Страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

10.2. Составьте сложные функции $f(3x)$, $f(2x-1)$, $f(2x^2-1)$, если:

1) $f(x) = x-1$;

2) $f(x) = 3 - 2x^2$;

3) $f(x) = 3x - x^2$.

Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ необходимо в выражение для функции $f(x)$ подставить вместо аргумента $x$ выражение для функции $g(x)$.

1) Дана функция $f(x) = x - 1$.

Чтобы найти $f(3x)$, подставляем $3x$ вместо $x$:

$f(3x) = (3x) - 1 = 3x - 1$

Чтобы найти $f(2x-1)$, подставляем $2x-1$ вместо $x$:

$f(2x-1) = (2x - 1) - 1 = 2x - 2$

Чтобы найти $f(2x^2-1)$, подставляем $2x^2-1$ вместо $x$:

$f(2x^2-1) = (2x^2 - 1) - 1 = 2x^2 - 2$

Ответ: $f(3x) = 3x - 1$; $f(2x-1) = 2x - 2$; $f(2x^2-1) = 2x^2 - 2$.

2) Дана функция $f(x) = 3 - 2x^2$.

Чтобы найти $f(3x)$, подставляем $3x$ вместо $x$:

$f(3x) = 3 - 2(3x)^2 = 3 - 2(9x^2) = 3 - 18x^2$

Чтобы найти $f(2x-1)$, подставляем $2x-1$ вместо $x$:

$f(2x-1) = 3 - 2(2x - 1)^2 = 3 - 2((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 3 - 2(4x^2 - 4x + 1) = 3 - 8x^2 + 8x - 2 = -8x^2 + 8x + 1$

Чтобы найти $f(2x^2-1)$, подставляем $2x^2-1$ вместо $x$:

$f(2x^2-1) = 3 - 2(2x^2 - 1)^2 = 3 - 2((2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot 1 + 1^2) = 3 - 2(4x^4 - 4x^2 + 1) = 3 - 8x^4 + 8x^2 - 2 = -8x^4 + 8x^2 + 1$

Ответ: $f(3x) = 3 - 18x^2$; $f(2x-1) = -8x^2 + 8x + 1$; $f(2x^2-1) = -8x^4 + 8x^2 + 1$.

3) Дана функция $f(x) = 3x - x^2$.

Чтобы найти $f(3x)$, подставляем $3x$ вместо $x$:

$f(3x) = 3(3x) - (3x)^2 = 9x - 9x^2$

Чтобы найти $f(2x-1)$, подставляем $2x-1$ вместо $x$:

$f(2x-1) = 3(2x - 1) - (2x - 1)^2 = (6x - 3) - (4x^2 - 4x + 1) = 6x - 3 - 4x^2 + 4x - 1 = -4x^2 + 10x - 4$

Чтобы найти $f(2x^2-1)$, подставляем $2x^2-1$ вместо $x$:

$f(2x^2-1) = 3(2x^2 - 1) - (2x^2 - 1)^2 = (6x^2 - 3) - (4x^4 - 4x^2 + 1) = 6x^2 - 3 - 4x^4 + 4x^2 - 1 = -4x^4 + 10x^2 - 4$

Ответ: $f(3x) = 9x - 9x^2$; $f(2x-1) = -4x^2 + 10x - 4$; $f(2x^2-1) = -4x^4 + 10x^2 - 4$.

10.3. Дано равенство $y = \frac{x^2}{1+x^2}$. Выразите из этого равенства $x$ через $y$, если:

1) $x \ge 0$;

2) $x \le 0$.

Чтобы выразить $x$ через $y$ из равенства $y = \frac{x^2}{1+x^2}$, выполним следующие преобразования. Сначала умножим обе части уравнения на знаменатель $(1+x^2)$, который всегда положителен:

$y(1+x^2) = x^2$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $x^2$, в одной части уравнения:

$y + yx^2 = x^2$

$y = x^2 - yx^2$

Вынесем $x^2$ за скобки и выразим его. Заметим, что $y \neq 1$, так как в противном случае равенство $1+x^2 = x^2$ привело бы к неверному утверждению $1=0$.

$y = x^2(1-y)$

$x^2 = \frac{y}{1-y}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных решения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{y}{1-y}}$

Далее рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $x \ge 0$;

В этом случае значение $x$ должно быть неотрицательным. Поскольку выражение $\sqrt{\frac{y}{1-y}}$ всегда неотрицательно (так как $0 \le y < 1$), мы должны выбрать решение со знаком «+».

Ответ: $x = \sqrt{\frac{y}{1-y}}$

2) $x \le 0$.

В этом случае значение $x$ должно быть неположительным. Чтобы удовлетворить этому условию, мы должны выбрать решение со знаком «-».

