Страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Сформулируйте алгоритм построения графика функции: 1) $y = 3f(x + 2) + 1$; 2) $y = 3f(x - 2) - 1$; 3) $y = -f(-x + 1)$; 4) $y = 2f(2x + 2)$, используя график функции $y = f(x)$.

2. Приведите пример функции, полученной из графика функции $y = f(x)$ его:

1) растяжением вдоль оси $Ox$ и сжатием вдоль оси $Oy$;

2) перемещением вправо вдоль оси $Ox$ и вверх вдоль оси $Oy$;

3) сжатием и перемещением влево вдоль оси $Ox$;

4) растяжением и перемещением вниз вдоль оси $Oy$.

1) $y = 3f(x + 2) + 1$

Для построения графика функции $y = 3f(x + 2) + 1$, исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить сдвиг (параллельный перенос) графика функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. В результате получится график функции $y = f(x + 2)$.

2. Выполнить растяжение полученного графика от оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза. Это означает, что ордината каждой точки графика умножается на 3. В результате получится график функции $y = 3f(x + 2)$.

3. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. В результате получится искомый график функции $y = 3f(x + 2) + 1$.

Ответ: Алгоритм состоит из трех шагов: сдвиг исходного графика на 2 единицы влево, затем растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, и в завершение сдвиг на 1 единицу вверх.

2) $y = 3f(x - 2) - 1$

Для построения графика функции $y = 3f(x - 2) - 1$, исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить сдвиг графика функции $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получится график функции $y = f(x - 2)$.

2. Выполнить растяжение полученного графика от оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза. Ордината каждой точки графика умножается на 3. Получится график функции $y = 3f(x - 2)$.

3. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Получится искомый график функции $y = 3f(x - 2) - 1$.

Ответ: Алгоритм состоит из трех шагов: сдвиг исходного графика на 2 единицы вправо, затем растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, и в завершение сдвиг на 1 единицу вниз.

3) $y = -f(-x + 1)$

Для построения графика функции $y = -f(-x + 1)$, представим ее в виде $y = -f(-(x - 1))$. Исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить симметричное отражение графика $y = f(x)$ относительно оси Oy. Абсцисса каждой точки графика меняет знак. Получится график функции $y = f(-x)$.

2. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получится график функции $y = f(-(x - 1)) = f(-x + 1)$.

3. Выполнить симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox. Ордината каждой точки графика меняет знак. Получится искомый график функции $y = -f(-x + 1)$.

Ответ: Алгоритм: отражение исходного графика относительно оси Oy, затем сдвиг на 1 единицу вправо, и в завершение отражение относительно оси Ox.

4) $y = 2f(2x + 2)$

Для построения графика функции $y = 2f(2x + 2)$, представим ее в виде $y = 2f(2(x + 1))$. Исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить сжатие графика $y = f(x)$ к оси Oy (вдоль оси Ox) в 2 раза. Это означает, что абсцисса каждой точки графика делится на 2. Получится график функции $y = f(2x)$.

2. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получится график функции $y = f(2(x + 1)) = f(2x + 2)$.

3. Выполнить растяжение полученного графика от оси Ox (вдоль оси Oy) в 2 раза. Ордината каждой точки умножается на 2. Получится искомый график функции $y = 2f(2x + 2)$.

Ответ: Алгоритм: сжатие исходного графика к оси Oy в 2 раза, затем сдвиг на 1 единицу влево, и в завершение растяжение от оси Ox в 2 раза.

1) растяжением вдоль оси Ox и сжатием вдоль оси Oy;

Растяжение графика вдоль оси Ox в $k$ раз ($k>1$) соответствует замене в функции аргумента $x$ на $\frac{x}{k}$. Сжатие графика вдоль оси Oy в $m$ раз ($m>1$) соответствует умножению функции на коэффициент $a = \frac{1}{m}$. Для примера выберем растяжение в 2 раза ($k=2$) и сжатие в 3 раза ($m=3$).

