать замечательные пределы: $\lim_{y \to 0} \frac{\frac{\arcsin(y)}{y}}{\frac{\operatorname{arctg}(y)}{y}} = \frac{\lim_{y \to 0} \frac{\arcsin(y)}{y}}{\lim_{y \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(y)}{y}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1

37.11. Найдите предел:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{3x}$; 2) $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 3x}{2x}$; 3) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg}(-4x)}{5x}$; 4) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{\arcsin 4x}$.

1) Для нахождения предела $ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{3x} $ воспользуемся тем, что при $ x \to 0 $, функция $ \arcsin x $ эквивалентна $ x $. Это является следствием первого замечательного предела. Заменяем $ \arcsin x $ на $ x $ в выражении под знаком предела:$ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $

2) Для нахождения предела $ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 3x}{2x} $ применим тот же метод. При $ x \to 0 $, аргумент арксинуса $ 3x $ также стремится к нулю, поэтому мы можем использовать эквивалентность $ \arcsin(3x) \sim 3x $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $

3) Для нахождения предела $ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(-4x)}{5x} $ используем эквивалентность для арктангенса: при $ u \to 0 $, $ \arctan u \sim u $. В данном случае $ u = -4x $, и так как $ x \to 0 $, то $ u \to 0 $. Следовательно, $ \arctan(-4x) \sim -4x $.$ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(-4x)}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x}{5x} = -\frac{4}{5} $.

Ответ: $ -\frac{4}{5} $

4) Для нахождения предела $ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan 2x}{\arcsin 4x} $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Воспользуемся заменой на эквивалентные бесконечно малые функции для числителя и знаменателя.При $ x \to 0 $ справедливы следующие соотношения: $ \arctan 2x \sim 2x $ и $ \arcsin 4x \sim 4x $.Заменяем обе функции в пределе на эквивалентные им:$ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan 2x}{\arcsin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{4x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

37.12. Известно, что $\lim_{x\to 2} f(x) = 3$, $\lim_{x\to 2} g(x) = -1$. Найдите пределы:

1) $\lim_{x\to 2} (2f(x) - g(x));$

2) $\lim_{x\to 2} (f(x) \cdot (g(x) - 2));$

3) $\lim_{x\to 2} \frac{f(x)}{g(x)};$

46

4) $\lim_{x\to 2} \left(\frac{f(x)}{g(x)} + 4g(x)\right);$

5) $\lim_{x\to 2} \left(\frac{6}{f(x)} - \frac{2f(x)}{g(x)}\right);$

6) $\lim_{x\to 2} (f(x) + 1)^2.$

Для решения всех пунктов задачи будем использовать арифметические свойства пределов. Нам даны два предела:

$\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

$\lim_{x \to 2} g(x) = -1$

1) $\lim_{x \to 2} (2f(x) - g(x))$

Используем свойство предела разности и свойство вынесения константы за знак предела:

$\lim_{x \to 2} (2f(x) - g(x)) = \lim_{x \to 2} (2f(x)) - \lim_{x \to 2} g(x) = 2 \cdot \lim_{x \to 2} f(x) - \lim_{x \to 2} g(x)$

Подставляем известные значения пределов:

$2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7$

Ответ: 7

2) $\lim_{x \to 2} (f(x) \cdot (g(x) - 2))$

Используем свойство предела произведения:

$\lim_{x \to 2} (f(x) \cdot (g(x) - 2)) = \lim_{x \to 2} f(x) \cdot \lim_{x \to 2} (g(x) - 2)$

Затем используем свойство предела разности для второго сомножителя. Предел константы равен самой константе ($\lim_{x \to 2} 2 = 2$).

$\lim_{x \to 2} f(x) \cdot (\lim_{x \to 2} g(x) - \lim_{x \to 2} 2)$

Подставляем известные значения:

$3 \cdot (-1 - 2) = 3 \cdot (-3) = -9$

Ответ: -9

3) $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)}$

Используем свойство предела частного. Это возможно, так как предел знаменателя не равен нулю ($\lim_{x \to 2} g(x) = -1 \neq 0$).

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to 2} f(x)}{\lim_{x \to 2} g(x)}$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{-1} = -3$

Ответ: -3

4) $\lim_{x \to 2} (\frac{f(x)}{g(x)} + 4g(x))$

Используем свойство предела суммы:

$\lim_{x \to 2} (\frac{f(x)}{g(x)} + 4g(x)) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} + \lim_{x \to 2} (4g(x))$

Далее применяем свойства предела частного и вынесения константы:

$\frac{\lim_{x \to 2} f(x)}{\lim_{x \to 2} g(x)} + 4 \cdot \lim_{x \to 2} g(x)$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{-1} + 4 \cdot (-1) = -3 - 4 = -7$

Ответ: -7

5) $\lim_{x \to 2} (\frac{6}{f(x)} - \frac{2f(x)}{g(x)})$

Используем свойство предела разности:

$\lim_{x \to 2} (\frac{6}{f(x)} - \frac{2f(x)}{g(x)}) = \lim_{x \to 2} \frac{6}{f(x)} - \lim_{x \to 2} \frac{2f(x)}{g(x)}$

Применяем свойство предела частного для каждого слагаемого (пределы знаменателей $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $\lim_{x \to 2} g(x) = -1$ не равны нулю):

$\frac{\lim_{x \to 2} 6}{\lim_{x \to 2} f(x)} - \frac{\lim_{x \to 2} (2f(x))}{\lim_{x \to 2} g(x)} = \frac{6}{3} - \frac{2 \cdot \lim_{x \to 2} f(x)}{\lim_{x \to 2} g(x)}$

Подставляем известные значения:

$\frac{6}{3} - \frac{2 \cdot 3}{-1} = 2 - \frac{6}{-1} = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8$

Ответ: 8

6) $\lim_{x \to 2} (f(x) + 1)^2$

Используем свойство предела степени, а затем предела суммы:

$\lim_{x \to 2} (f(x) + 1)^2 = (\lim_{x \to 2} (f(x) + 1))^2 = (\lim_{x \to 2} f(x) + \lim_{x \to 2} 1)^2$

Подставляем известные значения:

$(3 + 1)^2 = 4^2 = 16$

Ответ: 16