Ответ: $x = -\sqrt{\frac{y}{1-y}}$

10.4. Для функции, заданной табличным способом, запишите ее область определения и выясните, имеет ли эта функция в своей области определения обратную функцию (табл. 10.1, 10.2). Если да, то постройте график обратной функции.

Таблица 10.1

x 1 2 3 5 8 9

y 3 4 5 7 10 11

Таблица 10.2

x 1 2 3 5 8 9

y 4 5 6 7 5 7

Таблица 10.1

Для функции, заданной таблицей 10.1, определим ее свойства.

1. Область определения.

Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Согласно таблице, это множество: $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$.

2. Существование обратной функции.

Функция имеет обратную на своей области определения, если она является взаимно-однозначной (инъективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует уникальное значение функции $y$, и наоборот. Для функции, заданной таблично, это условие выполняется, если все значения $y$ в таблице различны.

Рассмотрим значения $y$ из таблицы: $\{3, 4, 5, 7, 10, 11\}$.

Все эти значения уникальны. Следовательно, функция является взаимно-однозначной, и для нее существует обратная функция.

3. Построение графика обратной функции.

Обратная функция $y^{-1}$ получается путем замены $x$ на $y$ и $y$ на $x$ в каждой паре значений исходной функции.Исходные точки графика: $(1, 3), (2, 4), (3, 5), (5, 7), (8, 10), (9, 11)$.

Точки графика обратной функции: $(3, 1), (4, 2), (5, 3), (7, 5), (10, 8), (11, 9)$.

График обратной функции представляет собой набор этих точек на координатной плоскости.

Ответ: Область определения $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$. Обратная функция существует. Ее график — это множество точек с координатами: (3, 1), (4, 2), (5, 3), (7, 5), (10, 8), (11, 9).

Таблица 10.2

Для функции, заданной таблицей 10.2, определим ее свойства.

1. Область определения.

Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$. Согласно таблице: $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$.

2. Существование обратной функции.

Проверим, является ли функция взаимно-однозначной. Для этого все значения $y$ должны быть различны.

Рассмотрим значения $y$ из таблицы: $\{4, 5, 6, 7, 5, 7\}$.

В этом множестве есть повторяющиеся значения:

• Значению $y=5$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=2$ и $x=8$.
• Значению $y=7$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=5$ и $x=9$.

Ответ: Область определения $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$. Обратная функция на данной области определения не существует.

10.5. Являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно-обратными, если:

1) $f(x) = 3x + 5$, $g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$;

2) $f(x) = \frac{3}{5} - 6x$, $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x$;

3) $f(x) = \frac{1}{7}x - 3$, $g(x) = 7x + 3?$

Чтобы определить, являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно-обратными, нужно найти функцию, обратную к одной из них (например, к $f(x)$), и проверить, совпадает ли она с другой функцией ($g(x)$). Обратную функцию $f^{-1}(x)$ находят, выражая переменную $x$ через $y$ в уравнении $y = f(x)$, а затем формально меняя местами $x$ и $y$.

1) $f(x) = 3x + 5$, $g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

Найдем функцию, обратную к $f(x)$.

1. Запишем функцию как $y = 3x + 5$.

2. Выразим $x$ через $y$:

$3x = y - 5$

$x = \frac{y - 5}{3}$

$x = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3}$

3. Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию $y = f^{-1}(x)$:

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

Следовательно, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$.

Сравнивая $f^{-1}(x)$ и $g(x)$, видим, что они совпадают: $f^{-1}(x) = g(x)$.

Ответ: да.

2) $f(x) = \frac{3}{5} - 6x$, $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x$

Найдем функцию, обратную к $f(x)$.

1. Запишем функцию как $y = \frac{3}{5} - 6x$.

2. Выразим $x$ через $y$:

$6x = \frac{3}{5} - y$

$x = \frac{1}{6}(\frac{3}{5} - y)$

$x = \frac{3}{30} - \frac{1}{6}y$

$x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}y$

3. Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$

Обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Переведем десятичную дробь в функции $g(x)$ в обыкновенную: $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Сравнивая $f^{-1}(x)$ и $g(x)$, видим, что они совпадают: $f^{-1}(x) = g(x)$.

Ответ: да.

3) $f(x) = \frac{1}{7}x - 3$, $g(x) = 7x + 3$

Найдем функцию, обратную к $f(x)$.

1. Запишем функцию как $y = \frac{1}{7}x - 3$.

2. Выразим $x$ через $y$:

$\frac{1}{7}x = y + 3$

$x = 7(y + 3)$

$x = 7y + 21$

3. Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = 7x + 21$

Обратная функция $f^{-1}(x) = 7x + 21$.