Ответ: $y = \frac{1}{3}f(\frac{x}{2})$

2) перемещением вправо вдоль оси Ox и вверх вдоль оси Oy;

Перемещение графика вправо на $c$ единиц ($c>0$) соответствует замене аргумента $x$ на $x-c$. Перемещение вверх на $d$ единиц ($d>0$) соответствует прибавлению к функции константы $d$. Для примера выберем сдвиг вправо на 5 единиц ($c=5$) и сдвиг вверх на 2 единицы ($d=2$).

Ответ: $y = f(x - 5) + 2$

3) сжатием и перемещением влево вдоль оси Ox;

Сжатие графика вдоль оси Ox в $k$ раз ($k>1$) и перемещение влево на $c$ единиц ($c>0$) достигаются преобразованием аргумента функции к виду $k(x+c)$. Для примера выберем сжатие в 4 раза ($k=4$) и сдвиг влево на 1 единицу ($c=1$).

Ответ: $y = f(4(x + 1))$

4) растяжением и перемещением вниз вдоль оси Oy.

Растяжение графика вдоль оси Oy в $a$ раз ($a>1$) соответствует умножению функции на $a$. Перемещение вниз на $d$ единиц ($d>0$) соответствует вычитанию из функции константы $d$. Для примера выберем растяжение в 2 раза ($a=2$) и сдвиг вниз на 3 единицы ($d=3$).

Ответ: $y = 2f(x) - 3$

1) f(x) = 2 + ¼(x-1)

График функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ можно построить, последовательно применяя преобразования к графику базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Базовый график. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Горизонтальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y_1 = \frac{1}{x-1}$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. При этом вертикальная асимптота смещается на 1 единицу вправо и становится прямой $x=1$.

3. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $f(x) = \frac{1}{x-1} + 2$, необходимо сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \frac{1}{x-1}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. При этом горизонтальная асимптота смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

В итоге, график функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ — это гипербола с центром симметрии в точке (1; 2), с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III относительно новых асимптот.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

- если $x = 2$, то $y = 2 + \frac{1}{2-1} = 2 + 1 = 3$. Точка (2; 3).

- если $x = 0$, то $y = 2 + \frac{1}{0-1} = 2 - 1 = 1$. Точка (0; 1) (пересечение с осью Oy).

- если $y = 0$, то $0 = 2 + \frac{1}{x-1} \Rightarrow \frac{1}{x-1} = -2 \Rightarrow x-1 = -0.5 \Rightarrow x = 0.5$. Точка (0.5; 0) (пересечение с осью Ox).

Ответ: График функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Новые асимптоты: $x=1$, $y=2$.

2) f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}

График функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}$, которую можно записать как $f(x) = -\frac{1}{x+2} + 3$, строится на основе графика $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований.

1. Базовый график. Строим гиперболу $y = \frac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

2. Горизонтальный сдвиг. Для получения графика $y_1 = \frac{1}{x+2}$ сдвигаем базовый график на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота становится $x=-2$.

3. Симметричное отражение. Для получения графика $y_2 = -\frac{1}{x+2}$ отражаем график $y_1$ симметрично относительно оси Ox. Ветви гиперболы, которые были в I и III "новых" четвертях (относительно асимптот $x=-2, y=0$), теперь переместятся во II и IV.

4. Вертикальный сдвиг. Для получения итогового графика $f(x) = -\frac{1}{x+2} + 3$ сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота становится $y=3$.

В итоге, график функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}$ — это гипербола с центром симметрии в точке (-2; 3), с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных II и IV относительно новых асимптот.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

- если $x = -1$, то $y = 3 - \frac{1}{-1+2} = 3 - 1 = 2$. Точка (-1; 2).

- если $x = -3$, то $y = 3 - \frac{1}{-3+2} = 3 - (-1) = 4$. Точка (-3; 4).

- если $x = 0$, то $y = 3 - \frac{1}{0+2} = 3 - 0.5 = 2.5$. Точка (0; 2.5) (пересечение с осью Oy).

Ответ: График функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево, симметричного отражения относительно оси Ox и сдвига на 3 единицы вверх. Новые асимптоты: $x=-2$, $y=3$.

