Страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6.5. Используя график функции $y=f(x)$ и алгоритм построения графика функции $y=kf(a(x+n))+m$, постройте график функции:

1) $y = 2 - \frac{3}{x-2}$;

2) $y = 2 + \frac{1}{x+3}$;

3) $y = -2 - \frac{1}{x+4}$.

В основе всех заданных функций лежит график обратной пропорциональности (гипербола) $y = f(x) = \frac{1}{x}$. Алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$ заключается в последовательном применении преобразований к базовому графику $y=f(x)$:

• сдвиг по горизонтали на $n$ единиц (влево, если $n > 0$, и вправо, если $n < 0$);
• растяжение/сжатие по горизонтали в $a$ раз (в задаче $a=1$);
• растяжение/сжатие по вертикали в $k$ раз и отражение относительно оси Ox, если $k<0$;
• сдвиг по вертикали на $m$ единиц (вверх, если $m > 0$, и вниз, если $m < 0$).

1) $y = 2 - \frac{3}{x-2}$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kf(x+n)+m$. В нашем случае базовая функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

$y = -3 \cdot \frac{1}{x-2} + 2$

Отсюда видно, что $k=-3$, $n=-2$ (т.к. в формуле $x+n$, а у нас $x-2$), $m=2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2. Применяем коэффициент $k=-3$. График функции $y = \frac{-3}{x}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 3 раза и симметричного отражения относительно оси Ox. Теперь ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вправо (так как $n=-2$). График функции $y = \frac{-3}{x-2}$. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=2$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх (так как $m=2$). График функции $y = \frac{-3}{x-2} + 2$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=2$.

Ответ: График функции $y = 2 - \frac{3}{x-2}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ следующими преобразованиями: отражение относительно оси Ox, растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, сдвиг на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Асимптоты итогового графика: $x=2$, $y=2$.

2) $y = 2 + \frac{1}{x+3}$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kf(x+n)+m$, где $f(x) = \frac{1}{x}$.

$y = 1 \cdot \frac{1}{x+3} + 2$

Отсюда видно, что $k=1$, $n=3$, $m=2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола с ветвями в I и III четвертях, асимптоты $x=0$, $y=0$).

2. Так как $k=1$, растяжения и отражения нет.

3. Сдвигаем график на 3 единицы влево (так как $n=3$). Получаем график $y = \frac{1}{x+3}$. Вертикальная асимптота смещается в $x=-3$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх (так как $m=2$). Получаем итоговый график $y = \frac{1}{x+3} + 2$. Горизонтальная асимптота смещается в $y=2$.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{x+3}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх. Асимптоты итогового графика: $x=-3$, $y=2$.

3) $y = -2 - \frac{1}{x+4}$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kf(x+n)+m$, где $f(x) = \frac{1}{x}$.

$y = -1 \cdot \frac{1}{x+4} - 2$

Отсюда видно, что $k=-1$, $n=4$, $m=-2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Применяем коэффициент $k=-1$. График функции $y = \frac{-1}{x}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Ветви гиперболы теперь расположены во II и IV координатных четвертях.

3. Сдвигаем полученный график на 4 единицы влево (так как $n=4$). Получаем график $y = \frac{-1}{x+4}$. Вертикальная асимптота смещается в $x=-4$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз (так как $m=-2$). Получаем итоговый график $y = \frac{-1}{x+4} - 2$. Горизонтальная асимптота смещается в $y=-2$.

Ответ: График функции $y = -2 - \frac{1}{x+4}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ путем отражения относительно оси Ox, сдвига на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз. Асимптоты итогового графика: $x=-4$, $y=-2$.

6.6. Используя график функции $y = \sqrt{x}$ и алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = 2\sqrt{2x-4}-1$;

2) $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$;

3) $y = -2\sqrt{6+3x}+4$.

1) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{2x-4} - 1$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Сначала приведем данную функцию к стандартному виду $y = k\sqrt{a(x+n)} + m$. Для этого вынесем коэффициент при $x$ из-под знака корня:

$y = 2\sqrt{2(x-2)} - 1$.

Из этого вида мы можем определить коэффициенты преобразования: $k=2$ (вертикальное растяжение), $a=2$ (горизонтальное сжатие), $n=-2$ (сдвиг по оси OX), $m=-1$ (сдвиг по оси OY).

Алгоритм построения графика функции $y = 2\sqrt{2x-4} - 1$:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно оси ОХ.

2. Выполнить сжатие графика $y = \sqrt{x}$ к оси OY в 2 раза. Получим график функции $y = \sqrt{2x}$.

3. Сдвинуть полученный график $y = \sqrt{2x}$ вдоль оси OX на 2 единицы вправо. Получим график функции $y = \sqrt{2(x-2)}$.