Сравнивая $f^{-1}(x)$ и $g(x)$, видим, что они не совпадают, так как $7x + 21 \neq 7x + 3$.

Ответ: нет.

10.6. Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном чертеже графики этих взаимно-обратных функций:

1) $y = 5x + 2;$

2) $y = \frac{1}{3}x - 4;$

3) $y = \frac{3}{x-1};$

4) $y = \frac{2}{x+4}.$

1) Дана функция $y = 5x + 2$.

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = 5y + 2$

Теперь выразим $y$ из этого уравнения, чтобы получить функцию $y$ от $x$:

$5y = x - 2$

$y = \frac{x-2}{5}$ или $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$.

Это и есть искомая обратная функция.

Для построения графиков на одном чертеже, построим графики функций $y = 5x + 2$ и $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$. Оба графика являются прямыми линиями. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для прямой $y = 5x + 2$:

при $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.

при $x=-1$, $y=5(-1)+2 = -3$. Точка $(-1, -3)$.

Для прямой $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$:

при $x=2$, $y=\frac{1}{5}(2)-\frac{2}{5}=0$. Точка $(2, 0)$.

при $x=-3$, $y=\frac{1}{5}(-3)-\frac{2}{5}=-1$. Точка $(-3, -1)$.

Построив эти две прямые на координатной плоскости, а также прямую $y=x$, можно увидеть, что графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$. Графики функций $y=5x+2$ и $y=\frac{1}{5}x-\frac{2}{5}$ - это прямые, проходящие через указанные выше точки и симметричные относительно прямой $y=x$.

2) Дана функция $y = \frac{1}{3}x - 4$.

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$: $x = \frac{1}{3}y - 4$.

Выразим $y$:

$x + 4 = \frac{1}{3}y$

$y = 3(x+4)$

$y = 3x + 12$.

Это обратная функция.

Для построения графиков функций $y = \frac{1}{3}x - 4$ и $y = 3x + 12$ найдем по две точки для каждой прямой.

Для $y = \frac{1}{3}x - 4$:

при $x=0$, $y=-4$. Точка $(0, -4)$.

при $x=3$, $y=\frac{1}{3}(3)-4 = -3$. Точка $(3, -3)$.

Для $y = 3x + 12$:

при $x=-4$, $y=3(-4)+12=0$. Точка $(-4, 0)$.

при $x=-3$, $y=3(-3)+12=3$. Точка $(-3, 3)$.

Построив эти две прямые и прямую $y=x$ на одной координатной плоскости, можно убедиться, что графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 3x + 12$. Графики функций $y=\frac{1}{3}x-4$ и $y=3x+12$ - это прямые, проходящие через указанные выше точки и симметричные относительно прямой $y=x$.

3) Дана функция $y = \frac{3}{x-1}$.

Найдем обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{3}{y-1}$.

Выразим $y$. Область определения исходной функции $x \neq 1$, область значений $y \neq 0$. Для обратной функции они поменяются местами. Выражаем $y$ при $x \neq 0$:

$x(y-1) = 3$

$y-1 = \frac{3}{x}$

$y = \frac{3}{x} + 1$.

Это обратная функция.

Для построения графиков $y = \frac{3}{x-1}$ и $y = \frac{3}{x} + 1$ заметим, что оба являются гиперболами.

График $y = \frac{3}{x-1}$ получается из графика $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо. Его асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=0$.

Несколько точек для $y = \frac{3}{x-1}$: $(2, 3)$, $(4, 1)$, $(0, -3)$, $(-2, -1)$.

График $y = \frac{3}{x} + 1$ получается из графика $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 1 единицу вверх. Его асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=1$.

Несколько точек для $y = \frac{3}{x} + 1$: $(3, 2)$, $(1, 4)$, $(-3, 0)$, $(-1, -2)$.

Нанеся точки и асимптоты на координатную плоскость и проведя через них ветви гипербол, мы увидим, что графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{3}{x} + 1$. Графики являются гиперболами, симметричными относительно прямой $y=x$.

4) Дана функция $y = \frac{2}{x+4}$.

Находим обратную функцию, поменяв $x$ и $y$: $x = \frac{2}{y+4}$.

Выражаем $y$. Область определения исходной функции $x \neq -4$, область значений $y \neq 0$. Для обратной функции $x \neq 0$, $y \neq -4$. Выражаем $y$:

$x(y+4) = 2$

$y+4 = \frac{2}{x}$

$y = \frac{2}{x} - 4$.

Это обратная функция.

Строим графики функций $y = \frac{2}{x+4}$ и $y = \frac{2}{x} - 4$. Оба графика - гиперболы.

График $y = \frac{2}{x+4}$ это график $y=\frac{2}{x}$, сдвинутый на 4 единицы влево. Асимптоты: $x=-4$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).

