Страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

36.17. Найдите предел:

1) $\lim_{x\to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$;

2) $\lim_{x\to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$;

3) $\lim_{x\to 16} \frac{4 - \sqrt{x}}{x - 16}$;

4) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{\sqrt{x} - 1}$;

5) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x + 3} - 2}$;

6) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{2x - 3} - 1}$.

1) Найдем предел $ \lim_{x\to4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} $.

При подстановке предельного значения $x = 4$ в числитель и знаменатель получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$ \frac{4 - 4}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{2 - 2} = \frac{0}{0} $

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители как разность квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $4$ как $2^2$.

$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.

Подставим разложение в исходный предел:

$ \lim_{x\to4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - 2)$, так как при $x \to 4$ он не равен нулю.

$ \lim_{x\to4} (\sqrt{x} + 2) $

Теперь можно подставить значение $x=4$ в полученное выражение:

$\sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

2) Найдем предел $ \lim_{x\to9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} $.

При подстановке $x = 9$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{9 - 9}{\sqrt{9} - 3} = \frac{0}{3 - 3} = \frac{0}{0} $

Аналогично предыдущему пункту, разложим числитель на множители как разность квадратов: $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$.

$ \lim_{x\to9} \frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} - 3} $

Сокращаем на $(\sqrt{x} - 3)$:

$ \lim_{x\to9} (\sqrt{x} + 3) $

Подставляем $x = 9$:

$\sqrt{9} + 3 = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

3) Найдем предел $ \lim_{x\to16} \frac{4 - \sqrt{x}}{x - 16} $.

При подстановке $x = 16$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{4 - \sqrt{16}}{16 - 16} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0} $

Разложим на множители знаменатель: $x - 16 = (\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)$.

$ \lim_{x\to16} \frac{4 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)} $

В числителе вынесем -1 за скобки, чтобы получить выражение, которое можно сократить: $4 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 4)$.

$ \lim_{x\to16} \frac{-(\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)} $

Сокращаем на $(\sqrt{x} - 4)$:

$ \lim_{x\to16} \frac{-1}{\sqrt{x} + 4} $

Подставляем $x = 16$:

$\frac{-1}{\sqrt{16} + 4} = \frac{-1}{4 + 4} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: -1/8

4) Найдем предел $ \lim_{x\to1} \frac{x^2 - 3x + 2}{\sqrt{x} - 1} $.

При подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{\sqrt{1} - 1} = \frac{1 - 3 + 2}{1 - 1} = \frac{0}{0} $

Разложим числитель на множители. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=2$. Тогда $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{x} + 1)$.

$ \lim_{x\to1} \frac{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $

В знаменателе получаем разность квадратов: $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$.

$ \lim_{x\to1} \frac{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} $

Сокращаем на $(x - 1)$:

$ \lim_{x\to1} (x - 2)(\sqrt{x} + 1) $

Подставляем $x = 1$:

$(1 - 2)(\sqrt{1} + 1) = (-1)(1 + 1) = -2$.

Ответ: -2

5) Найдем предел $ \lim_{x\to1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x+3} - 2} $.

При подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{1^2 - 1}{\sqrt{1+3} - 2} = \frac{0}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{0} $

Разложим числитель на множители: $x^2 - x = x(x - 1)$.

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю: $(\sqrt{x+3} + 2)$.

$ \lim_{x\to1} \frac{x(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)}{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)} $

В знаменателе получаем: $(\sqrt{x+3})^2 - 2^2 = (x+3) - 4 = x - 1$.

$ \lim_{x\to1} \frac{x(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1} $

Сокращаем на $(x - 1)$:

$ \lim_{x\to1} x(\sqrt{x+3} + 2) $

Подставляем $x = 1$:

$1 \cdot (\sqrt{1+3} + 2) = 1 \cdot (\sqrt{4} + 2) = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

6) Найдем предел $ \lim_{x\to2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{2x-3} - 1} $.

При подстановке $x = 2$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$ \frac{2^2 - 4}{\sqrt{2 \cdot 2 - 3} - 1} = \frac{4 - 4}{\sqrt{1} - 1} = \frac{0}{0} $

Разложим числитель на множители как разность квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2x-3} + 1)$.

$ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x-3} + 1)}{(\sqrt{2x-3} - 1)(\sqrt{2x-3} + 1)} $

В знаменателе получаем: $(\sqrt{2x-3})^2 - 1^2 = (2x - 3) - 1 = 2x - 4 = 2(x - 2)$.

$ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x-3} + 1)}{2(x - 2)} $

Сокращаем на $(x - 2)$:

$ \lim_{x\to2} \frac{(x+2)(\sqrt{2x-3} + 1)}{2} $

Подставляем $x = 2$:

$\frac{(2+2)(\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + 1)}{2} = \frac{4(\sqrt{1} + 1)}{2} = \frac{4(1+1)}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$.