3) f(x) = \frac{1}{x-3} - 2

График функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$ можно построить, последовательно применяя преобразования к графику базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Базовый график. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=0$.

2. Горизонтальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y_1 = \frac{1}{x-3}$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=3$.

3. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$, необходимо сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \frac{1}{x-3}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота смещается и становится прямой $y=-2$.

В итоге, график функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$ — это гипербола с центром симметрии в точке (3; -2), с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=-2$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III относительно новых асимптот.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

- если $x = 4$, то $y = \frac{1}{4-3} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (4; -1).

- если $x = 2$, то $y = \frac{1}{2-3} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка (2; -3).

- если $y = 0$, то $0 = \frac{1}{x-3} - 2 \Rightarrow \frac{1}{x-3} = 2 \Rightarrow x-3 = 0.5 \Rightarrow x = 3.5$. Точка (3.5; 0) (пересечение с осью Ox).

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy. Новые асимптоты: $x=3$, $y=-2$.

6.2. Постройте график функции:

1) $y = (x - 2)^2 - 3$;

2) $y = 4 - \sqrt{2+x}$;

3) $y = \sqrt{2-x} - 3$.

1) Построим график функции $y = (x - 2)^2 - 3$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ (стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$) с помощью последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Получим график функции $y = (x - 2)^2$. Вершина этой параболы будет в точке $(2, 0)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = (x - 2)^2$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Получим график искомой функции $y = (x - 2)^2 - 3$.

Таким образом, график функции $y = (x - 2)^2 - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

Если $x = 0$, то $y = (0-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(0, 1)$.

Если $x = 1$, то $y = (1-2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Если $x = 2$, то $y = (2-2)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$. Точка $(2, -3)$ (вершина).

Если $x = 3$, то $y = (3-2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(3, -2)$.

Если $x = 4$, то $y = (4-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(4, 1)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -3)$, ветви которой направлены вверх.

2) Построим график функции $y = 4 - \sqrt{2+x}$.

Перепишем функцию в виде $y = -\sqrt{x+2} + 4$. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из точки $(0,0)$ в первой координатной четверти) с помощью следующих преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево по оси Ox. Получим график функции $y = \sqrt{x+2}$. Начальная точка сместится в $(-2, 0)$.

2. Симметричное отражение графика $y = \sqrt{x+2}$ относительно оси Ox. Получим график функции $y = -\sqrt{x+2}$. График будет расположен ниже оси Ox.

3. Сдвиг полученного графика $y = -\sqrt{x+2}$ на 4 единицы вверх по оси Oy. Получим график искомой функции $y = -\sqrt{x+2} + 4$.

Область определения функции: $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$.

Область значений функции: $\sqrt{2+x} \ge 0 \implies -\sqrt{2+x} \le 0 \implies 4 - \sqrt{2+x} \le 4$, то есть $y \le 4$.

Таким образом, график функции $y = 4 - \sqrt{2+x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-2, 4)$ и идущая вправо и вниз.

Для более точного построения найдем несколько точек:

Если $x = -2$, то $y = 4 - \sqrt{2-2} = 4$. Точка $(-2, 4)$ (начальная точка).

Если $x = -1$, то $y = 4 - \sqrt{2-1} = 4 - 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Если $x = 2$, то $y = 4 - \sqrt{2+2} = 4 - 2 = 2$. Точка $(2, 2)$.

Если $x = 7$, то $y = 4 - \sqrt{2+7} = 4 - 3 = 1$. Точка $(7, 1)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \implies 4 - \sqrt{2+x} = 0 \implies \sqrt{2+x} = 4 \implies 2+x=16 \implies x=14$. Точка $(14, 0)$.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы с началом в точке $(-2, 4)$, направленная вправо и вниз.

3) Построим график функции $y = \sqrt{2-x} - 3$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Запишем подкоренное выражение как $2-x = -(x-2)$. Это означает два преобразования: сначала отражение, потом сдвиг.

