Страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6. Найдите четную функцию:

A) $f(x)=3x^8-2x;$

B) $f(x)=2-x\sqrt{x};$

C) $f(x)=x^4+x^2+x;$

D) $f(x)=x^6+2x^4.$

Для определения, является ли функция четной, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим каждую из предложенных функций.

A) $f(x) = 3x^8 - 2x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 3(-x)^8 - 2(-x) = 3x^8 + 2x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = 3x^8 + 2x \neq 3x^8 - 2x = f(x)$.Условие четности не выполняется.

Ответ: не является четной.

B) $f(x) = 2 - x\sqrt{x}$

Найдем область определения функции. Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $x \ge 0$.Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.Эта область не является симметричной относительно нуля, так как, например, $x=4$ входит в область определения, а $x=-4$ — нет. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: не является четной.

C) $f(x) = x^4 + x^2 + x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 + (-x)^2 + (-x) = x^4 + x^2 - x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = x^4 + x^2 - x \neq x^4 + x^2 + x = f(x)$.Условие четности не выполняется.

Ответ: не является четной.

D) $f(x) = x^6 + 2x^4$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^6 + 2(-x)^4$.

Так как любая степень с четным показателем отрицательного числа равна этой же степени положительного числа, то $(-x)^6 = x^6$ и $(-x)^4 = x^4$.Следовательно, $f(-x) = x^6 + 2x^4$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = x^6 + 2x^4 = f(x)$.Условие четности выполняется.

Ответ: является четной.

7. Найдите функцию общего вида:

A) $f(x) = x^7 - 5x^3 + x$;

B) $f(x) = x^3 - 4x^5 + x$;

C) $f(x) = x^6 - 5x^3 + \frac{1}{x - 1}$;

D) $f(x) = x^4 - 2x^2 + \sqrt{|x|}$.

Функция общего вида — это функция, которая не является ни четной, ни нечетной. Для определения типа функции необходимо проверить её на четность.

- Функция $f(x)$ называется четной, если ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

- Функция $f(x)$ называется нечетной, если ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция является функцией общего вида.

Рассмотрим каждую из предложенных функций.

A) $f(x) = x^7 - 5x^3 + x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^7 - 5(-x)^3 + (-x) = -x^7 - 5(-x^3) - x = -x^7 + 5x^3 - x$.

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^7 - 5x^3 + x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

B) $f(x) = x^3 - 4x^5 + x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - 4(-x)^5 + (-x) = -x^3 - 4(-x^5) - x = -x^3 + 4x^5 - x$.

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^3 - 4x^5 + x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

C) $f(x) = x^6 - 5x^3 + \frac{1}{x-1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Данная область определения не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x = -1$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $x = 1$ — не принадлежит.

Функция, у которой область определения несимметрична, не может быть ни четной, ни нечетной. Следовательно, это функция общего вида.

Ответ: функция является функцией общего вида.

D) $f(x) = x^4 - 2x^2 + \sqrt{|x|}$

Область определения функции — все действительные числа ($|x| \ge 0$ для всех $x$), $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \sqrt{|-x|}$.

Поскольку $(-x)^4 = x^4$, $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = x^4 - 2x^2 + \sqrt{|x|}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

По результатам анализа, единственной функцией общего вида из предложенных вариантов является функция C).

8. Если график функции $y = -\sqrt{x}$ сместить влево вдоль оси $Ox$ на 3 единицы и вверх вдоль оси $Oy$ на 3 единицы, то получим график функции:

A) $y = -\sqrt{x-3}-3;$

B) $y = \sqrt{x-3}+3;$

C) $y = 3-\sqrt{x+3};$

D) $y = \sqrt{x+3}-3.$

Чтобы найти уравнение функции, график которой получен в результате смещений, необходимо применить правила преобразования графиков.

Исходная функция: $y = -\sqrt{x}$.

Рассмотрим преобразования по шагам:

1. Смещение влево вдоль оси Ox на 3 единицы.

Общее правило гласит, что для сдвига графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц влево, необходимо заменить аргумент $x$ на $(x+a)$. В нашем случае $a=3$.