4. Растянуть полученный график $y = \sqrt{2(x-2)}$ от оси OX в 2 раза. Получим график функции $y = 2\sqrt{2(x-2)}$.

5. Сдвинуть полученный график $y = 2\sqrt{2(x-2)}$ вдоль оси OY на 1 единицу вниз. Получим искомый график функции $y = 2\sqrt{2(x-2)} - 1$.

Начальная точка графика $(0;0)$ для $y=\sqrt{x}$ в результате этих преобразований переместится в точку $(2;-1)$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{2x-4} - 1$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем последовательного применения следующих преобразований: сжатие к оси OY в 2 раза, сдвиг вправо на 2 единицы, растяжение от оси OX в 2 раза и сдвиг вниз на 1 единицу.

2) Для построения графика функции $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$ выполним преобразования над графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Приведем функцию к виду $y = k\sqrt{a(x+n)} + m$. Сначала поменяем слагаемые местами для удобства: $y = 2\sqrt{3-2x} + 1$. Затем вынесем коэффициент при $x$ из-под знака корня:

$y = 2\sqrt{-2(x - \frac{3}{2})} + 1$ или $y = 2\sqrt{-2(x - 1.5)} + 1$.

Коэффициенты преобразования: $k=2$, $a=-2$, $n=-1.5$, $m=1$. Отрицательное значение $a$ указывает на отражение относительно оси OY.

Алгоритм построения графика функции $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$.

2. Отразить график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси OY. Получим график функции $y = \sqrt{-x}$.

3. Сжать полученный график $y = \sqrt{-x}$ к оси OY в 2 раза. Получим график функции $y = \sqrt{-2x}$.

4. Сдвинуть полученный график $y = \sqrt{-2x}$ вдоль оси OX на 1.5 единицы вправо. Получим график функции $y = \sqrt{-2(x-1.5)}$.

5. Растянуть полученный график $y = \sqrt{-2(x-1.5)}$ от оси OX в 2 раза. Получим график функции $y = 2\sqrt{-2(x-1.5)}$.

6. Сдвинуть полученный график $y = 2\sqrt{-2(x-1.5)}$ вдоль оси OY на 1 единицу вверх. Получим искомый график функции $y = 2\sqrt{-2(x-1.5)} + 1$.

Начальная точка графика $(0;0)$ для $y=\sqrt{x}$ переместится в точку $(1.5;1)$.

Ответ: График функции $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, сжатия к оси OY в 2 раза, сдвига вправо на 1.5 единицы, растяжения от оси OX в 2 раза и сдвига вверх на 1 единицу.

3) Для построения графика функции $y = -2\sqrt{6+3x} + 4$ выполним преобразования над графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Приведем функцию к виду $y = k\sqrt{a(x+n)} + m$. Вынесем коэффициент при $x$ из-под знака корня: $6+3x = 3(x+2)$.

$y = -2\sqrt{3(x+2)} + 4$.

Коэффициенты преобразования: $k=-2$, $a=3$, $n=2$, $m=4$. Отрицательное значение $k$ указывает на отражение относительно оси OX.

Алгоритм построения графика функции $y = -2\sqrt{6+3x} + 4$:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$.

2. Сжать график $y = \sqrt{x}$ к оси OY в 3 раза. Получим график функции $y = \sqrt{3x}$.

3. Сдвинуть полученный график $y = \sqrt{3x}$ вдоль оси OX на 2 единицы влево. Получим график функции $y = \sqrt{3(x+2)}$.

4. Отразить полученный график $y = \sqrt{3(x+2)}$ симметрично относительно оси OX. Получим график функции $y = -\sqrt{3(x+2)}$.

5. Растянуть полученный график $y = -\sqrt{3(x+2)}$ от оси OX в 2 раза. Получим график функции $y = -2\sqrt{3(x+2)}$.

6. Сдвинуть полученный график $y = -2\sqrt{3(x+2)}$ вдоль оси OY на 4 единицы вверх. Получим искомый график функции $y = -2\sqrt{3(x+2)} + 4$.

Начальная точка графика $(0;0)$ для $y=\sqrt{x}$ переместится в точку $(-2;4)$.

Ответ: График функции $y = -2\sqrt{6+3x} + 4$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сжатия к оси OY в 3 раза, сдвига влево на 2 единицы, отражения относительно оси OX, растяжения от оси OX в 2 раза и сдвига вверх на 4 единицы.

6.7. Используя график функции $y = \frac{1}{x}$ и алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = \frac{3x}{x - 2}$;

2) $y = \frac{2x + 1}{x + 3}$;

3) $y = \frac{3x - 2}{2x + 4}$.

