Страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Докажите: $(arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $-1 < x < 1$; $(arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ $(-\infty < x < \infty)$; $(arcctg x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$, $(-\infty < x < +\infty).$

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1 < x < 1$

Для доказательства этой формулы воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Пусть $y = \arccos x$. По определению арккосинуса, это означает, что $x = \cos y$, при этом область определения $x \in [-1, 1]$, а область значений $y \in [0, \pi]$.

Производная обратной функции находится по формуле $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$. Найдем производную $x$ по $y$:

$x'(y) = (\cos y)' = -\sin y$.

Тогда производная $y$ по $x$ равна: $(\arccos x)' = \frac{1}{-\sin y} = -\frac{1}{\sin y}$.

Теперь нужно выразить $\sin y$ через $x$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Отсюда $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$. Поскольку $x = \cos y$, получаем $\sin^2 y = 1 - x^2$. Следовательно, $\sin y = \pm\sqrt{1 - x^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к области значений функции $y = \arccos x$, которая равна $[0, \pi]$. На интервале $(0, \pi)$ (мы исключаем концы, так как в них производная не определена, и знаменатель $\sin y$ обращается в нуль) синус принимает только положительные значения, то есть $\sin y > 0$. Поэтому мы выбираем знак плюс: $\sin y = \sqrt{1-x^2}$.

Подставляя это выражение в формулу для производной, получаем:

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Эта формула верна для $-1 < x < 1$, так как подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Ответ: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

$(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}, -\infty < x < +\infty$

Докажем эту формулу, используя тот же метод. Пусть $y = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $x = \operatorname{tg} y$, при этом область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, а область значений $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдем производную $x$ по $y$, используя формулу производной обратной функции $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$:

$x'(y) = (\operatorname{tg} y)' = 1 + \operatorname{tg}^2 y$.

Тогда производная $y$ по $x$ равна: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 y}$.

Поскольку $x = \operatorname{tg} y$, мы можем подставить $x$ обратно в это выражение:

$(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$.

Знаменатель $1 + x^2$ никогда не равен нулю для любых действительных $x$, поэтому формула верна для всей области определения $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$.

$(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}, -\infty < x < +\infty$

Доказательство аналогично предыдущим. Пусть $y = \operatorname{arcctg} x$. По определению арккотангенса, это означает, что $x = \operatorname{ctg} y$, при этом область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, а область значений $y \in (0, \pi)$.

Найдем производную $x$ по $y$:

$x'(y) = (\operatorname{ctg} y)' = -(1 + \operatorname{ctg}^2 y)$.

Используем формулу производной обратной функции $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$:

$(\operatorname{arcctg} x)' = \frac{1}{-(1 + \operatorname{ctg}^2 y)} = -\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 y}$.

Так как $x = \operatorname{ctg} y$, мы заменяем $\operatorname{ctg} y$ на $x$:

$(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.

Эта формула, как и для арктангенса, верна для всех действительных чисел $x$.

Альтернативный способ доказательства: можно использовать известное тождество $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$. Продифференцировав обе части этого равенства по $x$, получим: $(\operatorname{arctg} x)' + (\operatorname{arcctg} x)' = 0$. Отсюда, используя уже доказанную производную арктангенса, получаем: $(\operatorname{arcctg} x)' = -(\operatorname{arctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$.

Ответ: $(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.

1. Приведите пример сложной функции.

2. В каких случаях можно использовать формулу для нахождения производной сложной функции?

3. При каких значениях аргумента $x$ существует производная функций $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=\text{arctg} x$?

1. Сложная функция, или композиция функций, — это функция, аргументом которой, в свою очередь, является другая функция. Если есть две функции, $y=f(u)$ и $u=g(x)$, то сложная функция записывается как $y=f(g(x))$. В этой записи $f(u)$ называется внешней функцией, а $g(x)$ — внутренней. Например, для функции $y = \sqrt{x^2+1}$ внутренняя функция — это $u=g(x)=x^2+1$, а внешняя функция — это $y=f(u)=\sqrt{u}$. Другими примерами могут служить $y = \cos(3x)$, $y = (5x-2)^4$ или $y = \ln(\sin x)$.

Ответ: Примером сложной функции является $y = (2x+1)^3$.