2. Симметричное отражение графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси Oy. Получим график функции $y = \sqrt{-x}$. График выходит из точки $(0,0)$ и идет влево и вверх.

3. Сдвиг графика $y = \sqrt{-x}$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Получим график функции $y = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$. Начальная точка сместится в $(2, 0)$.

4. Сдвиг полученного графика $y = \sqrt{2-x}$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Получим график искомой функции $y = \sqrt{2-x} - 3$.

Область определения функции: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

Область значений функции: $\sqrt{2-x} \ge 0 \implies \sqrt{2-x} - 3 \ge -3$, то есть $y \ge -3$.

Таким образом, график функции $y = \sqrt{2-x} - 3$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(2, -3)$ и идущая влево и вверх.

Для более точного построения найдем несколько точек:

Если $x = 2$, то $y = \sqrt{2-2} - 3 = -3$. Точка $(2, -3)$ (начальная точка).

Если $x = 1$, то $y = \sqrt{2-1} - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Если $x = -2$, то $y = \sqrt{2-(-2)} - 3 = \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка $(-2, -1)$.

Найдем точку пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = \sqrt{2-0} - 3 = \sqrt{2}-3 \approx -1.59$. Точка $(0, \sqrt{2}-3)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \implies \sqrt{2-x} - 3 = 0 \implies \sqrt{2-x} = 3 \implies 2-x=9 \implies x=-7$. Точка $(-7, 0)$.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы с началом в точке $(2, -3)$, направленная влево и вверх.

Используя график функции $y = f(x)$ и алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции (6.3—6.4):

6.3. 1) $y = 2(x - 1)^2 - 4$; 2) $y = 3 - 2\sqrt{-x}$; 3) $y = 3\sqrt{2 - x} - 1$.

1) $y = 2(x-1)^2 - 4$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать последовательность преобразований базового графика функции $y = f(x) = x^2$. Исходную функцию можно представить в виде $y = kf(a(x+n)) + m$.

В нашем случае, базовая функция — это парабола $f(x) = x^2$. Функция $y = 2(x-1)^2 - 4$ соответствует общей форме $y = kf(x+n)+m$, где $k=2$, $n=-1$, $m=-4$ и $a=1$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(-2, 4)$, $(2, 4)$.
2. Применяем растяжение графика вдоль оси OY. Так как коэффициент $k=2$, все ординаты точек графика умножаются на 2. Получаем функцию $y_1 = 2x^2$. Вершина остается в точке $(0, 0)$, а контрольные точки становятся $(-1, 2)$, $(1, 2)$, $(-2, 8)$, $(2, 8)$.
3. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OX. Выражение $(x-1)$ означает сдвиг на 1 единицу вправо. Получаем функцию $y_2 = 2(x-1)^2$. Вершина параболы смещается из $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.
4. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OY. Вычитание 4 означает сдвиг на 4 единицы вниз. Получаем искомую функцию $y = 2(x-1)^2 - 4$. Вершина параболы смещается из $(1, 0)$ в точку $(1, -4)$.

Ответ: График функции $y = 2(x-1)^2 - 4$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза, сдвига на 1 единицу вправо по оси OX и на 4 единицы вниз по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(1, -4)$, ветви направлены вверх.

2) $y = 3 - 2\sqrt{-x}$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -2\sqrt{-x} + 3$. Базовой функцией является $y = f(x) = \sqrt{x}$. Исходную функцию можно представить в виде $y = kf(ax+n) + m$.