1)Для построения графика функции $y = \frac{3x}{x-2}$ необходимо преобразовать ее к виду $y = \frac{k}{x+n} + m$, чтобы применить алгоритм построения графика на основе преобразований базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Для этого выделим целую часть дроби:

$y = \frac{3x}{x-2} = \frac{3x - 6 + 6}{x-2} = \frac{3(x-2) + 6}{x-2} = \frac{3(x-2)}{x-2} + \frac{6}{x-2} = 3 + \frac{6}{x-2}$.

Таким образом, функция имеет вид $y = \frac{6}{x-2} + 3$.

Построение графика выполняется в следующей последовательности:

1. Строим график базовой функции — гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем график $y = \frac{1}{x}$ от оси абсцисс (Ox) вдоль оси ординат (Oy) в 6 раз. Получаем график функции $y = \frac{6}{x}$.

3. Смещаем полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = \frac{6}{x-2}$. Вертикальная асимптота смещается в точку $x=2$.

4. Смещаем полученный график на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график функции $y = \frac{6}{x-2} + 3$. Горизонтальная асимптота смещается в точку $y=3$.

Ответ: График функции $y = \frac{3x}{x-2}$ получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 6 раз, сдвига на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

2)Рассмотрим функцию $y = \frac{2x+1}{x+3}$. Преобразуем ее, выделив целую часть:

$y = \frac{2x+1}{x+3} = \frac{2x+6-5}{x+3} = \frac{2(x+3)-5}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} - \frac{5}{x+3} = 2 - \frac{5}{x+3}$.

Функция приведена к виду $y = \frac{-5}{x+3} + 2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем его от оси Ox вдоль оси Oy в 5 раз, чтобы получить график $y = \frac{5}{x}$.

3. Отображаем полученный график симметрично относительно оси Ox (зеркально отражаем), чтобы получить $y = -\frac{5}{x}$. Ветви гиперболы теперь находятся во II и IV координатных четвертях.

4. Сдвигаем полученный график на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем $y = -\frac{5}{x+3}$. Вертикальная асимптота: $x=-3$.

5. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = \frac{-5}{x+3} + 2$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x+1}{x+3}$ получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 5 раз, симметричного отображения относительно оси Ox, сдвига на 3 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

3)Рассмотрим функцию $y = \frac{3x-2}{2x+4}$. Преобразуем ее к стандартному виду. Сначала вынесем коэффициент при $x$ в знаменателе:

$y = \frac{3x-2}{2(x+2)}$.

Теперь выделим целую часть, представив числитель через выражение в скобках $(x+2)$:

$3x-2 = 3(x+2) - 6 - 2 = 3(x+2) - 8$.

Подставим это в нашу функцию:

$y = \frac{3(x+2) - 8}{2(x+2)} = \frac{3(x+2)}{2(x+2)} - \frac{8}{2(x+2)} = \frac{3}{2} - \frac{4}{x+2}$.

Функция имеет вид $y = \frac{-4}{x+2} + \frac{3}{2}$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем его от оси Ox вдоль оси Oy в 4 раза, получая $y = \frac{4}{x}$.

3. Отображаем график симметрично относительно оси Ox, получая $y = -\frac{4}{x}$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем $y = -\frac{4}{x+2}$. Вертикальная асимптота: $x=-2$.

5. Сдвигаем полученный график на $\frac{3}{2}$ (или 1.5) единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = \frac{-4}{x+2} + \frac{3}{2}$. Горизонтальная асимптота: $y=\frac{3}{2}$.

Ответ: График функции $y = \frac{3x-2}{2x+4}$ получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 4 раза, симметричного отображения относительно оси Ox, сдвига на 2 единицы влево по оси Ox и на 1.5 единицы вверх по оси Oy.

6.8. Используя график функции $y = \frac{1}{|x|}$ и алгоритм построения графика функции $y = k f(a(x+n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = 2 + \frac{1}{|x-2|}$;

2) $y = -3 + \frac{1}{|x+3|}$;

3) $y = -2 - \frac{2}{|x+4|}$.

1) $y = 2 + \frac{1}{|x - 2|}$

Для построения графика этой функции мы будем использовать метод последовательных геометрических преобразований базовой функции $f(x) = \frac{1}{|x|}$. График базовой функции $y = \frac{1}{|x|}$ представляет собой две ветви, симметричные относительно оси OY. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Ключевые точки, через которые он проходит: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Заданную функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{|x - 2|} + 2$, что соответствует общей формуле $y = k \cdot f(a(x+n)) + m$ при $k=1$, $a=1$, $n=-2$ и $m=2$. Таким образом, для получения искомого графика нужно выполнить следующие преобразования:

1. Горизонтальный сдвиг. График функции $y = \frac{1}{|x|}$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси OX. В результате получаем график функции $y_1 = \frac{1}{|x - 2|}$. Вертикальная асимптота при этом смещается из $x=0$ в $x=2$.

