Задания, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите на рисунках 38.2—38.4 точки разрыва II рода, I рода (скачок) и точки устранимого разрыва.

Поскольку сами рисунки 38.2–38.4 не предоставлены, дадим общее определение и описание каждого типа точек разрыва, чтобы вы могли найти их на своих графиках.

Точки разрыва II рода

Точка разрыва $x_0$ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. Математически это означает, что выполняется хотя бы одно из условий:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$.

На графике такие точки обычно соответствуют вертикальным асимптотам. График функции при приближении к точке $x_0$ устремляется вверх (к $+\infty$) или вниз (к $-\infty$).

Как найти на рисунке: Ищите вертикальные линии (явные или воображаемые), к которым график функции "прижимается", уходя в бесконечность. Абсцисса (координата по оси x) такой асимптоты и есть точка разрыва II рода.

Ответ: Точки разрыва II рода — это точки, в которых у функции есть вертикальные асимптоты (график уходит в бесконечность).

Точки разрыва I рода (скачок)

Точка разрыва $x_0$ называется точкой разрыва первого рода (или "скачком"), если оба односторонних предела в этой точке существуют и конечны, но не равны друг другу.

Математически:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1$ и $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2$, где $L_1$ и $L_2$ — конечные числа, и $L_1 \neq L_2$.

На графике это выглядит как резкий скачок. Когда вы двигаетесь по графику к точке $x_0$ слева, вы приходите в одну точку (с ординатой $y=L_1$), а когда двигаетесь справа — в другую (с ординатой $y=L_2$). Концы этих участков графика могут быть обозначены закрашенными или выколотыми (пустыми) кружками.

Как найти на рисунке: Ищите места, где график "рвется" и продолжается с другой высоты. Величина $|L_1 - L_2|$ называется скачком функции в точке $x_0$.

Ответ: Точки разрыва I рода (скачок) — это точки, где график функции делает "ступеньку" или "прыжок" с одного конечного значения на другое.

Точки устранимого разрыва

Точка разрыва $x_0$ называется точкой устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует и конечен, но либо функция в этой точке не определена, либо её значение не совпадает с этим пределом.

Математически:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, где $L$ — конечное число, но либо $f(x_0)$ не определено, либо $f(x_0) \neq L$.

На графике это выглядит как непрерывная линия, из которой "выколота" одна точка. В этом месте обычно рисуют пустой кружок. Само значение функции $f(x_0)$ может быть определено в другом месте и обозначено закрашенной точкой, находящейся над или под "дыркой". Если бы мы "заполнили" эту дырку, доопределив $f(x_0) = L$, разрыв бы "устранился", и функция стала бы непрерывной.

Как найти на рисунке: Ищите на плавной кривой графика маленькие пустые кружки ("дырки"). Координата $x$ этой "дырки" и есть точка устранимого разрыва.

Ответ: Точки устранимого разрыва — это "выколотые" точки на графике.