Несколько точек для $y = \frac{2}{x+4}$: $(-3, 2)$, $(-2, 1)$, $(0, 0.5)$, $(-5, -2)$.

График $y = \frac{2}{x} - 4$ это график $y=\frac{2}{x}$, сдвинутый на 4 единицы вниз. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=-4$ (горизонтальная).

Несколько точек для $y = \frac{2}{x} - 4$: $(2, -3)$, $(1, -2)$, $(0.5, 0)$, $(-2, -5)$.

Построив графики на одном чертеже, мы видим их симметрию относительно прямой $y=x$. Асимптоты одной функции также симметричны асимптотам другой относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{2}{x} - 4$. Графики являются гиперболами, симметричными относительно прямой $y=x$.

10.7. Составьте сложные функции $f(g(x)), f(f(x)), g(g(x))$, если:

1) $f(x) = x-1, g(x) = \sqrt{3x-2}$;

2) $f(x) = 3-2x^3, g(x) = \frac{1}{x-2}$;

3) $f(x) = \frac{2x}{3x-1}, g(x) = \frac{1}{x^2+2}$;

4) $f(x) = \sqrt{x^3-2x}, g(x) = \frac{1}{x^3}$;

5) $f(x) = \sin3x + 5x, g(x) = x^2-1$;

6) $f(x) = \cos5x - 6, g(x) = \operatorname{tg}7x$.

1) Для функций $f(x) = x-1$ и $g(x) = \sqrt{3x-2}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\sqrt{3x-2}) = \sqrt{3x-2} - 1$

$f(f(x)) = f(x-1) = (x-1) - 1 = x-2$

$g(g(x)) = g(\sqrt{3x-2}) = \sqrt{3(\sqrt{3x-2}) - 2} = \sqrt{3\sqrt{3x-2} - 2}$

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{3x-2} - 1$; $f(f(x)) = x-2$; $g(g(x)) = \sqrt{3\sqrt{3x-2} - 2}$.

2) Для функций $f(x) = 3-2x^3$ и $g(x) = \frac{1}{x-2}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x-2}) = 3 - 2(\frac{1}{x-2})^3 = 3 - \frac{2}{(x-2)^3}$

$f(f(x)) = f(3-2x^3) = 3 - 2(3-2x^3)^3$

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x-2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x-2}) - 2} = \frac{1}{\frac{1-2(x-2)}{x-2}} = \frac{x-2}{1-2x+4} = \frac{x-2}{5-2x}$

Ответ: $f(g(x)) = 3 - \frac{2}{(x-2)^3}$; $f(f(x)) = 3 - 2(3-2x^3)^3$; $g(g(x)) = \frac{x-2}{5-2x}$.

3) Для функций $f(x) = \frac{2x}{3x-1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2+2}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^2+2}) = \frac{2(\frac{1}{x^2+2})}{3(\frac{1}{x^2+2}) - 1} = \frac{\frac{2}{x^2+2}}{\frac{3-(x^2+2)}{x^2+2}} = \frac{2}{1-x^2}$

$f(f(x)) = f(\frac{2x}{3x-1}) = \frac{2(\frac{2x}{3x-1})}{3(\frac{2x}{3x-1}) - 1} = \frac{\frac{4x}{3x-1}}{\frac{6x-(3x-1)}{3x-1}} = \frac{4x}{3x+1}$

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^2+2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^2+2})^2 + 2} = \frac{1}{\frac{1+2(x^2+2)^2}{(x^2+2)^2}} = \frac{(x^2+2)^2}{1+2(x^2+2)^2}$

Ответ: $f(g(x)) = \frac{2}{1-x^2}$; $f(f(x)) = \frac{4x}{3x+1}$; $g(g(x)) = \frac{(x^2+2)^2}{1+2(x^2+2)^2}$.

4) Для функций $f(x) = \sqrt{x^3-2x}$ и $g(x) = \frac{1}{x^3}$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^3}) = \sqrt{(\frac{1}{x^3})^3 - 2(\frac{1}{x^3})} = \sqrt{\frac{1}{x^9} - \frac{2}{x^3}} = \sqrt{\frac{1-2x^6}{x^9}}$

$f(f(x)) = f(\sqrt{x^3-2x}) = \sqrt{(\sqrt{x^3-2x})^3 - 2\sqrt{x^3-2x}} = \sqrt{(x^3-2x)\sqrt{x^3-2x} - 2\sqrt{x^3-2x}}$

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^3}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^3})^3} = \frac{1}{\frac{1}{x^9}} = x^9$

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\frac{1-2x^6}{x^9}}$; $f(f(x)) = \sqrt{(x^3-2x)\sqrt{x^3-2x} - 2\sqrt{x^3-2x}}$; $g(g(x)) = x^9$.

