Номер 41.17, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.17. Решите уравнение:

1) $3\sin^2 2x = 2 + \sin 2x \cos 2x;$

2) $2\sin^2 4x - 4 + 4\cos^2 4x = 3\sin 4x \cos 4x;$

3) $\cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x - 7\cos x = 0.$

1) Исходное уравнение: $3\sin^2{2x} = 2 + \sin{2x} \cos{2x}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, представив число $2$ как $2(\sin^2{2x} + \cos^2{2x})$.

$3\sin^2{2x} = 2(\sin^2{2x} + \cos^2{2x}) + \sin{2x} \cos{2x}$

$3\sin^2{2x} = 2\sin^2{2x} + 2\cos^2{2x} + \sin{2x} \cos{2x}$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$3\sin^2{2x} - 2\sin^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0$

$\sin^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $\cos{2x}$ быть равным нулю. Если $\cos{2x} = 0$, то из уравнения следует, что $\sin^2{2x} = 0$, то есть $\sin{2x}=0$. Однако $\sin{2x}$ и $\cos{2x}$ не могут быть одновременно равны нулю, так как $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$. Следовательно, $\cos{2x} \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2{2x}$:

$\frac{\sin^2{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{\sin{2x} \cos{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{2\cos^2{2x}}{\cos^2{2x}} = 0$

$\tan^2{2x} - \tan{2x} - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan{2x}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

а) $\tan{2x} = 2 \implies 2x = \arctan(2) + \pi n, n \in Z \implies x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

б) $\tan{2x} = -1 \implies 2x = \arctan(-1) + \pi k, k \in Z \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}, x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in Z$.

2) Исходное уравнение: $2\sin^2{4x} - 4 + 4\cos^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$.

Используем основное тригонометрическое тождество, заменив $4$ на $4(\sin^2{4x} + \cos^2{4x})$.

$2\sin^2{4x} - 4(\sin^2{4x} + \cos^2{4x}) + 4\cos^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$

$2\sin^2{4x} - 4\sin^2{4x} - 4\cos^2{4x} + 4\cos^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$

$-2\sin^2{4x} = 3\sin{4x} \cos{4x}$

Перенесем все члены в одну часть:

$2\sin^2{4x} + 3\sin{4x} \cos{4x} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin{4x}$ за скобки:

$\sin{4x}(2\sin{4x} + 3\cos{4x}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $\sin{4x} = 0 \implies 4x = \pi n, n \in Z \implies x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.

б) $2\sin{4x} + 3\cos{4x} = 0$. Это однородное уравнение первой степени. Разделим его на $\cos{4x}$ (мы можем это сделать, так как если $\cos{4x}=0$, то из уравнения следует, что и $\sin{4x}=0$, что невозможно).

$2\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}} + 3\frac{\cos{4x}}{\cos{4x}} = 0$

$2\tan{4x} + 3 = 0$

$\tan{4x} = -\frac{3}{2}$

$4x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi k, k \in Z \implies 4x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi k$

$x = -\frac{\arctan(\frac{3}{2})}{4} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{3}{2}) + \frac{\pi k}{4}, n, k \in Z$.

3) Исходное уравнение: $\cos^2x - 7\sin x + \sin x \cos x - 7\cos x = 0$.

Сгруппируем слагаемые методом разложения на множители:

$(\cos^2x + \sin x \cos x) - (7\sin x + 7\cos x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$\cos x(\cos x + \sin x) - 7(\sin x + \cos x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ за скобки:

$(\cos x + \sin x)(\cos x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $\cos x - 7 = 0 \implies \cos x = 7$. Данное уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1; 1]$.

б) $\cos x + \sin x = 0$. Разделим обе части на $\cos x$ (это возможно, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству).

$1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$1 + \tan x = 0$

$\tan x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.