2. Вертикальный сдвиг. Полученный график $y_1 = \frac{1}{|x - 2|}$ сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси OY. В результате получаем итоговый график функции $y = \frac{1}{|x - 2|} + 2$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=2$.

Таким образом, итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=2$. Ветви графика расположены над горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{|x - 2|}$ получается из графика функции $y = \frac{1}{|x|}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

2) $y = -3 + \frac{1}{|x + 3|}$

Построение этого графика также основано на преобразовании базовой функции $f(x) = \frac{1}{|x|}$.

Заданную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{|x + 3|} - 3$. Это соответствует общей формуле $y = k \cdot f(a(x+n)) + m$ при $k=1$, $a=1$, $n=3$ и $m=-3$. Преобразования выполняются следующим образом:

1. Горизонтальный сдвиг. График функции $y = \frac{1}{|x|}$ сдвигается на 3 единицы влево вдоль оси OX (так как $x+3 = x - (-3)$). Получаем график функции $y_1 = \frac{1}{|x + 3|}$. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-3$.

2. Вертикальный сдвиг. Полученный график $y_1 = \frac{1}{|x + 3|}$ сдвигается на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Получаем итоговый график функции $y = \frac{1}{|x + 3|} - 3$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=-3$.

Итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=-3$ и горизонтальную асимптоту $y=-3$. Ветви графика расположены над горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = -3 + \frac{1}{|x + 3|}$ получается из графика функции $y = \frac{1}{|x|}$ путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси OX и на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Вертикальная асимптота: $x=-3$. Горизонтальная асимптота: $y=-3$.

3) $y = -2 - \frac{2}{|x + 4|}$

В этом случае преобразования базовой функции $f(x) = \frac{1}{|x|}$ включают растяжение и отражение.

Заданную функцию можно представить в виде $y = -2 \cdot \frac{1}{|x + 4|} - 2$. Это соответствует общей формуле $y = k \cdot f(a(x+n)) + m$ при $k=-2$, $a=1$, $n=4$ и $m=-2$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Горизонтальный сдвиг. Сдвигаем график $y = \frac{1}{|x|}$ на 4 единицы влево, чтобы получить график $y_1 = \frac{1}{|x + 4|}$. Вертикальная асимптота смещается в $x=-4$.

2. Вертикальное растяжение и отражение. Умножаем функцию на коэффициент $k=-2$. Это приводит к растяжению графика $y_1$ в 2 раза от оси OX и последующему симметричному отражению относительно оси OX. Получаем график $y_2 = -2 \cdot \frac{1}{|x + 4|} = -\frac{2}{|x+4|}$. После этого преобразования ветви графика, которые были направлены вверх, теперь будут направлены вниз.

3. Вертикальный сдвиг. Сдвигаем полученный график $y_2$ на 2 единицы вниз, чтобы получить итоговый график $y = -\frac{2}{|x + 4|} - 2$. Горизонтальная асимптота, которая после отражения оставалась на $y=0$, смещается в положение $y=-2$.

Итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=-4$ и горизонтальную асимптоту $y=-2$. Ветви графика расположены под горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = -2 - \frac{2}{|x + 4|}$ получается из графика $y = \frac{1}{|x|}$ путем последовательного применения преобразований: сдвиг влево на 4 единицы, растяжение вдоль оси OY в 2 раза, отражение относительно оси OX и затем сдвиг вниз на 2 единицы. Вертикальная асимптота: $x=-4$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

6.9. Используя алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$;

2) $y = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$;

3) $y = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|.$

1) Построим график функции $y = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$.

Алгоритм построения состоит из двух основных шагов: сначала построить график функции под модулем, а затем применить преобразование модуля (отразить часть графика, находящуюся под осью абсцисс, вверх).

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $g(x) = \frac{3x+1}{x-1}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для удобства построения выделим целую часть:

$g(x) = \frac{3(x-1)+3+1}{x-1} = \frac{3(x-1)}{x-1} + \frac{4}{x-1} = \frac{4}{x-1} + 3$.

Этот график можно получить из графика базовой функции $y_0 = \frac{1}{x}$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Растяжение вдоль оси OY в 4 раза (график $y_1 = \frac{4}{x}$).

2. Сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси OX (график $y_2 = \frac{4}{x-1}$).

3. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси OY (график $g(x) = \frac{4}{x-1} + 3$).

Асимптоты графика $g(x)$: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=3$.