5) Для функций $f(x) = \sin(3x) + 5x$ и $g(x) = x^2-1$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(x^2-1) = \sin(3(x^2-1)) + 5(x^2-1) = \sin(3x^2-3) + 5x^2 - 5$

$f(f(x)) = f(\sin(3x) + 5x) = \sin(3(\sin(3x) + 5x)) + 5(\sin(3x) + 5x) = \sin(3\sin(3x)+15x) + 5\sin(3x) + 25x$

$g(g(x)) = g(x^2-1) = (x^2-1)^2 - 1 = x^4 - 2x^2 + 1 - 1 = x^4 - 2x^2$

Ответ: $f(g(x)) = \sin(3x^2-3) + 5x^2 - 5$; $f(f(x)) = \sin(3\sin(3x)+15x) + 5\sin(3x) + 25x$; $g(g(x)) = x^4 - 2x^2$.

6) Для функций $f(x) = \cos(5x) - 6$ и $g(x) = \tan(7x)$ найдем сложные функции:

$f(g(x)) = f(\tan(7x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$

$f(f(x)) = f(\cos(5x)-6) = \cos(5(\cos(5x)-6)) - 6 = \cos(5\cos(5x)-30) - 6$

$g(g(x)) = g(\tan(7x)) = \tan(7\tan(7x)) $

Ответ: $f(g(x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$; $f(f(x)) = \cos(5\cos(5x)-30) - 6$; $g(g(x)) = \tan(7\tan(7x))$.

10.8. Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе:

1) $y = x$;

2) $y = -x$;

3) $y = 2x$;

4) $y = 1 - x$?

Функция является обратной по отношению к самой себе, если ее композиция с самой собой дает тождественную функцию, то есть $f(f(x)) = x$. Эквивалентное условие: если найти для функции $y=f(x)$ обратную, поменяв местами $x$ и $y$ и выразив $y$, то полученная функция будет совпадать с исходной. Проверим каждую из заданных функций.

1) Дана функция $y = x$. Найдем обратную к ней. Для этого поменяем местами переменные $x$ и $y$: $x = y$. Выражая $y$ из этого уравнения, получаем $y = x$. Полученная функция полностью совпадает с исходной. Следовательно, функция $y=x$ является обратной самой себе. Ответ: да.

2) Дана функция $y = -x$. Найдем обратную функцию. Меняем местами $x$ и $y$: $x = -y$. Чтобы выразить $y$, умножим обе части уравнения на $-1$: $y = -x$. Полученная функция совпадает с исходной. Таким образом, функция $y=-x$ является обратной самой себе. Ответ: да.

3) Дана функция $y = 2x$. Найдем обратную функцию. Меняем местами $x$ и $y$: $x = 2y$. Выразим $y$, разделив обе части на 2: $y = \frac{x}{2}$. Полученная функция $y = \frac{x}{2}$ не совпадает с исходной функцией $y = 2x$. Следовательно, данная функция не является обратной самой себе. Ответ: нет.

4) Дана функция $y = 1 - x$. Найдем обратную функцию. Меняем местами $x$ и $y$: $x = 1 - y$. Выразим $y$ из этого уравнения. Перенесем $y$ в левую часть, а $x$ в правую: $y = 1 - x$. Полученная функция совпадает с исходной. Следовательно, функция $y = 1 - x$ является обратной самой себе. Ответ: да.

10.9. Совпадает ли график функции с графиком данной обратной функции:

1) $y = \frac{7}{x}$;

2) $y = -\frac{5}{x}$;

3) $y = \frac{7}{x-2}$;

4) $y = 5-\frac{8}{x}$?

Чтобы определить, совпадает ли график функции с графиком обратной ей функции, необходимо найти для каждой функции обратную и сравнить ее с исходной. Графики совпадают только в том случае, если исходная и обратная функции тождественно равны. Алгоритм нахождения обратной функции для $y=f(x)$:

1. В уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$.

2. Из получившегося уравнения выразить $y$ через $x$.

1) $y=\frac{7}{x}$

Дана функция $y=\frac{7}{x}$. Для нахождения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$, получим уравнение $x=\frac{7}{y}$.

Выразим $y$ из этого уравнения. Для этого умножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что соответствует области определения исходной функции) и разделим на $x$ (при условии $x \neq 0$, что соответствует области значений исходной функции):

$xy = 7$

$y = \frac{7}{x}$

Обратная функция $y=\frac{7}{x}$ полностью совпадает с исходной функцией.

Ответ: да, совпадает.

2) $y=-\frac{5}{x}$

Дана функция $y=-\frac{5}{x}$. Меняем местами переменные: $x=-\frac{5}{y}$.

