Страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F(\pi; 0)$, если известно, что она получена в результате: 1) растяжения графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 4 раза; 2) сжатия графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза?

2. Сравните периоды функций $y = \sin x + 2$ и $y = \sin x$, если они заданы на всей их области определения (используйте рис. 11.4).

1. Исходная точка $F$ имеет координаты $(\pi; 0)$. Проверим, принадлежит ли она графику функции $y = \sin x$. Подставим координаты в уравнение функции: $0 = \sin(\pi)$. Равенство верное, значит, точка $F$ лежит на графике.

Преобразование графика функции $y = f(x)$ вдоль оси $Oy$ (растяжение или сжатие) переводит каждую точку $(x_0; y_0)$ на графике в точку $(x_0; k \cdot y_0)$, где $k$ – коэффициент преобразования. Абсцисса точки при этом не изменяется, а ордината умножается на коэффициент $k$.

1) растяжения графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 4 раза;

Растяжение в 4 раза означает, что коэффициент преобразования $k=4$. Новая функция имеет вид $y_1 = 4 \sin x$. Для точки $F(\pi; 0)$ новые координаты точки $F_1$ будут:

• Абсцисса остается неизменной: $x_1 = \pi$.
• Ордината умножается на 4: $y_1 = 4 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, координаты точки $F_1$ — $(\pi; 0)$.

Ответ: $F_1(\pi; 0)$.

2) сжатия графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

Сжатие в 3 раза означает, что коэффициент преобразования $k = \frac{1}{3}$. Новая функция имеет вид $y_2 = \frac{1}{3} \sin x$. Для точки $F(\pi; 0)$ новые координаты точки $F_1$ будут:

• Абсцисса остается неизменной: $x_1 = \pi$.
• Ордината умножается на $\frac{1}{3}$: $y_1 = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

Координаты точки $F_1$ снова $(\pi; 0)$. Это объясняется тем, что точка $F$ является точкой пересечения графика с осью абсцисс (её ордината равна нулю), и её положение не меняется при вертикальном растяжении или сжатии.

Ответ: $F_1(\pi; 0)$.

2. Необходимо сравнить периоды функций $y = \sin x + 2$ и $y = \sin x$.

Период функции — это наименьшее положительное число $T$, такое что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Основной (наименьший положительный) период функции $y = \sin x$ является известной величиной и равен $2\pi$.

Функция $y = \sin x + 2$ получается из функции $y = \sin x$ путем прибавления константы 2. Графически это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y = \sin x$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Такое преобразование, как вертикальный сдвиг, не влияет на периодичность функции, так как форма графика не изменяется.

Проверим это аналитически. Найдем период $T$ для функции $y = \sin x + 2$: $\sin(x+T) + 2 = \sin x + 2$

Вычитая 2 из обеих частей равенства, получаем: $\sin(x+T) = \sin x$

Это уравнение полностью совпадает с уравнением для нахождения периода функции $y = \sin x$. Следовательно, наименьший положительный период $T$ для функции $y = \sin x + 2$ также равен $2\pi$.

Таким образом, периоды обеих функций равны между собой и составляют $2\pi$.

Ответ: периоды функций равны.

11.1. Докажите, что является четной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^2 + \sin^2x;$

2) $f(x) = x^4\sin^2x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\sin^2x - 5;$

4) $f(x) = x\sin^3x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x};$

6) $f(x) = \frac{\sin 3x}{x^5 - 9x}.$

1)Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + \sin^2x$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий: 1) ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля, и 2) для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

1. Область определения для $x^2$ и $\sin^2x$ — все действительные числа. Следовательно, область определения для $f(x)$ есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая является симметричной относительно нуля.

2. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^2 + \sin^2(-x)$.

Поскольку степенная функция с четным показателем является четной, $(-x)^2 = x^2$. Функция синус является нечетной, $\sin(-x) = -\sin x$, поэтому ее квадрат будет четной функцией: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2x$.

Таким образом, $f(-x) = x^2 + \sin^2x = f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

2)Проверим на четность функцию $f(x) = x^4\sin^2x$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как и $x^4$, и $\sin^2x$ определены для всех действительных $x$. Область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^4\sin^2(-x)$.