Найдем точки пересечения графика $g(x)$ с осями координат:

– с осью Ox ($y=0$): $\frac{3x+1}{x-1} = 0 \implies 3x+1 = 0 \implies x = -1/3$. Точка $(-1/3, 0)$.

– с осью Oy ($x=0$): $g(0) = \frac{3(0)+1}{0-1} = -1$. Точка $(0, -1)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$.

Чтобы получить искомый график, мы должны ту часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox. Часть графика, где $g(x) \ge 0$, остается без изменений. Из анализа точек пересечения и асимптот следует, что $g(x) < 0$ при $x \in (-1/3, 1)$.

В результате преобразования:

– Вертикальная асимптота $x=1$ и горизонтальная асимптота $y=3$ сохраняются.

– Точка пересечения с осью Ox $(-1/3, 0)$ становится точкой излома графика.

– Точка $(0, -1)$ отражается в точку $(0, 1)$, которая становится точкой пересечения с осью Oy.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$ получается из графика гиперболы $g(x) = \frac{4}{x-1} + 3$ (с асимптотами $x=1$, $y=3$) путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит на интервале $x \in (-1/3, 1)$. Ключевые точки графика: точка излома $(-1/3, 0)$, пересечение с осью Oy в точке $(0, 1)$.

2) Построим график функции $y = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$.

Действуем по тому же алгоритму: строим график функции под модулем, а затем применяем преобразование $y=|f(x)|$.

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $g(x) = \frac{2-x}{x+3}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{-x+2}{x+3} = \frac{-(x+3)+3+2}{x+3} = \frac{-(x+3)}{x+3} + \frac{5}{x+3} = \frac{5}{x+3} - 1$.

График этой функции — гипербола, полученная из $y_0 = \frac{1}{x}$ преобразованиями:

1. Растяжение вдоль оси OY в 5 раз ($y_1 = \frac{5}{x}$).

2. Сдвиг на 3 единицы влево ($y_2 = \frac{5}{x+3}$).

3. Сдвиг на 1 единицу вниз ($g(x) = \frac{5}{x+3} - 1$).

Асимптоты графика $g(x)$: вертикальная $x=-3$ и горизонтальная $y=-1$.

Точки пересечения с осями:

– с осью Ox ($y=0$): $\frac{2-x}{x+3} = 0 \implies 2-x=0 \implies x = 2$. Точка $(2, 0)$.

– с осью Oy ($x=0$): $g(0) = \frac{2-0}{0+3} = 2/3$. Точка $(0, 2/3)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$.

Отражаем части графика $g(x)$, лежащие ниже оси Ox. Найдем, где $g(x)<0$: неравенство $\frac{2-x}{x+3} < 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

В результате преобразования:

– Вертикальная асимптота $x=-3$ сохраняется.

– Горизонтальная асимптота $y=-1$ для $g(x)$ отражается и становится горизонтальной асимптотой $y=1$ для итогового графика.

– Точка пересечения с осью Ox $(2, 0)$ становится точкой излома.

– Точка пересечения с осью Oy $(0, 2/3)$ остается на месте, так как ее ордината положительна.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$ получается из графика гиперболы $g(x) = \frac{5}{x+3} - 1$ путем отражения ее ветвей, лежащих ниже оси Ox (при $x < -3$ и $x > 2$), относительно оси Ox. Асимптоты итогового графика: $x=-3$ и $y=1$. Ключевые точки: точка излома $(2, 0)$, пересечение с осью Oy в $(0, 2/3)$.

3) Построим график функции $y = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|$.

Используем тот же двухэтапный алгоритм.

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $g(x) = \frac{3x+4}{x-2}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{3(x-2)+6+4}{x-2} = \frac{3(x-2)}{x-2} + \frac{10}{x-2} = \frac{10}{x-2} + 3$.

График — гипербола, полученная из $y_0 = \frac{1}{x}$ преобразованиями:

1. Растяжение вдоль оси OY в 10 раз ($y_1 = \frac{10}{x}$).

2. Сдвиг на 2 единицы вправо ($y_2 = \frac{10}{x-2}$).

3. Сдвиг на 3 единицы вверх ($g(x) = \frac{10}{x-2} + 3$).

Асимптоты графика $g(x)$: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=3$.

Точки пересечения с осями:

– с осью Ox ($y=0$): $\frac{3x+4}{x-2} = 0 \implies 3x+4=0 \implies x = -4/3$. Точка $(-4/3, 0)$.

– с осью Oy ($x=0$): $g(0) = \frac{3(0)+4}{0-2} = -2$. Точка $(0, -2)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|$.

Отражаем часть графика $g(x)$, где $g(x) < 0$. Это происходит на интервале $x \in (-4/3, 2)$.

В результате преобразования:

– Асимптоты $x=2$ и $y=3$ сохраняются.

