Номер 43.12, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1) $y - 4x - 1$, 2) $y - x + 31$, 3) $y - 9x - 10$.

43.12. Найдите уравнения касательных к графику функции $y=1-\frac{1}{x}$,

которые параллельны прямой:

1) $y = x + 2$;

2) $y = 4x - $

3) $y = 0,5x - 10$.

Общий алгоритм нахождения уравнений касательных, параллельных заданной прямой, выглядит следующим образом:

1. Найти производную функции $f(x)$, к графику которой строятся касательные. В нашем случае $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$.

2. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

3. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Поэтому, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$, нужно приравнять значение производной $f'(x_0)$ к угловому коэффициенту $k$ данной прямой.

4. После нахождения $x_0$ нужно вычислить соответствующую ординату точки касания: $y_0 = f(x_0)$.

5. Подставить найденные значения $x_0$, $y_0$ и $k$ в уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$. Запишем ее как $f(x) = 1 - x^{-1}$.

Тогда производная будет равна: $f'(x) = (1 - x^{-1})' = 0 - (-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

1) Касательные, параллельные прямой $y = x + 2$

Угловой коэффициент данной прямой $k = 1$. Касательная должна иметь такой же угловой коэффициент. Найдем абсциссу(ы) точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 1$:

$\frac{1}{x_0^2} = 1$

$x_0^2 = 1$

Отсюда получаем две возможные абсциссы: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Случай 1: $x_0 = 1$

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = 1 - \frac{1}{1} = 0$.

Уравнение касательной: $y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$, что дает $y = x - 1$.

Случай 2: $x_0 = -1$

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(-1) = 1 - \frac{1}{-1} = 1 + 1 = 2$.

Уравнение касательной: $y - 2 = 1 \cdot (x - (-1))$, что дает $y - 2 = x + 1$, или $y = x + 3$.

Ответ: $y = x - 1$ и $y = x + 3$.

2) Касательные, параллельные прямой $y = 4x - 3$

Угловой коэффициент данной прямой $k = 4$. Найдем $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 4$:

$\frac{1}{x_0^2} = 4$

$x_0^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $x_0 = \frac{1}{2}$ и $x_0 = -\frac{1}{2}$.

Случай 1: $x_0 = \frac{1}{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{1/2} = 1 - 2 = -1$.

Уравнение касательной: $y - (-1) = 4(x - \frac{1}{2})$, то есть $y + 1 = 4x - 2$, или $y = 4x - 3$.

Случай 2: $x_0 = -\frac{1}{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{-1/2} = 1 + 2 = 3$.

Уравнение касательной: $y - 3 = 4(x - (-\frac{1}{2}))$, то есть $y - 3 = 4x + 2$, или $y = 4x + 5$.

Ответ: $y = 4x - 3$ и $y = 4x + 5$.

3) Касательные, параллельные прямой $y = 0,5x - 10$

Угловой коэффициент данной прямой $k = 0,5 = \frac{1}{2}$. Найдем $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{x_0^2} = \frac{1}{2}$

$x_0^2 = 2$

Отсюда $x_0 = \sqrt{2}$ и $x_0 = -\sqrt{2}$.

Случай 1: $x_0 = \sqrt{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(\sqrt{2}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение касательной: $y - (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0,5(x - \sqrt{2})$.

$y = 0,5x - 0,5\sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 - \sqrt{2}$.

Случай 2: $x_0 = -\sqrt{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(-\sqrt{2}) = 1 - \frac{1}{-\sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение касательной: $y - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0,5(x - (-\sqrt{2}))$.

$y = 0,5x + 0,5\sqrt{2} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $y = 0,5x + 1 - \sqrt{2}$ и $y = 0,5x + 1 + \sqrt{2}$.