Так как $(-x)^4 = x^4$ и $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2x$, то

$f(-x) = x^4\sin^2x = f(x)$.

Функция является произведением двух четных функций ($g(x)=x^4$ и $h(x)=\sin^2x$), поэтому она также является четной.

Ответ: функция является четной.

3)Проверим на четность функцию $f(x) = (2 - x^2)\sin^2x - 5$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\sin^2(-x) - 5$.

Учитывая, что $(-x)^2=x^2$ и $\sin^2(-x)=\sin^2x$, получаем:

$f(-x) = (2 - x^2)\sin^2x - 5 = f(x)$.

Оба условия четности функции выполняются.

Ответ: функция является четной.

4)Проверим на четность функцию $f(x) = x\sin^3x$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)\sin^3(-x)$.

Функция $g(x)=x$ является нечетной. Функция $\sin x$ также нечетная, поэтому ее куб тоже будет нечетной функцией: $\sin^3(-x) = (\sin(-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3x$.

Тогда $f(-x) = (-x)(-\sin^3x) = x\sin^3x = f(x)$.

Функция является произведением двух нечетных функций, что делает ее четной.

Ответ: функция является четной.

5)Проверим на четность функцию $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 4x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 - 4) \neq 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) \neq 0$.

Следовательно, $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-\sin x}{-x^3 + 4x} = \frac{-\sin x}{-(x^3 - 4x)} = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} = f(x)$.

Функция является частным двух нечетных функций (числитель $\sin x$ и знаменатель $x^3-4x$), поэтому она является четной.

Ответ: функция является четной.

6)Проверим на четность функцию $f(x) = \frac{\sin 3x}{x^5 - 9x}$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^5 - 9x \neq 0 \Rightarrow x(x^4 - 9) \neq 0 \Rightarrow x(x^2-3)(x^2+3) \neq 0$.

Так как $x^2+3 > 0$ для всех $x$, то $x \neq 0$ и $x^2 \neq 3$, то есть $x \neq \pm\sqrt{3}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; 0) \cup (0; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)} = \frac{\sin(-3x)}{-x^5 + 9x} = \frac{-\sin(3x)}{-(x^5 - 9x)} = \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x} = f(x)$.

Оба условия четности функции выполняются.

Ответ: функция является четной.

11.2. Докажите, что является нечетной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^3 + \sin x;$

2) $f(x) = x^5\sin^2x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\sin^3x;$

4) $f(x) = x - \sin^3x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^4 - 4};$

6) $f(x) = \frac{\sin 6x}{x^2 - 9}.$

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. При этом область определения должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

Докажем, что каждая из заданных функций удовлетворяет этим условиям.

1) $f(x) = x^3 + \sin x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 + \sin(-x)$.

Используя свойства нечетности степенной функции ($(-x)^3 = -x^3$) и функции синус ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$f(-x) = -x^3 - \sin x = -(x^3 + \sin x) = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^5\sin^2x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^5\sin^2(-x)$.

Функция $g(x) = x^5$ является нечетной, так как $(-x)^5 = -x^5$. Функция $h(x) = \sin^2x$ является четной, так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2x$. Произведение нечетной и четной функций является нечетной функцией. Проверим это:

$f(-x) = (-x^5)(\sin^2x) = -x^5\sin^2x = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) $f(x) = (2 - x^2)\sin^3x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\sin^3(-x)$.

Множитель $g(x) = (2 - x^2)$ является четной функцией, так как $2 - (-x)^2 = 2 - x^2$. Множитель $h(x) = \sin^3x$ является нечетной функцией, так как $\sin^3(-x) = (\sin(-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3x$.

$f(-x) = (2 - x^2)(-\sin^3x) = -(2 - x^2)\sin^3x = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

4) $f(x) = x - \sin^3x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x) - \sin^3(-x)$.

Функция $g(x) = x$ является нечетной. Функция $h(x) = \sin^3x$ также является нечетной, как показано в предыдущем пункте. Разность двух нечетных функций является нечетной функцией.