Ответ: 4

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

Джон Валлис
(1616—1703)

36.18. Знак бесконечности $\infty$ ввел английский математик, один из предшественников математического анализа Джон Валлис в 1655 г. Знак предела $Lim$ ввел выдающийся ирландский математик, механик и физик Уильям Роуэн Гамильтон в 1853 г.

Уильям Роуэн
Гамильтон
(1805—1865)

36.18. Сообщение подготовлено на основе предоставленной информации о вкладе двух выдающихся ученых в развитие математической символики.

Джон Валлис и знак бесконечности $\infty$

Английский математик и криптограф Джон Валлис (1616–1703) был одним из ключевых предшественников математического анализа. В 1655 году в своем труде «О конических сечениях» (De sectionibus conicis) он впервые ввел символ бесконечности — $\infty$. Этот знак, известный как лемниската, был использован для обозначения величины, большей любого возможного числа.

Существует несколько теорий о происхождении этого символа. Одна из наиболее популярных версий связывает его с вариантом написания римского числа 1000 (M), которое в некоторых системах записи выглядело как CIƆ или CƆ. Другая гипотеза предполагает, что Валлис мог вдохновиться последней буквой греческого алфавита, омегой ($\omega$), которая также ассоциировалась с понятием завершенности и предела. Сам Валлис не оставил объяснений своего выбора, но символ оказался настолько удачным, что быстро вошел в научный оборот.

Вклад Джона Валлиса не ограничивается введением одного символа. В его фундаментальной работе «Арифметика бесконечных» (Arithmetica Infinitorum) он заложил основы для вычисления площадей и объемов, что стало важным шагом на пути к созданию интегрального исчисления. Знаменитая формула Валлиса для вычисления числа $\pi$ является ярким примером его работы с бесконечными процессами:

$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots$

Уильям Роуэн Гамильтон и знак предела $\lim$

Выдающийся ирландский ученый Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), прославившийся своими работами в математике, физике и астрономии, ввел в употребление обозначение предела — $\lim$. Это произошло в 1853 году в его «Лекциях о кватернионах» (Lectures on Quaternions). Обозначение $\lim$ является сокращением от латинского слова limes, что означает «граница» или «предел».

Хотя само понятие предела было строго сформулировано ранее Огюстеном Луи Коши, а современная форма записи $\lim_{x \to a} f(x)$ была введена и популяризирована Карлом Вейерштрассом, именно Гамильтон был одним из первых, кто предложил это лаконичное и удобное сокращение. Введение символа $\lim$ способствовало стандартизации языка математического анализа и упростило запись математических выражений.

Уильям Гамильтон известен прежде всего как создатель теории кватернионов — четырехмерного расширения комплексных чисел, которое нашло широкое применение в современной компьютерной графике, робототехнике и теоретической физике. Другим его фундаментальным достижением является разработка гамильтоновой механики — мощного математического формализма, который стал одним из столпов классической и квантовой механики.

Ответ: Сообщение раскрывает вклад Джона Валлиса и Уильяма Роуэна Гамильтона в развитие математики. Джон Валлис, английский математик, в 1655 году ввел символ бесконечности ($\infty$), что стало важным шагом в изучении бесконечных величин. Уильям Роуэн Гамильтон, ирландский ученый, в 1853 году предложил использовать обозначение $\lim$ для предела функции, что унифицировало математическую запись. Оба нововведения являются неотъемлемой частью современного математического языка.

36.19. Решите уравнение:

1) $\text{arctg}4x = \frac{\pi}{4}$;

2) $\text{arcsin}\left(3 - \frac{x}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$;

3) $\text{arccos}(1 - 2x) = \pi.$

1) $arctg(4x) = \frac{\pi}{4}$

Согласно определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $a = tg(b)$. Применяя это правило к данному уравнению, получаем:

$4x = tg(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1.

$tg(\frac{\pi}{4}) = 1$

Подставляем это значение в уравнение:

$4x = 1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{1}{4}$

Областью определения функции арктангенса является множество всех действительных чисел, поэтому найденный корень является решением.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

2) $arcsin(3 - \frac{x}{2}) = -\frac{\pi}{6}$

Согласно определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $a = sin(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, а значение $a$ должно принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Применим определение к уравнению:

$3 - \frac{x}{2} = sin(-\frac{\pi}{6})$

Значение синуса угла $-\frac{\pi}{6}$ равно $-\frac{1}{2}$.

$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставляем это значение в уравнение:

$3 - \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$

Выразим $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = 3 - (-\frac{1}{2}) = 3 + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \frac{7}{2}$

Отсюда находим $x$:

$x = 7$

Необходимо выполнить проверку, так как аргумент арксинуса должен находиться в пределах от -1 до 1. Подставим найденное значение $x$ в выражение $3 - \frac{x}{2}$:

$3 - \frac{7}{2} = \frac{6}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}$

Значение $-\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $x = 7$.