В нашем случае, базовая функция — $f(x) = \sqrt{x}$. Функция $y = -2\sqrt{-x} + 3$ соответствует общей форме $y = kf(ax) + m$, где $k=-2$, $a=-1$ и $m=3$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и проходящая через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$. Область определения $x \ge 0$.
2. Применяем преобразование аргумента. Коэффициент $a=-1$ означает симметричное отражение графика относительно оси OY. Получаем функцию $y_1 = \sqrt{-x}$. График теперь расположен в левой полуплоскости, начинаясь в $(0, 0)$ и проходя через точки $(-1, 1)$, $(-4, 2)$. Область определения $x \le 0$.
3. Применяем преобразование функции. Коэффициент $k=-2$ означает растяжение графика вдоль оси OY в 2 раза и последующее симметричное отражение относительно оси OX. Получаем функцию $y_2 = -2\sqrt{-x}$. График теперь направлен влево и вниз, начинаясь в $(0, 0)$ и проходя через точки $(-1, -2)$, $(-4, -4)$.
4. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OY. Прибавление 3 означает сдвиг на 3 единицы вверх. Получаем искомую функцию $y = -2\sqrt{-x} + 3$. Начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = 3 - 2\sqrt{-x}$ — это ветвь параболы, полученная из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, растяжения в 2 раза вдоль оси OY, отражения относительно оси OX и сдвига на 3 единицы вверх. Начало графика (вершина) находится в точке $(0, 3)$, ветвь направлена влево и вниз. Область определения: $x \le 0$. Область значений: $y \le 3$.

3) $y = 3\sqrt{2-x} - 1$

Для удобства анализа преобразуем подкоренное выражение: $2-x = -(x-2)$. Тогда функция примет вид $y = 3\sqrt{-(x-2)} - 1$. Базовой функцией является $y = f(x) = \sqrt{x}$.

Исходную функцию можно представить в виде $y = kf(a(x+n)) + m$, где базовая функция $f(x)=\sqrt{x}$, а коэффициенты преобразований: $k=3$, $a=-1$, $n=-2$ и $m=-1$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Он начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. Применяем отражение относительно оси OY, так как коэффициент $a=-1$. Получаем функцию $y_1 = \sqrt{-x}$. График симметричен исходному относительно оси OY.
3. Применяем растяжение вдоль оси OY, так как коэффициент $k=3$. Все ординаты умножаются на 3. Получаем функцию $y_2 = 3\sqrt{-x}$. График начинается в $(0, 0)$ и проходит через точки $(-1, 3)$, $(-4, 6)$.
4. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OX. Выражение $(x-2)$ в аргументе означает сдвиг на 2 единицы вправо. Получаем функцию $y_3 = 3\sqrt{-(x-2)}$. Начальная точка смещается в $(2, 0)$.
5. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OY. Вычитание 1 означает сдвиг на 1 единицу вниз. Получаем искомую функцию $y = 3\sqrt{-(x-2)} - 1$. Начальная точка смещается в $(2, -1)$.

Ответ: График функции $y = 3\sqrt{2-x} - 1$ — это ветвь параболы, полученная из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, растяжения в 3 раза вдоль оси OY, сдвига на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Начало графика (вершина) находится в точке $(2, -1)$, ветвь направлена влево и вверх. Область определения: $x \le 2$. Область значений: $y \ge -1$.

6.4. 1) $y = -2(x+1)^2 + 3;$ 2) $y = 4-\sqrt{2-x};$ 3) $y = -3\sqrt{2-x} + 2.

1) $y = -2(x + 1)^2 + 3$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ - координаты вершины.

В данном случае коэффициенты: $a = -2$, $h = -1$, $k = 3$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины находятся из уравнения и равны $(h, k)$, то есть $(-1, 3)$.

2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Область определения $D(y)$. Квадратичная функция определена для всех действительных значений аргумента $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Область значений $E(y)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а ее высшая точка (вершина) имеет ординату $y = 3$, то функция принимает все значения, не превосходящие 3.

$E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3]$. Вершина параболы находится в точке $(-1, 3)$, ветви направлены вниз.

2) $y = 4 - \sqrt{2 - x}$

Это иррациональная функция. Её график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью последовательности геометрических преобразований. Перепишем функцию в виде $y = -\sqrt{-(x - 2)} + 4$.

Преобразования:

1. $y = \sqrt{x}$ → $y = \sqrt{-x}$ (отражение относительно оси OY).

2. $y = \sqrt{-x}$ → $y = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$ (сдвиг вправо на 2 единицы).

3. $y = \sqrt{2-x}$ → $y = -\sqrt{2-x}$ (отражение относительно оси OX).

