Номер 39.1, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.1. Найдите асимптоты графика функции $y = f(x):$

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+2};$

2) $f(x) = \frac{x+1}{x-2};$

3) $f(x) = \frac{2x-5}{x-2};$

4) $f(x) = \frac{3x+1}{x-5};$

5) $f(x) = \frac{x+1}{4-x};$

6) $f(x) = \frac{5-x}{2x+3}.$

1) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ асимптоты находятся следующим образом. Вертикальная асимптота существует там, где знаменатель дроби равен нулю, а числитель не равен нулю. Решим уравнение $x+2=0$, получим $x=-2$. При $x=-2$ числитель равен $-2-1=-3 \neq 0$, следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой. Горизонтальная асимптота находится как предел функции при $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-1}{x+2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1$. Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, так как степень числителя равна степени знаменателя.

Ответ: $x=-2, y=1$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$. Вертикальная асимптота: знаменатель $x-2=0$ при $x=2$. Числитель при $x=2$ равен $2+1=3 \neq 0$. Следовательно, $x=2$ — вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1$. Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

Ответ: $x=2, y=1$.

3) Для функции $f(x) = \frac{2x-5}{x-2}$. Вертикальная асимптота: знаменатель $x-2=0$ при $x=2$. Числитель при $x=2$ равен $2(2)-5 = -1 \neq 0$. Следовательно, $x=2$ — вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-5}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{2}{1} = 2$. Следовательно, $y=2$ — горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

Ответ: $x=2, y=2$.

4) Для функции $f(x) = \frac{3x+1}{x-5}$. Вертикальная асимптота: знаменатель $x-5=0$ при $x=5$. Числитель при $x=5$ равен $3(5)+1 = 16 \neq 0$. Следовательно, $x=5$ — вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x+1}{x-5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{5}{x}} = \frac{3}{1} = 3$. Следовательно, $y=3$ — горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

Ответ: $x=5, y=3$.

5) Для функции $f(x) = \frac{x+1}{4-x}$. Вертикальная асимптота: знаменатель $4-x=0$ при $x=4$. Числитель при $x=4$ равен $4+1=5 \neq 0$. Следовательно, $x=4$ — вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{4-x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{4}{x} - 1} = \frac{1}{-1} = -1$. Следовательно, $y=-1$ — горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

Ответ: $x=4, y=-1$.

6) Для функции $f(x) = \frac{5-x}{2x+3}$. Вертикальная асимптота: знаменатель $2x+3=0$ при $x=-\frac{3}{2}$. Числитель при $x=-\frac{3}{2}$ равен $5-(-\frac{3}{2}) = \frac{13}{2} \neq 0$. Следовательно, $x=-\frac{3}{2}$ — вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{5-x}{2x+3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} - 1}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $y=-\frac{1}{2}$ — горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

Ответ: $x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{1}{2}$.