– Точка пересечения с осью Ox $(-4/3, 0)$ становится точкой излома.

– Точка $(0, -2)$ отражается в точку $(0, 2)$, которая является новой точкой пересечения с осью Oy.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|$ получается из графика гиперболы $g(x) = \frac{10}{x-2} + 3$ (с асимптотами $x=2$, $y=3$) путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит на интервале $x \in (-4/3, 2)$. Ключевые точки графика: точка излома $(-4/3, 0)$, пересечение с осью Oy в точке $(0, 2)$.

6.10. Используя алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x-1} - 2|;$

2) $y = |2\sqrt{2-x} - 4|;$

3) $y = |3 - \sqrt{2x-3}|.$

1) Для построения графика функции $y = |\sqrt{x-1} - 2|$ выполним последовательность преобразований, начиная с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Построим сначала график функции $y_1 = \sqrt{x-1} - 2$, которая находится под знаком модуля. Для этого возьмем базовый график $y_0 = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат).

2. Выполним сдвиг графика $y_0 = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси абсцисс, чтобы получить график функции $y_2 = \sqrt{x-1}$. Начальная точка графика сместится из $(0,0)$ в $(1,0)$. Область определения функции $y_2$ есть $x \ge 1$.

3. Выполним сдвиг графика $y_2 = \sqrt{x-1}$ на 2 единицы вниз по оси ординат, чтобы получить график функции $y_1 = \sqrt{x-1} - 2$. Начальная точка графика сместится из $(1,0)$ в $(1,-2)$.

4. Теперь построим итоговый график $y = |\sqrt{x-1} - 2|$. По определению модуля, $y \ge 0$. Это означает, что часть графика функции $y_1$, которая находится ниже оси Ox, должна быть симметрично отражена относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox, решив уравнение $y_1=0$:

$\sqrt{x-1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x-1} = 2 \implies x-1 = 4 \implies x=5$.

График $y_1$ пересекает ось Ox в точке $(5,0)$. Следовательно, на промежутке $[1, 5)$ график $y_1$ лежит ниже оси Ox, и эту часть мы отражаем. На промежутке $[5, +\infty)$ график $y_1$ лежит выше оси Ox, и эта часть остается неизменной.

В результате отражения начальная точка $(1,-2)$ переходит в точку $(1,2)$. Точка $(5,0)$ является точкой излома итогового графика.

Ответ: График функции строится путем последовательных преобразований графика $y=\sqrt{x}$: сдвиг на 1 единицу вправо, сдвиг на 2 единицы вниз, и, наконец, симметричное отражение части графика, расположенной под осью абсцисс, относительно этой оси. Итоговый график имеет начальную точку $(1,2)$, убывает до точки излома $(5,0)$, а затем возрастает.

2) Для построения графика функции $y = |2\sqrt{2-x} - 4|$ выполним последовательность преобразований, начиная с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Построим сначала график функции $y_1 = 2\sqrt{2-x} - 4$, которая находится под знаком модуля. Преобразуем выражение под корнем: $2-x = -(x-2)$.

2. Возьмем базовый график $y_0 = \sqrt{x}$.

3. Отразим график $y_0$ симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y_2 = \sqrt{-x}$.

4. Сдвинем график $y_2$ на 2 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график $y_3 = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$. Начальная точка графика будет в $(2,0)$. Область определения: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

5. Растянем график $y_3$ в 2 раза вдоль оси Oy, чтобы получить $y_4 = 2\sqrt{2-x}$.

6. Сдвинем график $y_4$ на 4 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить $y_1 = 2\sqrt{2-x} - 4$. Начальная точка графика сместится в $(2,-4)$.

7. Теперь построим итоговый график $y = |2\sqrt{2-x} - 4|$. Часть графика $y_1$, лежащую ниже оси Ox, отразим симметрично относительно этой оси.

Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox, решив уравнение $y_1=0$:

$2\sqrt{2-x} - 4 = 0 \implies 2\sqrt{2-x} = 4 \implies \sqrt{2-x} = 2 \implies 2-x = 4 \implies x=-2$.

График $y_1$ пересекает ось Ox в точке $(-2,0)$. На промежутке $(-2, 2]$ график $y_1$ лежит ниже оси Ox, эту часть отражаем. На промежутке $(-\infty, -2]$ график лежит выше оси Ox, эта часть остается неизменной.

В результате отражения конечная точка $(2,-4)$ переходит в точку $(2,4)$. Точка $(-2,0)$ является точкой излома.