2. Формулу для нахождения производной сложной функции, известную как цепное правило, можно использовать, когда обе составляющие функции (внешняя и внутренняя) являются дифференцируемыми. Пусть дана сложная функция $y = f(g(x))$. Для того чтобы найти ее производную в точке $x_0$, необходимо выполнение двух условий:

1. Внутренняя функция $u=g(x)$ должна быть дифференцируема в точке $x_0$.

2. Внешняя функция $y=f(u)$ должна быть дифференцируема в точке $u_0 = g(x_0)$.

Если эти условия выполнены, то производная сложной функции находится по формуле: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Ответ: Формулу можно использовать, если внутренняя функция дифференцируема в точке $x$, а внешняя функция дифференцируема в соответствующей точке $u=g(x)$.

3. Рассмотрим каждую функцию отдельно, чтобы определить, при каких значениях $x$ существует их производная.

• Для функции $y = \arcsin x$. Ее производная равна $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Эта производная существует, когда выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля: $1 - x^2 > 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 < 1$, что эквивалентно $-1 < x < 1$. Таким образом, производная существует для $x \in (-1, 1)$.

• Для функции $y = \arccos x$. Ее производная равна $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Условие существования этой производной такое же, как и для арксинуса: $1 - x^2 > 0$. Следовательно, производная существует для $x \in (-1, 1)$.

• Для функции $y = \arctan x$. Ее производная равна $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$. Знаменатель $1+x^2$ всегда строго положителен для любого действительного числа $x$ (поскольку $x^2 \ge 0$, то $1+x^2 \ge 1$). Поэтому производная существует для всех действительных значений $x$.

Ответ: Производная функции $y=\arcsin x$ существует при $x \in (-1, 1)$; производная функции $y=\arccos x$ существует при $x \in (-1, 1)$; производная функции $y=\arctan x$ существует при всех действительных значениях $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Найдите производные сложных функций (45.1–45.4):

45.1. 1) $f(x) = \sin(3x)$; 2) $f(x) = \cos(1 - 2x)$;

3) $f(x) = \operatorname{tg}(5x)$; 4) $f(x) = \operatorname{ctg}(x - 2)$;

5) $f(x) = \sin(3 - 2x)$; 6) $f(x) = \operatorname{ctg}(5 - 3x)$.

Для нахождения производных сложных функций используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Это правило гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу на производную внутренней функции по независимой переменной.

1) Дана функция $f(x) = \sin(3x)$.

Здесь внешняя функция — это синус, $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя — $g(x) = 3x$.

Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $(3x)' = 3$.

Применяя цепное правило, получаем:

$f'(x) = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

Ответ: $3\cos(3x)$.

2) Дана функция $f(x) = \cos(1 - 2x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \cos(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 1 - 2x$.

Производная внешней функции: $(\cos(u))' = -\sin(u)$.

Производная внутренней функции: $(1 - 2x)' = -2$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\cos(1 - 2x))' = -\sin(1 - 2x) \cdot (1 - 2x)' = -\sin(1 - 2x) \cdot (-2) = 2\sin(1 - 2x)$.

Ответ: $2\sin(1 - 2x)$.

3) Дана функция $f(x) = \text{tg}(5x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \text{tg}(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 5x$.

Производная внешней функции: $(\text{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(5x)' = 5$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\text{tg}(5x))' = \frac{1}{\cos^2(5x)} \cdot (5x)' = \frac{1}{\cos^2(5x)} \cdot 5 = \frac{5}{\cos^2(5x)}$.

Ответ: $\frac{5}{\cos^2(5x)}$.

4) Дана функция $f(x) = \text{ctg}(x - 2)$.

Внешняя функция: $f(u) = \text{ctg}(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = x - 2$.

Производная внешней функции: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(x - 2)' = 1$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\text{ctg}(x - 2))' = -\frac{1}{\sin^2(x - 2)} \cdot (x - 2)' = -\frac{1}{\sin^2(x - 2)} \cdot 1 = -\frac{1}{\sin^2(x - 2)}$.

Ответ: $-\frac{1}{\sin^2(x - 2)}$.

5) Дана функция $f(x) = \sin(3 - 2x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 3 - 2x$.

Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $(3 - 2x)' = -2$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\sin(3 - 2x))' = \cos(3 - 2x) \cdot (3 - 2x)' = \cos(3 - 2x) \cdot (-2) = -2\cos(3 - 2x)$.