Выражаем $y$:

$xy = -5$

$y = -\frac{5}{x}$

Обратная функция $y=-\frac{5}{x}$ полностью совпадает с исходной функцией.

Ответ: да, совпадает.

3) $y=\frac{7}{x-2}$

Дана функция $y=\frac{7}{x-2}$. Меняем местами переменные: $x=\frac{7}{y-2}$.

Выражаем $y$:

$x(y-2) = 7$

$y-2 = \frac{7}{x}$

$y = \frac{7}{x} + 2$

Обратная функция $y = \frac{7}{x} + 2$ не совпадает с исходной функцией $y=\frac{7}{x-2}$.

Ответ: нет, не совпадает.

4) $y=5-\frac{8}{x}$

Дана функция $y=5-\frac{8}{x}$. Меняем местами переменные: $x=5-\frac{8}{y}$.

Выражаем $y$:

$x-5 = -\frac{8}{y}$

$5-x = \frac{8}{y}$

$y(5-x) = 8$

$y = \frac{8}{5-x}$

Обратная функция $y = \frac{8}{5-x}$ не совпадает с исходной функцией $y=5-\frac{8}{x}$.

Ответ: нет, не совпадает.

1. Какое правило нахождения производных использовано для нахождения производной тангенса и котангенса?

2. Производные каких функций надо знать для вывода формул производных тангенса и котангенса?

3. При каких значениях переменной $x$ производные $tgx$ и $ctgx$ не существуют?

1. Для нахождения производных тангенса и котангенса используется правило нахождения производной частного (дроби). Это правило применяется потому, что функции тангенса и котангенса можно представить в виде отношения двух других функций: $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Формула производной частного для функций $u(x)$ и $v(x)$ имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Применим ее для вывода производной тангенса:

$(\text{tg}\,x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Аналогично для котангенса:

$(\text{ctg}\,x)' = (\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{(\cos x)'\sin x - \cos x(\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: Правило нахождения производной частного (дроби).

2. Чтобы вывести формулы производных тангенса и котангенса с помощью правила производной частного, необходимо знать производные тех функций, из которых состоят тангенс и котангенс. Это функции синуса и косинуса.

Необходимо знать следующие табличные производные:

1. Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

2. Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Эти формулы подставляются в числитель формулы для производной частного.

Ответ: Производные функций синуса ($\sin x$) и косинуса ($\cos x$).

3. Производная функции не существует в тех точках, где сама функция не определена. Область определения производной функции совпадает с областью определения самой функции.

1. Функция $y = \text{tg}\,x$ и ее производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ не существуют, когда знаменатель в их определении равен нулю. То есть, при $\cos x = 0$. Это происходит при значениях аргумента $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

2. Функция $y = \text{ctg}\,x$ и ее производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ не существуют, когда знаменатель в их определении равен нулю. То есть, при $\sin x = 0$. Это происходит при значениях аргумента $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Производная $\text{tg}\,x$ не существует при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Производная $\text{ctg}\,x$ не существует при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

44.1. Найдите производную функции:

1) $f(x)=2x+\sin x-3;$

2) $f(x)=\sqrt{x}-\cos x+2;$

3) $f(x)=\cos x+\sin x-\sqrt{2};$

4) $f(x)=x^3-3\sin x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = 2x + \sin x - 3$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных, а также таблицей производных элементарных функций.

$f'(x) = (2x + \sin x - 3)' = (2x)' + (\sin x)' - (3)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от линейной функции $2x$ равна коэффициенту при $x$, то есть $(2x)' = 2$.
• Производная от функции синуса равна косинусу: $(\sin x)' = \cos x$.
• Производная от константы (числа $-3$) равна нулю: $(3)' = 0$.

$f'(x) = 2 + \cos x - 0 = 2 + \cos x$.

Ответ: $f'(x) = 2 + \cos x$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x} - \cos x + 2$ применим правило дифференцирования суммы и разности. Для удобства представим корень из $x$ в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$f'(x) = (\sqrt{x} - \cos x + 2)' = (x^{1/2})' - (\cos x)' + (2)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от степенной функции $x^{1/2}$ находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$: $(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Производная от функции косинуса равна минус синусу: $(\cos x)' = -\sin x$.
• Производная от константы $2$ равна нулю: $(2)' = 0$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - (-\sin x) + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = \cos x + \sin x - \sqrt{2}$ используем правило дифференцирования суммы и разности.

$f'(x) = (\cos x + \sin x - \sqrt{2})' = (\cos x)' + (\sin x)' - (\sqrt{2})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от функции косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
• Производная от функции синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
• $\sqrt{2}$ является константой, поэтому ее производная равна нулю: $(\sqrt{2})' = 0$.

$f'(x) = -\sin x + \cos x - 0 = \cos x - \sin x$.

