Номер 37.9, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.9. 1) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4x}{x+2}\right)^2$;

2) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^2}{x^2-1}\right)^2$;

3) $\lim_{x \to \infty} \left(2 + \frac{\sin x}{2x-1}\right)$;

4) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4+x^2}{3-x^2}\right)^{-2}$.

1) Найдем предел выражения в скобках. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $x$ в старшей степени, то есть на $x$.$ \lim_{x\to\infty} \frac{4x}{x+2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{4}{1+\frac{2}{x}} $.Поскольку при $x\to\infty$ выражение $\frac{2}{x}\to 0$, то предел дроби равен $\frac{4}{1+0}=4$.Теперь воспользуемся свойством предела степенной функции: $\lim_{x\to a} (f(x))^n = (\lim_{x\to a} f(x))^n$.$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4x}{x+2}\right)^2 = \left(\lim_{x\to\infty} \frac{4x}{x+2}\right)^2 = 4^2 = 16 $.

Ответ: 16

2) Сначала найдем предел выражения в скобках. Это предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$. Степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2. Предел в этом случае равен отношению коэффициентов при старших степенях $x^2$.$ \lim_{x\to\infty} \frac{2x^2}{x^2-1} = \frac{2}{1} = 2 $.Или, разделив числитель и знаменатель на $x^2$:$ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{1-\frac{1}{x^2}} = \frac{2}{1-0} = 2 $.Теперь возведем полученный предел в квадрат:$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{2x^2}{x^2-1}\right)^2 = \left(\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2}{x^2-1}\right)^2 = 2^2 = 4 $.

Ответ: 4

3) Воспользуемся свойством предела суммы: $\lim_{x\to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x)$.$ \lim_{x\to\infty} \left(2+\frac{\sin x}{2x-1}\right) = \lim_{x\to\infty} 2 + \lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{2x-1} $.Первый предел: $\lim_{x\to\infty} 2 = 2$.Для второго предела $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{2x-1}$ заметим, что функция $\sin x$ является ограниченной ($-1 \le \sin x \le 1$), а знаменатель $2x-1$ стремится к бесконечности. Предел такого отношения (ограниченная функция, деленная на бесконечно большую) равен нулю. Это можно строго доказать по теореме о двух милиционерах (Squeeze Theorem).Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то для $x > 1/2$ имеем:$ \frac{-1}{2x-1} \le \frac{\sin x}{2x-1} \le \frac{1}{2x-1} $.Поскольку $\lim_{x\to\infty} \frac{-1}{2x-1} = 0$ и $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{2x-1} = 0$, то по теореме о двух милиционерах $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{2x-1} = 0$.Следовательно, искомый предел равен $2 + 0 = 2$.

Ответ: 2

4) Найдем предел выражения в скобках. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.$ \lim_{x\to\infty} \frac{4+x^2}{3-x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4}{x^2}+1}{\frac{3}{x^2}-1} $.При $x\to\infty$, выражения $\frac{4}{x^2}$ и $\frac{3}{x^2}$ стремятся к нулю.Предел равен $\frac{0+1}{0-1} = -1$.Теперь воспользуемся свойством предела степенной функции:$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4+x^2}{3-x^2}\right)^{-2} = \left(\lim_{x\to\infty} \frac{4+x^2}{3-x^2}\right)^{-2} = (-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1 $.

Ответ: 1