Номер 43.15, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Рис. 43.5

43.15. Составьте уравнения касательных к графику функции $y = 3 + 5x - 2x^3$, образующих с положительным направлением оси $Ox$ угол в $135^\circ$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом наклона $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox, по формуле $k = \tan(\alpha)$. По условию задачи, угол $\alpha = 135^\circ$.

Найдем угловой коэффициент касательных:

$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = 3 + 5x - 2x^3$:

$y' = f'(x) = (3 + 5x - 2x^3)' = 5 - 6x^2$.

Чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$, приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту $k = -1$:

$f'(x_0) = -1$

$5 - 6x_0^2 = -1$

$6x_0^2 = 5 + 1$

$6x_0^2 = 6$

$x_0^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$. Следовательно, существуют две касательные, удовлетворяющие условию.

Теперь найдем ординаты $y_0$ для каждой точки касания и составим уравнения касательных.

1. Для точки с абсциссой $x_0 = 1$:

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 1$ в исходную функцию:

$y_0 = 3 + 5(1) - 2(1)^3 = 3 + 5 - 2 = 6$.

Точка касания: $(1, 6)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(1, 6)$ и угловой коэффициент $k = -1$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 6 = -1(x - 1)$

$y - 6 = -x + 1$

$y = -x + 7$.

2. Для точки с абсциссой $x_0 = -1$:

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = -1$ в исходную функцию:

$y_0 = 3 + 5(-1) - 2(-1)^3 = 3 - 5 - 2(-1) = 3 - 5 + 2 = 0$.

Точка касания: $(-1, 0)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(-1, 0)$ и угловой коэффициент $k = -1$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 0 = -1(x - (-1))$

$y = -1(x + 1)$

$y = -x - 1$.

Ответ: $y = -x + 7$ и $y = -x - 1$.