4. $y = -\sqrt{2-x}$ → $y = -\sqrt{2-x} + 4$ (сдвиг вверх на 4 единицы).

Начальная точка графика $(0,0)$ для $y = \sqrt{x}$ перемещается в точку $(2, 4)$.

1. Область определения $D(y)$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

$D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Область значений $E(y)$. По определению, $\sqrt{2 - x} \ge 0$.

Умножая на -1, получаем: $-\sqrt{2 - x} \le 0$.

Прибавляя 4, имеем: $4 - \sqrt{2 - x} \le 4$.

Таким образом, $y \le 4$.

$E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.

3) $y = -3\sqrt{2 - x} + 2$

Это также иррациональная функция. График получается из графика $y = \sqrt{x}$ преобразованиями. Перепишем функцию в виде $y = -3\sqrt{-(x - 2)} + 2$.

Преобразования:

1. $y = \sqrt{x}$ → $y = \sqrt{-x}$ (отражение относительно оси OY).

2. $y = \sqrt{-x}$ → $y = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$ (сдвиг вправо на 2 единицы).

3. $y = \sqrt{2-x}$ → $y = 3\sqrt{2-x}$ (растяжение в 3 раза вдоль оси OY).

4. $y = 3\sqrt{2-x}$ → $y = -3\sqrt{2-x}$ (отражение относительно оси OX).

5. $y = -3\sqrt{2-x}$ → $y = -3\sqrt{2-x} + 2$ (сдвиг вверх на 2 единицы).

Начальная точка графика $(0,0)$ для $y = \sqrt{x}$ перемещается в точку $(2, 2)$.

1. Область определения $D(y)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

$D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Область значений $E(y)$. Известно, что $\sqrt{2 - x} \ge 0$.

Умножая на -3, меняем знак неравенства: $-3\sqrt{2 - x} \le 0$.

Прибавляя 2, получаем: $-3\sqrt{2 - x} + 2 \le 2$.

Следовательно, $y \le 2$.

$E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Докажите, что $\angle NMP = \Phi$.

Утверждение, которое требуется доказать, является математически некорректным, поскольку в нём сравниваются объекты совершенно разной природы.

С одной стороны, у нас есть $\angle NMP$. Это обозначение для угла с вершиной в точке $M$ и сторонами, проходящими через точки $N$ и $P$. Угол — это геометрическая фигура. Также это обозначение может использоваться для величины угла, которая является числовым значением (например, в градусах или радианах). Величина угла — это неотрицательное действительное число.

С другой стороны, у нас есть символ $\emptyset$. Этот символ в математике однозначно обозначает пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество является фундаментальным объектом теории множеств.

Таким образом, равенство $\angle NMP = \emptyset$ пытается приравнять геометрическую фигуру (или её числовую меру) к множеству. Это является так называемой категориальной ошибкой. Такое утверждение логически и математически бессмысленно, так же как, например, утверждение "скорость автомобиля равна фиолетовому цвету". Нельзя доказать истинность утверждения, которое лишено смысла.

Возможно, в условии задачи допущена опечатка. Например, могли иметься в виду следующие корректные с математической точки зрения постановки задачи:

1. Доказать, что $\angle NMP = 0^\circ$. Это означало бы, что лучи $MN$ и $MP$ совпадают, а точки $N$, $M$ и $P$ лежат на одной прямой (причем точка $M$ не лежит между $N$ и $P$).

2. Доказать, что $\angle NMP = \varphi$ (где $\varphi$ — некоторая заданная величина угла). Для этого потребовались бы дополнительные условия, связывающие точки $N, M, P$.

3. Доказать, что пересечение некоторых множеств точек, связанных с углом, является пустым, например, $A \cap B = \emptyset$.

Однако в исходной постановке задача не имеет решения из-за своей некорректности.

Ответ: Доказать утверждение $\angle NMP = \emptyset$ невозможно, так как оно математически некорректно. Оно приравнивает геометрический объект (угол) или его числовую меру к объекту из теории множеств (пустое множество), что является категориальной ошибкой и делает утверждение бессмысленным.