Применяя это правило к функции $y = -\sqrt{x}$, получаем промежуточный результат: $y' = -\sqrt{x+3}$.

2. Смещение вверх вдоль оси Oy на 3 единицы.

Общее правило гласит, что для сдвига графика функции $y=g(x)$ на $b$ единиц вверх, необходимо прибавить $b$ ко всей функции, получив $y = g(x)+b$. В нашем случае мы сдвигаем график функции $y' = -\sqrt{x+3}$ на $b=3$ единицы вверх.

Применяя это правило, получаем итоговое уравнение: $y = -\sqrt{x+3} + 3$.

Для удобства сравнения с вариантами ответов, поменяем слагаемые местами: $y = 3 - \sqrt{x+3}$.

Данное уравнение соответствует варианту C.

Ответ: C) $y = 3-\sqrt{x+3}$

9. Сколько видов преобразований нужно применить к графику функции $y=x^2$, чтобы построить график функции $f(x)=2(x-1)^2-2$:

A) 2;

B) 3;

C) 4;

D) 5?

Для того чтобы построить график функции $f(x) = 2(x-1)^2 - 2$ из графика функции $y = x^2$, необходимо проанализировать, какие преобразования были применены к исходной функции. Запишем целевую функцию в общем виде для преобразованной параболы: $y = a(x-h)^2 + k$.

Сравнивая функцию $f(x) = 2(x-1)^2 - 2$ с общей формой, мы можем определить параметры и соответствующие им преобразования:

1. Вертикальное растяжение. Коэффициент $a=2$ перед скобкой означает, что график исходной функции $y=x^2$ растягивается в 2 раза вдоль оси ординат (OY). Это первый вид преобразования.

2. Горизонтальный сдвиг. Выражение $(x-1)$ в скобках, где $h=1$, указывает на сдвиг графика по горизонтали на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (OX). Это второй вид преобразования.

3. Вертикальный сдвиг. Свободный член $-2$, где $k=-2$, указывает на сдвиг графика по вертикали на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (OY). Это третий вид преобразования.

Таким образом, для получения графика функции $f(x)$ из графика $y=x^2$ необходимо выполнить три различных вида преобразований: вертикальное растяжение, горизонтальный сдвиг и вертикальный сдвиг.

Ответ: B) 3;

10. Областью определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} + \frac{2}{x - 1} + \sqrt{x + 3}$ является:

A) $(1; 3);$

B) $(-3; 3);$

C) $[-3; 3);$

D) $(-3; 1) \cup (1; 3).$

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} + \frac{2}{x-1} + \sqrt{x+3}$ представляет собой сумму трех слагаемых. Чтобы функция была определена, каждое из слагаемых должно быть определено.

Рассмотрим условия для каждого слагаемого по отдельности:

1. Для слагаемого $\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным, так как на ноль делить нельзя и извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.

Следовательно, $9 - x^2 > 0$.

Решим это неравенство:

$x^2 < 9$

$|x| < 3$

Это означает, что $-3 < x < 3$, или $x \in (-3; 3)$.

2. Для слагаемого $\frac{2}{x-1}$ знаменатель не должен быть равен нулю.

Следовательно, $x - 1 \ne 0$.

Отсюда $x \ne 1$.

3. Для слагаемого $\sqrt{x+3}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Следовательно, $x + 3 \ge 0$.

Отсюда $x \ge -3$, или $x \in [-3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий, решив систему неравенств:

$\begin{cases} -3 < x < 3 \\ x \ne 1 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Пересечение первого и третьего условий ($-3 < x < 3$ и $x \ge -3$) дает интервал $(-3; 3)$.

Теперь из этого интервала нужно исключить точку $x=1$ согласно второму условию.

Исключение точки 1 из интервала $(-3; 3)$ разбивает его на два интервала: $(-3; 1)$ и $(1; 3)$.

Таким образом, область определения функции есть объединение этих интервалов: $(-3; 1) \cup (1; 3)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D).

Ответ: D) $(-3; 1)\cup(1; 3)$.