Страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. При каких значениях $a$ график функции $y = af(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$:

а) его растяжением вдоль оси $Oy$;

б) его сжатием вдоль оси $Oy$;

в) с помощью симметрии относительно оси $Ox$? Приведите примеры.

2. Как, используя график функции $y = f(x)$, построить график функции:

а) $y = -2 f(x)$;

б) $y = -0,5 f(x)$?

3. Как связаны координаты точек графиков функций $y = f(x)$ и $y = af(x)$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a = -1$? Приведите примеры.

1. а) Растяжение графика функции $y=f(x)$ вдоль оси $Oy$ (вертикальное растяжение) происходит, когда коэффициент $a$ таков, что его модуль больше 1, то есть $|a|>1$. Это условие выполняется для $a > 1$ (растяжение от оси $Ox$) и для $a < -1$ (растяжение от оси $Ox$ с последующей симметрией относительно той же оси).

Пример: для $f(x) = \cos(x)$, график $y=3\cos(x)$ (где $a=3$) является растяжением графика $y=\cos(x)$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

Ответ: $|a| > 1$, что эквивалентно $a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

б) Сжатие графика функции $y=f(x)$ вдоль оси $Oy$ (вертикальное сжатие) происходит, когда коэффициент $a$ таков, что его модуль находится в интервале от 0 до 1, то есть $0 < |a| < 1$. Это условие выполняется для $0 < a < 1$ (сжатие к оси $Ox$) и для $-1 < a < 0$ (сжатие к оси $Ox$ с последующей симметрией относительно той же оси).

Пример: для $f(x) = x^2$, график $y=0.5x^2$ (где $a=0.5$) является сжатием графика $y=x^2$ к оси $Ox$ с коэффициентом 0.5.

Ответ: $0 < |a| < 1$, что эквивалентно $a \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

в) График функции $y=af(x)$ получается из графика $y=f(x)$ с помощью симметрии относительно оси $Ox$, если коэффициент $a$ отрицателен, то есть $a < 0$. При $a=-1$ происходит только симметричное отражение. При других отрицательных значениях $a$ симметрия совмещается с растяжением (если $|a|>1$) или сжатием (если $|a|<1$).

Пример: для $f(x) = \sqrt{x}$, график $y=-\sqrt{x}$ (где $a=-1$) получается симметричным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Ox$.

Ответ: $a < 0$.

2. а) Чтобы построить график функции $y = -2f(x)$, используя график $y=f(x)$, необходимо ординату каждой точки исходного графика умножить на -2. Геометрически это соответствует двум преобразованиям: растяжению графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза и последующему симметричному отражению относительно оси $Ox$. Порядок этих преобразований не имеет значения.

Ответ: Растянуть график $y=f(x)$ от оси $Ox$ в 2 раза, а затем отразить результат симметрично относительно оси $Ox$.

б) Чтобы построить график функции $y = -0.5f(x)$, используя график $y=f(x)$, необходимо ординату каждой точки исходного графика умножить на -0.5. Геометрически это соответствует двум преобразованиям: сжатию графика к оси $Ox$ с коэффициентом 0.5 (то есть в 2 раза) и последующему симметричному отражению относительно оси $Ox$.

Ответ: Сжать график $y=f(x)$ к оси $Ox$ в 2 раза, а затем отразить результат симметрично относительно оси $Ox$.

3. Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$, то это означает, что $y_0 = f(x_0)$. Для графика функции $y=af(x)$ при том же значении абсциссы $x_0$ ордината будет равна $a \cdot f(x_0) = a \cdot y_0$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, ay_0)$.

а) Если $a > 1$, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, ay_0)$. Так как $a>1$, ордината каждой точки умножается на число, большее 1, что соответствует растяжению графика от оси $Ox$ в $a$ раз.

Пример: пусть $f(x)=x^3$ и $a=2$. Точка $(2, 8)$ на графике $y=x^3$ переходит в точку $(2, 2 \cdot 8) = (2, 16)$ на графике $y=2x^3$.

Ответ: Координаты связаны преобразованием $(x, y) \rightarrow (x, ay)$. Это растяжение графика от оси $Ox$ в $a$ раз.

б) Если $0 < a < 1$, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, ay_0)$. Так как $0 < a < 1$, ордината каждой точки умножается на число от 0 до 1, что соответствует сжатию графика к оси $Ox$ с коэффициентом $a$.