Ответ: $-2\cos(3 - 2x)$.

6) Дана функция $f(x) = \text{ctg}(5 - 3x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \text{ctg}(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 5 - 3x$.

Производная внешней функции: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(5 - 3x)' = -3$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\text{ctg}(5 - 3x))' = -\frac{1}{\sin^2(5 - 3x)} \cdot (5 - 3x)' = -\frac{1}{\sin^2(5 - 3x)} \cdot (-3) = \frac{3}{\sin^2(5 - 3x)}$.

Ответ: $\frac{3}{\sin^2(5 - 3x)}$.

45.2. 1) $f(x) = (3x - 1)^2;$

3) $f(x) = (2 - 3x)^{-3};$

5) $f(x) = 5x + (1 - 3x)^{-2};$

2) $f(x) = (1 - 2x)^3;$

4) $f(x) = 2 - (1 + 2x)^{-4};$

6) $f(x) = x^2 + (1 + 5x)^{-2}.$

1) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = (3x-1)^2$.

Первообразная функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x)=f(x)$. Общий вид всех первообразных записывается как $F(x)+C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Данная функция является степенной функцией от линейного аргумента, вида $(kx+b)^n$. Для нахождения ее первообразной используется формула: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $k=3$, $b=-1$ и $n=2$. Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = \int (3x-1)^2 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{2+1}}{2+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^3}{3} + C = \frac{(3x-1)^3}{9} + C$.

Для проверки правильности результата найдем производную от полученной функции $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{(3x-1)^3}{9} + C\right)' = \frac{1}{9} \cdot 3(3x-1)^2 \cdot (3x-1)' = \frac{1}{9} \cdot 3(3x-1)^2 \cdot 3 = (3x-1)^2 = f(x)$.

Производная совпадает с исходной функцией, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = \frac{(3x-1)^3}{9} + C$.

2) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = (1-2x)^3$.

Эта функция также имеет вид $(kx+b)^n$, где $k=-2$, $b=1$ и $n=3$. Применяем ту же формулу для нахождения первообразной:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Подставляем наши значения:

$F(x) = \int (1-2x)^3 dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1-2x)^{3+1}}{3+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-2x)^4}{4} + C = -\frac{(1-2x)^4}{8} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(-\frac{(1-2x)^4}{8} + C\right)' = -\frac{1}{8} \cdot 4(1-2x)^3 \cdot (1-2x)' = -\frac{4}{8}(1-2x)^3 \cdot (-2) = \frac{8}{8}(1-2x)^3 = (1-2x)^3 = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = -\frac{(1-2x)^4}{8} + C$.

3) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = (2-3x)^{-3}$.

Функция вида $(kx+b)^n$, где $k=-3$, $b=2$ и $n=-3$. Так как $n \neq -1$, мы можем использовать стандартную формулу:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Подставляем значения:

$F(x) = \int (2-3x)^{-3} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2-3x)^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2-3x)^{-2}}{-2} + C = \frac{(2-3x)^{-2}}{6} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(\frac{(2-3x)^{-2}}{6} + C\right)' = \frac{1}{6} \cdot (-2)(2-3x)^{-3} \cdot (2-3x)' = -\frac{2}{6}(2-3x)^{-3} \cdot (-3) = \frac{6}{6}(2-3x)^{-3} = (2-3x)^{-3} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = \frac{(2-3x)^{-2}}{6} + C$.

4) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = 2 - (1+2x)^{-4}$.

Используем правило, что первообразная разности функций равна разности их первообразных: $F(x) = \int (2 - (1+2x)^{-4}) dx = \int 2 dx - \int (1+2x)^{-4} dx$.

1. Первообразная для константы 2: $\int 2 dx = 2x$.

2. Первообразная для $(1+2x)^{-4}$. Это функция вида $(kx+b)^n$, где $k=2$, $b=1$, $n=-4$.

$\int (1+2x)^{-4} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+2x)^{-4+1}}{-4+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+2x)^{-3}}{-3} = -\frac{(1+2x)^{-3}}{6}$.

Объединяем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$:

$F(x) = 2x - \left(-\frac{(1+2x)^{-3}}{6}\right) + C = 2x + \frac{(1+2x)^{-3}}{6} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(2x + \frac{(1+2x)^{-3}}{6} + C\right)' = 2 + \frac{1}{6} \cdot (-3)(1+2x)^{-4} \cdot 2 = 2 - \frac{6}{6}(1+2x)^{-4} = 2 - (1+2x)^{-4} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = 2x + \frac{(1+2x)^{-3}}{6} + C$.

5) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = 5x + (1-3x)^{-2}$.

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных: $F(x) = \int (5x + (1-3x)^{-2}) dx = \int 5x dx + \int (1-3x)^{-2} dx$.

1. Первообразная для $5x$: $\int 5x dx = 5\frac{x^2}{2}$.

2. Первообразная для $(1-3x)^{-2}$. Это функция вида $(kx+b)^n$, где $k=-3$, $b=1$, $n=-2$.

$\int (1-3x)^{-2} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(1-3x)^{-2+1}}{-2+1} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(1-3x)^{-1}}{-1} = \frac{(1-3x)^{-1}}{3}$.

Складываем результаты и добавляем постоянную $C$:

$F(x) = \frac{5x^2}{2} + \frac{(1-3x)^{-1}}{3} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(\frac{5x^2}{2} + \frac{(1-3x)^{-1}}{3} + C\right)' = \frac{5 \cdot 2x}{2} + \frac{1}{3} \cdot (-1)(1-3x)^{-2} \cdot (-3) = 5x + (1-3x)^{-2} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = \frac{5x^2}{2} + \frac{1}{3(1-3x)} + C$.

6) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = x^2 + (1+5x)^{-2}$.

Используем правило суммы: $F(x) = \int (x^2 + (1+5x)^{-2}) dx = \int x^2 dx + \int (1+5x)^{-2} dx$.

1. Первообразная для $x^2$: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$.

2. Первообразная для $(1+5x)^{-2}$. Это функция вида $(kx+b)^n$, где $k=5$, $b=1$, $n=-2$.

$\int (1+5x)^{-2} dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(1+5x)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(1+5x)^{-1}}{-1} = -\frac{(1+5x)^{-1}}{5}$.

Складываем результаты и добавляем постоянную $C$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{(1+5x)^{-1}}{5} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{(1+5x)^{-1}}{5} + C\right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{1}{5} \cdot (-1)(1+5x)^{-2} \cdot 5 = x^2 + (1+5x)^{-2} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{5(1+5x)} + C$.

45.3.

1) $f(x) = \sqrt{2x - 5};$

2) $f(x) = \sqrt{2x^2 - x};$

3) $f(x) = \sqrt{2 - 5x};$

4) $f(x) = \sqrt{3x^2 - 5x};$

5) $f(x) = \sqrt{3x^2 - 5x + 1};$

6) $f(x) = \sqrt{2 - 3x^2 + 5x}.$

Для нахождения области определения функции, содержащей квадратный корень, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

1) $f(x) = \sqrt{2x-5}$

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$2x - 5 \ge 0$

Перенесем 5 в правую часть:

$2x \ge 5$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{5}{2}$ или $x \ge 2.5$

Ответ: $D(f) = [2.5; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{2x^2-x}$

Решим неравенство:

$2x^2 - x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.5$.

Графиком функции $y = 2x^2-x$ является парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции неотрицательны при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0] \cup [0.5; +\infty)$.

3) $f(x) = \sqrt{2-5x}$

Решим неравенство:

$2 - 5x \ge 0$

$2 \ge 5x$

$x \le \frac{2}{5}$ или $x \le 0.4$

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0.4]$.

4) $f(x) = \sqrt{3x^2-5x}$

Решим неравенство:

$3x^2 - 5x \ge 0$

$x(3x - 5) \ge 0$

Корни уравнения $x(3x - 5) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Парабола $y = 3x^2-5x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство выполняется для значений $x$ вне интервала между корнями.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{3x^2-5x+1}$

Решим неравенство:

$3x^2 - 5x + 1 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 25 - 12 = 13$

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}$, $x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x + 1$ направлены вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутках левее меньшего корня и правее большего.

Ответ: $D(f) = (-\infty; \frac{5 - \sqrt{13}}{6}] \cup [\frac{5 + \sqrt{13}}{6}; +\infty)$.

6) $f(x) = \sqrt{2-3x^2+5x}$

Решим неравенство:

$-3x^2 + 5x + 2 \ge 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$3x^2 - 5x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Корни: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $D(f) = [-\frac{1}{3}; 2]$.