Ответ: $f'(x) = \cos x - \sin x$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 - 3\sin x$ применим правило дифференцирования разности и правило вынесения константы за знак производной.

$f'(x) = (x^3 - 3\sin x)' = (x^3)' - (3\sin x)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от степенной функции $x^3$ находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
• Для нахождения производной от $3\sin x$ выносим константу $3$ за знак производной: $(3\sin x)' = 3 \cdot (\sin x)' = 3\cos x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3\cos x$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - 3\cos x$.

44.2. Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2\cos x + \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

2) $f(x) = 2x - \cos x + 3\sin x, x_0 = \frac{\pi}{4};$

3) $f(x) = x^2 - 2\cos x + \sin x, x_0 = \frac{3\pi}{4};$

4) $f(x) = \frac{2}{x} + 2\cos x + 4\sin x, x_0 = \frac{2\pi}{3}.$

1)Для функции $f(x) = 2\cos x + \sin x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции $f'(x)$.

Используем правила дифференцирования: $(u+v)' = u' + v'$, $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, и производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$, $(\sin x)' = \cos x$.

$f'(x) = (2\cos x + \sin x)' = 2(\cos x)' + (\sin x)' = 2(-\sin x) + \cos x = -2\sin x + \cos x$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{3}$ в найденную производную:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3})$.

Используем значения синуса и косинуса для данного угла: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = -\sqrt{3} + \frac{1}{2}$.

Ответ: $-\sqrt{3} + \frac{1}{2}$.

2)Для функции $f(x) = 2x - \cos x + 3\sin x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x - \cos x + 3\sin x)' = (2x)' - (\cos x)' + (3\sin x)'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = 2 - (-\sin x) + 3\cos x = 2 + \sin x + 3\cos x$.

Подставляем значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 + \sin(\frac{\pi}{4}) + 3\cos(\frac{\pi}{4})$.

Значения синуса и косинуса для $\frac{\pi}{4}$ равны: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2 + 2\sqrt{2}$.

3)Для функции $f(x) = x^2 - 2\cos x + \sin x$ в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Находим производную функции $f(x)$, используя производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и тригонометрических функций:

$f'(x) = (x^2 - 2\cos x + \sin x)' = (x^2)' - 2(\cos x)' + (\sin x)' = 2x - 2(-\sin x) + \cos x = 2x + 2\sin x + \cos x$.

Подставляем значение $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 2(\frac{3\pi}{4}) + 2\sin(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{3\pi}{4})$.

Находим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{2} + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi + \sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi + \sqrt{2}}{2}$.

4)Для функции $f(x) = \frac{2}{x} + 2\cos x + 4\sin x$ в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Находим производную функции $f(x)$. Производная от $\frac{2}{x}$ равна $(\frac{2}{x})' = (2x^{-1})' = 2(-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

$f'(x) = (\frac{2}{x} + 2\cos x + 4\sin x)' = -\frac{2}{x^2} - 2\sin x + 4\cos x$.

Подставляем значение $x_0 = \frac{2\pi}{3}$:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2}{(\frac{2\pi}{3})^2} - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) + 4\cos(\frac{2\pi}{3})$.

Вычисляем значения: $(\frac{2\pi}{3})^2 = \frac{4\pi^2}{9}$, $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2}{4\pi^2/9} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{2}) = -2 \cdot \frac{9}{4\pi^2} - \sqrt{3} - 2 = -\frac{9}{2\pi^2} - \sqrt{3} - 2$.

Ответ: $-\frac{9}{2\pi^2} - \sqrt{3} - 2$.

44.3. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2\cos x + 3\operatorname{tg}x;$ 2) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg}x;$

3) $f(x) = \cos x - 5\operatorname{tg}x + x^{-3};$ 4) $f(x) = 2\operatorname{tg}x + 3\operatorname{ctg}x + \frac{1}{x^3}.$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = 2\cos x + 3\text{tg}x$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом вынесения константы за знак производной:

$f'(x) = (2\cos x + 3\text{tg}x)' = (2\cos x)' + (3\text{tg}x)' = 2(\cos x)' + 3(\text{tg}x)'$.

Теперь применим формулы производных для тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$f'(x) = 2(-\sin x) + 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = -2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}$.

2) Для функции $f(x) = \sin x + \text{ctg}x$ применим правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (\sin x + \text{ctg}x)' = (\sin x)' + (\text{ctg}x)'$.

Используем табличные производные: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем и получаем:

$f'(x) = \cos x + \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$.

3) Найдём производную функции $f(x) = \cos x - 5\text{tg}x + x^{-3}$. Применяем правило дифференцирования суммы/разности:

$f'(x) = (\cos x - 5\text{tg}x + x^{-3})' = (\cos x)' - (5\text{tg}x)' + (x^{-3})'$.