Пример: пусть $f(x)=\sin(x)$ и $a=0.5$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ на графике $y=\sin(x)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0.5 \cdot 1) = (\frac{\pi}{2}, 0.5)$ на графике $y=0.5\sin(x)$.

Ответ: Координаты связаны преобразованием $(x, y) \rightarrow (x, ay)$. Это сжатие графика к оси $Ox$ с коэффициентом $a$.

в) Если $a = -1$, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Ордината точки меняет свой знак, а абсцисса остается прежней.

Пример: пусть $f(x)=e^x$ и $a=-1$. Точка $(1, e)$ на графике $y=e^x$ переходит в точку $(1, -e)$ на графике $y=-e^x$.

Ответ: Координаты связаны преобразованием $(x, y) \rightarrow (x, -y)$. Это симметричное отражение графика относительно оси $Ox$.

4.1. На координатной плоскости постройте точки:

1) $A(2; 3)$ и $A_1(2; 6)$;

2) $B(1; -2)$ и $B_1(1; -6)$;

3) $P(-2; -1,5)$ и $P_1(-2; -3)$;

4) $C(-3; 2,4)$ и $C_1(-3; 7,2)$;

5) $K(2; -1,4)$ и $K_1(2; -4,2)$;

6) $M(4; -3)$ и $M_1(4; -6)$.

Укажите коэффициент растяжения вдоль оси $Oy$ при перемещении точек $A, B, P, C, K$ и $M$, соответственно, в точки $A_1, B_1, P_1, C_1, K_1$ и $M_1$.

Задача состоит из двух частей для каждой пары точек: построить точки на координатной плоскости и указать коэффициент растяжения вдоль оси $Oy$.

Построение точек: Чтобы построить точку с координатами $(x; y)$ на плоскости, нужно от начала координат отложить $x$ единиц вдоль оси абсцисс ($Ox$) и $y$ единиц вдоль оси ординат ($Oy$). Направление откладывания зависит от знака координаты: положительные значения откладываются вправо (для $x$) и вверх (для $y$), а отрицательные — влево (для $x$) и вниз (для $y$).

Нахождение коэффициента растяжения: Растяжение вдоль оси $Oy$ с коэффициентом $k$ — это преобразование, при котором точка $(x, y)$ переходит в точку $(x_1, y_1)$ по правилу: $x_1 = x$ и $y_1 = k \cdot y$. Это означает, что абсцисса точки не изменяется, а ордината умножается на коэффициент $k$. Во всех представленных парах точек абсциссы начальной и конечной точек совпадают, что соответствует условию растяжения вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения $k$ можно найти как отношение ординат конечной и начальной точек: $k = \frac{y_1}{y}$.

1) Даны точки $A(2; 3)$ и $A_1(2; 6)$.

Точка $A$ находится на 2 единицы правее оси $Oy$ и на 3 единицы выше оси $Ox$.

Точка $A_1$ находится на 2 единицы правее оси $Oy$ и на 6 единиц выше оси $Ox$.

Коэффициент растяжения $k$ при переходе от точки $A$ к точке $A_1$ равен:

$k = \frac{y_{A_1}}{y_A} = \frac{6}{3} = 2$.

Ответ: 2

2) Даны точки $B(1; -2)$ и $B_1(1; -6)$.

Точка $B$ находится на 1 единицу правее оси $Oy$ и на 2 единицы ниже оси $Ox$.

Точка $B_1$ находится на 1 единицу правее оси $Oy$ и на 6 единиц ниже оси $Ox$.

Коэффициент растяжения $k$ при переходе от точки $B$ к точке $B_1$ равен:

$k = \frac{y_{B_1}}{y_B} = \frac{-6}{-2} = 3$.

Ответ: 3

3) Даны точки $P(-2; -1,5)$ и $P_1(-2; -3)$.

Точка $P$ находится на 2 единицы левее оси $Oy$ и на 1,5 единицы ниже оси $Ox$.

Точка $P_1$ находится на 2 единицы левее оси $Oy$ и на 3 единицы ниже оси $Ox$.

Коэффициент растяжения $k$ при переходе от точки $P$ к точке $P_1$ равен:

$k = \frac{y_{P_1}}{y_P} = \frac{-3}{-1,5} = 2$.

Ответ: 2

4) Даны точки $C(-3; 2,4)$ и $C_1(-3; 7,2)$.