Ответ: График функции строится путем преобразований графика $y=\sqrt{x}$: отражение относительно оси Oy, сдвиг на 2 единицы вправо, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy, сдвиг на 4 единицы вниз, и отражение части графика, расположенной под осью Ox, относительно этой оси. Итоговый график имеет конечную точку $(2,4)$, убывает до точки излома $(-2,0)$, а затем возрастает при движении влево по оси Ox.

3) Для построения графика функции $y = |3 - \sqrt{2x-3}|$, заметим, что $|a-b| = |b-a|$, поэтому $y = |\sqrt{2x-3} - 3|$. Будем строить график, используя преобразования.

1. Построим сначала график функции $y_1 = \sqrt{2x-3} - 3$. Преобразуем выражение под корнем: $2x-3 = 2(x-1.5)$.

2. Возьмем базовый график $y_0 = \sqrt{x}$.

3. Сожмем график $y_0$ в 2 раза вдоль оси Ox, чтобы получить график $y_2 = \sqrt{2x}$.

4. Сдвинем график $y_2$ на 1.5 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график $y_3 = \sqrt{2(x-1.5)} = \sqrt{2x-3}$. Начальная точка графика будет в $(1.5, 0)$. Область определения: $2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$.

5. Сдвинем график $y_3$ на 3 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить $y_1 = \sqrt{2x-3} - 3$. Начальная точка графика сместится в $(1.5, -3)$.

6. Теперь построим итоговый график $y = |\sqrt{2x-3} - 3|$. Часть графика $y_1$, лежащую ниже оси Ox, отразим симметрично относительно этой оси.

Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox, решив уравнение $y_1=0$:

$\sqrt{2x-3} - 3 = 0 \implies \sqrt{2x-3} = 3 \implies 2x-3 = 9 \implies 2x=12 \implies x=6$.

График $y_1$ пересекает ось Ox в точке $(6,0)$. На промежутке $[1.5, 6)$ график $y_1$ лежит ниже оси Ox, эту часть отражаем. На промежутке $[6, +\infty)$ график лежит выше оси Ox, эта часть остается неизменной.

В результате отражения начальная точка $(1.5, -3)$ переходит в точку $(1.5, 3)$. Точка $(6,0)$ является точкой излома.

Ответ: График функции строится путем преобразований графика $y=\sqrt{x}$: сжатие в 2 раза к оси Oy, сдвиг на 1.5 единицы вправо, сдвиг на 3 единицы вниз, и отражение части графика, расположенной под осью Ox, относительно этой оси. Итоговый график имеет начальную точку $(1.5, 3)$, убывает до точки излома $(6,0)$, а затем возрастает.

6.11. Найдите область определения функции:

1)

$y = \frac{3}{x-3} + \sqrt{\frac{2x-3}{x^2-4}}$;

2)

$y = \frac{5x}{2x-3} + \sqrt{\frac{1-2x}{2x^2-18}}$.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых, поэтому она определена, когда определены оба слагаемых.

1. Для слагаемого $\frac{3}{x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

2. Для слагаемого $\sqrt{\frac{2x-3}{x^2-4}}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{2x-3}{x^2-4} \ge 0$.

Таким образом, область определения функции задается системой условий:

$ \begin{cases} x - 3 \neq 0 \\ \frac{2x-3}{x^2-4} \ge 0 \end{cases} $

Решим неравенство $\frac{2x-3}{x^2-4} \ge 0$ методом интервалов. Разложим знаменатель на множители: $\frac{2x-3}{(x-2)(x+2)} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x-3=0 \implies x = 1.5$.

Нули знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$; $x+2=0 \implies x=-2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точки $x=-2$ и $x=2$ (нули знаменателя) выкалываем, а точку $x=1.5$ (нуль числителя) включаем в решение, так как неравенство нестрогое. Эти точки разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки выражения на каждом интервале:

— на интервале $(2; +\infty)$: выражение положительно (например, при $x=10$ имеем $\frac{+}{+} > 0$).

— на интервале $(1.5; 2)$: выражение отрицательно (например, при $x=1.8$ имеем $\frac{+}{-} < 0$).

— на интервале $(-2; 1.5)$: выражение положительно (например, при $x=0$ имеем $\frac{-}{-} > 0$).

— на интервале $(-\infty; -2)$: выражение отрицательно (например, при $x=-10$ имеем $\frac{-}{+} < 0$).

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение неотрицательно: $x \in (-2; 1.5] \cup (2; +\infty)$.

Теперь учтем первое условие $x \neq 3$. Число 3 входит в промежуток $(2; +\infty)$, поэтому его нужно исключить.

Итоговая область определения функции: $(-2; 1.5] \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-2; 1.5] \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Область определения функции находится из условий, при которых оба слагаемых имеют смысл.

1. Для слагаемого $\frac{5x}{2x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $2x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 1.5$.

