Номер 41.14, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.14. Найдите значение производной функции в указанных точках:

1) $f(x) = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}$, $x = 1;$

2) $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^2}{2} - 5$, $x = -2;$

3) $f(x) = 3 + \frac{4}{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}$, $x = 4.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}$ и точка $x = 1$.

Чтобы найти значение производной в указанной точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенных выражений: $f(x) = 2x^{-1} - \frac{1}{2}x$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правила дифференцирования суммы и разности функций.

$f'(x) = (2x^{-1} - \frac{1}{2}x)' = (2x^{-1})' - (\frac{1}{2}x)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -2x^{-2} - \frac{1}{2}x^0 = -\frac{2}{x^2} - \frac{1}{2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = 1$, подставив это значение в полученное выражение для $f'(x)$.

$f'(1) = -\frac{2}{1^2} - \frac{1}{2} = -2 - \frac{1}{2} = -2.5$.

Ответ: -2.5.

2) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x} - \frac{x^2}{2} - 5$ и точка $x = -2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде: $f(x) = 5x^{-1} - \frac{1}{2}x^2 - 5$.

Производная константы равна нулю, то есть $( -5 )' = 0$.

$f'(x) = (5x^{-1} - \frac{1}{2}x^2 - 5)' = (5x^{-1})' - (\frac{1}{2}x^2)' - (5)' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} - \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 0 = -5x^{-2} - x = -\frac{5}{x^2} - x$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = -2$.

$f'(-2) = -\frac{5}{(-2)^2} - (-2) = -\frac{5}{4} + 2 = -\frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = 3 + \frac{4}{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}$ и точка $x = 4$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде: $f(x) = 3 + 4x^{-1} + \frac{1}{2}x^{1/2}$.

Производная константы $(3)' = 0$.

$f'(x) = (3 + 4x^{-1} + \frac{1}{2}x^{1/2})' = (3)' + (4x^{-1})' + (\frac{1}{2}x^{1/2})' = 0 + 4 \cdot (-1)x^{-1-1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -4x^{-2} + \frac{1}{4}x^{-1/2} = -\frac{4}{x^2} + \frac{1}{4\sqrt{x}}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = 4$.

$f'(4) = -\frac{4}{4^2} + \frac{1}{4\sqrt{4}} = -\frac{4}{16} + \frac{1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = -\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.