Точка $C$ находится на 3 единицы левее оси $Oy$ и на 2,4 единицы выше оси $Ox$.

Точка $C_1$ находится на 3 единицы левее оси $Oy$ и на 7,2 единицы выше оси $Ox$.

Коэффициент растяжения $k$ при переходе от точки $C$ к точке $C_1$ равен:

$k = \frac{y_{C_1}}{y_C} = \frac{7,2}{2,4} = 3$.

Ответ: 3

5) Даны точки $K(2; -1,4)$ и $K_1(2; -4,2)$.

Точка $K$ находится на 2 единицы правее оси $Oy$ и на 1,4 единицы ниже оси $Ox$.

Точка $K_1$ находится на 2 единицы правее оси $Oy$ и на 4,2 единицы ниже оси $Ox$.

Коэффициент растяжения $k$ при переходе от точки $K$ к точке $K_1$ равен:

$k = \frac{y_{K_1}}{y_K} = \frac{-4,2}{-1,4} = 3$.

Ответ: 3

6) Даны точки $M(4; -3)$ и $M_1(4; -6)$.

Точка $M$ находится на 4 единицы правее оси $Oy$ и на 3 единицы ниже оси $Ox$.

Точка $M_1$ находится на 4 единицы правее оси $Oy$ и на 6 единиц ниже оси $Ox$.

Коэффициент растяжения $k$ при переходе от точки $M$ к точке $M_1$ равен:

$k = \frac{y_{M_1}}{y_M} = \frac{-6}{-3} = 2$.

Ответ: 2

Докажите самостоятельно $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg}x}{x} = 1$.

Для доказательства данного равенства можно использовать несколько методов.

Доказательство с использованием замены переменной и первого замечательного предела

Рассмотрим предел $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x}$.

Выполним замену переменной. Пусть $y = \arctan x$. Тогда $x = \tan y$.

Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), переменная $y$ также стремится к нулю, так как $y = \arctan x \to \arctan 0 = 0$.

Подставим новую переменную в исходное выражение предела:

$\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{y\to0} \frac{y}{\tan y}$

Используя определение тангенса $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}$, преобразуем выражение:

$\lim_{y\to0} \frac{y}{\frac{\sin y}{\cos y}} = \lim_{y\to0} \frac{y \cos y}{\sin y}$

Перегруппируем множители, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, который гласит, что $\lim_{y\to0} \frac{\sin y}{y} = 1$.

$\lim_{y\to0} \left(\frac{y}{\sin y} \cdot \cos y\right) = \left(\lim_{y\to0} \frac{y}{\sin y}\right) \cdot \left(\lim_{y\to0} \cos y\right)$

Вычислим каждый из этих пределов:

$\lim_{y\to0} \frac{y}{\sin y} = \lim_{y\to0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{\lim_{y\to0} \frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1$.

$\lim_{y\to0} \cos y = \cos 0 = 1$.

Результат равен произведению этих двух пределов:

$1 \cdot 1 = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = 1$.

Ответ: 1.

Доказательство с использованием правила Лопиталя

Рассматриваемый предел $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x}$ представляет собой неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $\arctan(0) = 0$ и знаменатель также равен нулю при $x=0$.

Это позволяет нам применить правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных (если последний существует).

Найдем производные числителя и знаменателя:

Производная числителя: $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Производная знаменателя: $(x)' = 1$.

Теперь применим правило:

$\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{(\arctan x)'}{(x)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1}$

Вычислим полученный предел:

$\lim_{x\to0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Равенство доказано.

Ответ: 1.

Доказательство с использованием определения производной

Определение производной функции $f(x)$ в точке $a$ имеет вид: $f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

Преобразуем наш предел, чтобы он соответствовал этому определению. Для этого выберем функцию $f(x) = \arctan x$ и точку $a = 0$.

Поскольку $f(0) = \arctan(0) = 0$, мы можем записать:

$\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\arctan x - 0}{x - 0} = \lim_{x\to0} \frac{\arctan x - \arctan 0}{x - 0}$

Это выражение является в точности определением производной функции $f(x) = \arctan x$ в точке $x=0$.

Следовательно, значение предела равно $f'(0)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x=0$:

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$.

Таким образом, мы подтвердили, что $\lim_{x\to0} \frac{\arctan x}{x} = 1$.

Ответ: 1.