3) $arccos(1 - 2x) = \pi$

Согласно определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = cos(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[0; \pi]$, а значение $a$ должно принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Применим определение к уравнению:

$1 - 2x = cos(\pi)$

Значение косинуса угла $\pi$ равно -1.

$cos(\pi) = -1$

Подставляем это значение в уравнение:

$1 - 2x = -1$

Перенесем 1 в правую часть:

$-2x = -1 - 1$

$-2x = -2$

Разделим обе части на -2:

$x = 1$

Необходимо выполнить проверку, так как аргумент арккосинуса должен находиться в пределах от -1 до 1. Подставим найденное значение $x$ в выражение $1 - 2x$:

$1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

Значение -1 принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $x = 1$.

36.20. Упростите выражение:

1) $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \cot(4\pi - \alpha) \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot \tan(2\pi + \alpha);$

2) $\cos(4\pi - \alpha) \cdot (\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot \tan(\pi + \alpha) \cdot (\cot(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2.$

1) Для упрощения выражения $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(4\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения для каждой тригонометрической функции.

1. $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию.

2. $ctg(4\pi - \alpha) = ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Используем периодичность котангенса (период $\pi$, $4\pi$ - целое число периодов) и его нечетность.

3. $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в I четверти, где косинус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию.

4. $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Используем периодичность тангенса (период $\pi$, $2\pi$ - целое число периодов).

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha) = -ctg^2(\alpha) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$.

Зная, что $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$ и $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, заменим их в выражении:

$-(\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)})^2 \cdot sin(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = -\frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)} \cdot sin(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$.

Сократим дроби:

$-\frac{cos^2(\alpha) \cdot sin^2(\alpha)}{sin^2(\alpha) \cdot cos(\alpha)} = -cos(\alpha)$.

Ответ: $-cos(\alpha)$.

2) Для упрощения выражения $cos(4\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2$ воспользуемся формулами приведения.

1. $cos(4\pi - \alpha) = cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Используем периодичность косинуса (период $2\pi$) и его четность.

2. $(tg(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 = (ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$. Функция меняется на кофункцию, а знак не имеет значения из-за возведения в квадрат.

3. $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Используем периодичность тангенса (период $\pi$).

4. $ctg(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен, а функция меняется на кофункцию. Тогда $(ctg(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2 = (-tg(\alpha))^2 = tg^2(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg(\alpha) \cdot tg^2(\alpha) = cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg^3(\alpha)$.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$cos(\alpha) \cdot (\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)})^2 \cdot (\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)})^3 = cos(\alpha) \cdot \frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)} \cdot \frac{sin^3(\alpha)}{cos^3(\alpha)}$.

Перемножим и сократим дроби:

$\frac{cos(\alpha) \cdot cos^2(\alpha) \cdot sin^3(\alpha)}{sin^2(\alpha) \cdot cos^3(\alpha)} = \frac{cos^3(\alpha) \cdot sin^3(\alpha)}{sin^2(\alpha) \cdot cos^3(\alpha)} = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$.

36.21. Вычислите:

1)

$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\text{arctg}(-1);$

2)

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\text{arcctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}1;$

3)

$3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3});$

4)

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}.$

1) Для вычисления значения выражения $2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2\text{arctg}(-1)$ воспользуемся свойствами обратных тригонометрических функций и их табличными значениями.

Найдем значения каждого слагаемого:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $

$ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ 2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) - 3 \cdot (\frac{2\pi}{3}) + \frac{5\pi}{6} - 2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ -\frac{4\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-4\pi - 12\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{-8\pi}{6} = -\frac{4\pi}{3} $

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}$

2) Для вычисления значения выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\text{arcctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \text{arctg}1$ найдем значения каждой функции.

$ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \text{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $

Подставим значения в выражение:

$ \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot (\frac{5\pi}{6}) - (-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} $

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$ (\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + (\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = \pi + 2\pi = 3\pi $

Ответ: $3\pi$

3) Для вычисления значения выражения $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}(-1) + \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 3\text{arctg}(-\sqrt{3})$ найдем значения каждой функции.

$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $

$ \text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ 3 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 3 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = \pi - 3\pi + \frac{3\pi}{4} - \pi $

Выполним сложение и вычитание:

$ \pi - 3\pi - \pi + \frac{3\pi}{4} = -3\pi + \frac{3\pi}{4} = \frac{-12\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} $

Ответ: $-\frac{9\pi}{4}$

4) Для вычисления значения выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \text{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\text{arctg}\sqrt{3}$ найдем значения каждой функции.

$ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $

$ \text{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ \frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) - (-\frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi - 2\pi + 3\pi - 4\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

Ответ: $\frac{\pi}{3}$