2. Для слагаемого $\sqrt{\frac{1-2x}{2x^2-18}}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{1-2x}{2x^2-18} \ge 0$.

Таким образом, область определения функции задается системой условий:

$ \begin{cases} 2x - 3 \neq 0 \\ \frac{1-2x}{2x^2-18} \ge 0 \end{cases} $

Решим второе неравенство $\frac{1-2x}{2x^2-18} \ge 0$. Упростим его: $\frac{1-2x}{2(x^2-9)} \ge 0$. Так как $2>0$, неравенство равносильно $\frac{1-2x}{x^2-9} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $1-2x=0 \implies x = 0.5$.

Нули знаменателя: $x^2-9=0 \implies x=-3, x=3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точки $x=-3$ и $x=3$ (нули знаменателя) выкалываем, а точку $x=0.5$ (нуль числителя) включаем в решение.

Определим знаки выражения на каждом интервале:

— на интервале $(3; +\infty)$: выражение отрицательно (например, при $x=4$ имеем $\frac{-}{+} < 0$).

— на интервале $(0.5; 3)$: выражение положительно (например, при $x=1$ имеем $\frac{-}{-} > 0$).

— на интервале $(-3; 0.5)$: выражение отрицательно (например, при $x=0$ имеем $\frac{+}{-} < 0$).

— на интервале $(-\infty; -3)$: выражение положительно (например, при $x=-4$ имеем $\frac{+}{+} > 0$).

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение неотрицательно: $x \in (-\infty; -3) \cup [0.5; 3)$.

Теперь учтем первое условие $x \neq 1.5$. Число 1.5 входит в промежуток $[0.5; 3)$, поэтому его нужно исключить.

Итоговая область определения функции: $(-\infty; -3) \cup [0.5; 1.5) \cup (1.5; 3)$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup [0.5; 1.5) \cup (1.5; 3)$.

6.12. Докажите, что функция $y = f(x)$ возрастает, если:

1) $f(x) = x^2 - 2x$ на множестве $[1; +\infty)$;

2) $f(x) = x^2 + 4x$ на множестве $[-2; +\infty)$;

3) $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ на множестве $(-\infty 1]$.

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 - 2x$ возрастает на множестве $[1; +\infty)$, необходимо показать, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем произвольные $x_1, x_2 \in [1; +\infty)$ так, что $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - 2x_2) - (x_1^2 - 2x_1) = x_2^2 - x_1^2 - 2(x_2 - x_1)$.

Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$.

Оценим знак полученного выражения. По условию $x_2 > x_1$, значит множитель $(x_2 - x_1) > 0$.

Так как $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$, то их сумма $x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, множитель $(x_2 + x_1 - 2) > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом, поэтому $f(x_2) - f(x_1) > 0$. Отсюда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ были выбраны произвольно, это доказывает, что функция $f(x)$ возрастает на множестве $[1; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + 4x$ возрастает на множестве $[-2; +\infty)$, необходимо показать, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем произвольные $x_1, x_2 \in [-2; +\infty)$ так, что $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) - (x_1^2 + 4x_1) = x_2^2 - x_1^2 + 4(x_2 - x_1)$.

Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4)$.

Оценим знак полученного выражения. По условию $x_2 > x_1$, значит множитель $(x_2 - x_1) > 0$.

Так как $x_1 \ge -2$ и $x_2 > -2$, то их сумма $x_1 + x_2 > -2 + (-2) = -4$. Следовательно, множитель $(x_2 + x_1 + 4) > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом, поэтому $f(x_2) - f(x_1) > 0$. Отсюда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$, и функция $f(x)$ возрастает на множестве $[-2; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ возрастает на множестве $(-\infty; 1]$, необходимо показать, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем произвольные $x_1, x_2 \in (-\infty; 1]$ так, что $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (-x_2^2 + 2x_2 + 4) - (-x_1^2 + 2x_1 + 4) = -x_2^2 + x_1^2 + 2x_2 - 2x_1$.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$-(x_2^2 - x_1^2) + 2(x_2 - x_1) = -(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 2(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(2 - (x_2 + x_1)) = (x_2 - x_1)(2 - x_2 - x_1)$.

Оценим знак полученного выражения. По условию $x_2 > x_1$, значит множитель $(x_2 - x_1) > 0$.

Так как $x_1 < 1$ и $x_2 \le 1$, то их сумма $x_1 + x_2 < 1 + 1 = 2$. Следовательно, $2 - (x_1 + x_2) > 0$, то есть множитель $(2 - x_2 - x_1) > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом, поэтому $f(x_2) - f(x_1) > 0$. Отсюда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$, и функция $f(x)$ возрастает на множестве $(-\infty; 1]$.

Ответ: Утверждение доказано.