Номер 37.7, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите пределы выражений (37.7–37.9):

37.7. 1) $ \lim_{x \to 0} \cos x; $2) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 2x; $3) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{\sin 3x}; $

4) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}; $5) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}; $6) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + \operatorname{tg} 2x}{\sin x}. $

1) Для нахождения предела $\lim_{x \to 0} \cos x$ воспользуемся свойством непрерывности функции косинус. Поскольку функция $y = \cos x$ непрерывна в точке $x=0$, мы можем просто подставить это значение в функцию: $\lim_{x \to 0} \cos x = \cos(0) = 1$.

Ответ: $1$.

2) Для нахождения предела $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 2x$ воспользуемся свойством непрерывности функции $y = \cos 2x$. Подставим значение $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение:$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 2x = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Найдем предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{\sin 3x}$.Проверим значения числителя и знаменателя в предельной точке $x = \frac{\pi}{2}$.

Числитель: $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.

Знаменатель: $\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -1$.

Поскольку и числитель, и знаменатель являются непрерывными функциями, и знаменатель в предельной точке не равен нулю, предел частного равен частному пределов:$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{\sin 3x} = \frac{-1}{-1} = 1$.

Ответ: $1$.

4) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\sin^2 x}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1 - \cos(0) = 0$ и $\sin^2(0) = 0$.Для раскрытия неопределенности используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.Подставим это тождество в исходное выражение:$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{\sin^2 x}$.Поскольку при $x \to 0$, $x \neq 0$, то и $\sin^2 x \neq 0$, поэтому мы можем сократить дробь на $\sin^2 x$:$\lim_{x \to 0} 2 = 2$.

Ответ: $2$.

5) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.Воспользуемся тригонометрической формулой $1 - \cos \alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. В нашем случае $\alpha = 4x$, поэтому $1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)$.Предел принимает вид:$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2}$.Теперь воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$.Преобразуем наше выражение, чтобы его использовать:$\lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{x}\right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2\right)^2 = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2 \cdot 4 = \lim_{x \to 0} 8 \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2$.Так как при $x \to 0$ выражение $2x$ также стремится к нулю, то по первому замечательному пределу $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$.Следовательно, искомый предел равен:$8 \cdot 1^2 = 8$.

Ответ: $8$.

6) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + \operatorname{tg} 2x}{\sin x}$.При $x \to 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 4x + \operatorname{tg} 2x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 4x}{x} + \frac{\operatorname{tg} 2x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}$.Предел знаменателя, согласно первому замечательному пределу, равен $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.Рассмотрим предел числителя:$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 4x}{x} + \frac{\operatorname{tg} 2x}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{x}$.Вычислим каждый предел отдельно, приводя их к первому замечательному пределу:$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4\right) = 1 \cdot 4 = 4$.$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{\cos 2x}\right) = 1 \cdot \frac{2}{\cos 0} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$.Таким образом, предел числителя равен $4 + 2 = 6$.Итоговый предел равен: $\frac{6}{1} = 6$.

Ответ: $6$.