Выносим константу и используем табличные производные $(\cos x)' = -\sin x$, $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$.

Собираем всё вместе:

$f'(x) = -\sin x - 5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + (-3x^{-4}) = -\sin x - \frac{5}{\cos^2 x} - 3x^{-4}$.

Можно также записать ответ с положительным показателем степени в знаменателе: $f'(x) = -\sin x - \frac{5}{\cos^2 x} - \frac{3}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = -\sin x - \frac{5}{\cos^2 x} - \frac{3}{x^4}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = 2\text{tg}x + 3\text{ctg}x + \frac{1}{x^3}$ сначала представим последнее слагаемое в виде степени: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$.

$f(x) = 2\text{tg}x + 3\text{ctg}x + x^{-3}$.

Применяем правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (2\text{tg}x)' + (3\text{ctg}x)' + (x^{-3})' = 2(\text{tg}x)' + 3(\text{ctg}x)' + (x^{-3})'$.

Используем известные производные: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $(x^{-3})' = -3x^{-4}$.

Подставляем их в выражение для производной:

$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) + (-3x^{-4}) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{3}{\sin^2 x} - 3x^{-4}$.

Запишем ответ с положительным показателем степени в знаменателе: $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{3}{\sin^2 x} - \frac{3}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{3}{\sin^2 x} - \frac{3}{x^4}$.

44.4. Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = 3\text{ctg}x + 2\text{sin}x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = x - 2\text{cos}x + 3\text{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = 2x^2 - 2\text{tg}x + \text{sin}x, x_0 = \frac{3\pi}{4}$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} - 2\text{ctg}x + 4\text{sin}x, x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

1)Для функции $f(x) = 3\operatorname{ctg}x + 2\sin x$ и точки $x_0 = \frac{\pi}{6}$ сначала найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$f'(x) = (3\operatorname{ctg}x + 2\sin x)' = 3 \cdot (\operatorname{ctg}x)' + 2 \cdot (\sin x)' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) + 2\cos x = -\frac{3}{\sin^2 x} + 2\cos x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3}{\sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right)} + 2\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим эти значения в выражение для производной:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{\frac{1}{4}} + \sqrt{3} = -3 \cdot 4 + \sqrt{3} = -12 + \sqrt{3}$.

Ответ: $-12 + \sqrt{3}$.

2)Для функции $f(x) = x - 2\cos x + 3\operatorname{tg}x$ и точки $x_0 = \frac{\pi}{4}$ найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(x)'=1$, $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$f'(x) = (x - 2\cos x + 3\operatorname{tg}x)' = (x)' - 2(\cos x)' + 3(\operatorname{tg}x)' = 1 - 2(-\sin x) + 3\left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) = 1 + 2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2} + \frac{3}{\frac{2}{4}} = 1 + \sqrt{2} + \frac{3}{\frac{1}{2}} = 1 + \sqrt{2} + 6 = 7 + \sqrt{2}$.

Ответ: $7 + \sqrt{2}$.

3)Для функции $f(x) = 2x^2 - 2\operatorname{tg}x + \sin x$ и точки $x_0 = \frac{3\pi}{4}$ найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(x^2)'=2x$, $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$f'(x) = (2x^2 - 2\operatorname{tg}x + \sin x)' = 2(x^2)' - 2(\operatorname{tg}x)' + (\sin x)' = 2 \cdot 2x - 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + \cos x = 4x - \frac{2}{\cos^2 x} + \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} - \frac{2}{\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)} + \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение:

$f'\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 3\pi - \frac{2}{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3\pi - \frac{2}{\frac{2}{4}} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\pi - \frac{2}{\frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\pi - 4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $3\pi - 4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4)Для функции $f(x) = \frac{2}{x} - 2\operatorname{ctg}x + 4\sin x$ и точки $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$, $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$f'(x) = \left(\frac{2}{x} - 2\operatorname{ctg}x + 4\sin x\right)' = 2\left(\frac{1}{x}\right)' - 2(\operatorname{ctg}x)' + 4(\sin x)' = 2\left(-\frac{1}{x^2}\right) - 2\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) + 4\cos x = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sin^2 x} + 4\cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$:

$f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{2}{\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2} + \frac{2}{\sin^2\left(\frac{2\pi}{3}\right)} + 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Подставим эти значения:

$f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{2}{\frac{4\pi^2}{9}} + \frac{2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{18}{4\pi^2} + \frac{2}{\frac{3}{4}} - 2 = -\frac{9}{2\pi^2} + \frac{8}{3} - 2 = -\frac{9}{2\pi^2} + \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} - \frac{9}{2\pi^2}$.

Ответ: $\frac{2}{3} - \frac{9}{2\pi^2}$.