$f(-x) = -x - (-\sin^3x) = -x + \sin^3x = -(x - \sin^3x) = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^4 - 4}$

Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^4 - 4 \neq 0$, откуда $x^4 \neq 4$ и $x \neq \pm\sqrt{2}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^4 - 4}$.

Числитель $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная функция). Знаменатель $(-x)^4 - 4 = x^4 - 4$ (четная функция). Частное нечетной и четной функций является нечетной функцией.

$f(-x) = \frac{-\sin x}{x^4 - 4} = -\frac{\sin x}{x^4 - 4} = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\sin 6x}{x^2 - 9}$

Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 9 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(6(-x))}{(-x)^2 - 9}$.

Числитель $g(x) = \sin(6x)$ является нечетной функцией: $\sin(6(-x)) = \sin(-6x) = -\sin(6x)$. Знаменатель $h(x) = x^2 - 9$ является четной функцией: $(-x)^2 - 9 = x^2 - 9$.

$f(-x) = \frac{-\sin(6x)}{x^2 - 9} = -\frac{\sin 6x}{x^2 - 9} = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

11.3. Докажите, что функция $y = \sin2x$ является возрастающей на множестве:

1) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in Z;$

2) $[\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k], k \in Z.$

Для того чтобы доказать, что функция $y = \sin(2x)$ является возрастающей на некотором множестве, достаточно показать, что ее производная на этом множестве неотрицательна, то есть $y' \ge 0$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь найдем промежутки, на которых производная неотрицательна. Для этого решим неравенство:

$2\cos(2x) \ge 0$

$\cos(2x) \ge 0$

Неравенство $\cos(t) \ge 0$ справедливо для тех значений аргумента $t$, которые принадлежат промежуткам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргументом является $2x$, поэтому мы имеем двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Чтобы найти промежутки для переменной $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi n$

Таким образом, функция $y = \sin(2x)$ возрастает на множестве всех промежутков вида $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь докажем утверждения для каждого из пунктов.

1) Требуется доказать, что функция возрастает на множестве $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это множество в точности соответствует найденным нами промежуткам возрастания $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, если принять $n=k$. Поскольку на этих промежутках производная $y' = 2\cos(2x) \ge 0$, функция $y=\sin(2x)$ на них возрастает.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что функция возрастает на множестве $[\frac{3\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Покажем, что эти промежутки также являются промежутками возрастания функции, приведя их к общему виду $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$. Для этого преобразуем границы заданного промежутка:

Левая граница: $\frac{3\pi}{4} + \pi k = \frac{4\pi - \pi}{4} + \pi k = \pi - \frac{\pi}{4} + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi(k+1)$.

Правая граница: $\frac{5\pi}{4} + \pi k = \frac{4\pi + \pi}{4} + \pi k = \pi + \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi(k+1)$.

Таким образом, заданное множество можно представить в виде $[-\frac{\pi}{4} + \pi(k+1); \frac{\pi}{4} + \pi(k+1)]$.

Обозначим $n = k+1$. Поскольку $k$ пробегает все целые числа, то и $n$ также пробегает все целые числа. Следовательно, данное множество является совокупностью промежутков возрастания функции $y=\sin(2x)$. На этих промежутках производная $y' = 2\cos(2x) \ge 0$, а значит, функция возрастает.

Ответ: Что и требовалось доказать.

11.4. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = 2\sin2x;$

2) $y = \sin4x\cos x + \sin x \cos4x;$

3) $y = \frac{2}{3}\sin3x + 1;$

4) $y = \sin x\cos x;$

5) $y = \sin4x\cos3x - \sin3x\cos4x;$

6) $y = \sin3x\cos3x.$

1) $y = 2\sin(2x)$

Данная функция имеет вид $y = A\sin(kx+b)+C$, где $A=2$, $k=2$, $b=0$, $C=0$. Наименьший положительный период функции $\sin(x)$ равен $2\pi$. Для функции $y = A\sin(kx+b)+C$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_{base}}{|k|}$, где $T_{base}$ — основной период исходной функции. В нашем случае $T_{base} = 2\pi$ и $k=2$. Таким образом, период функции $y = 2\sin(2x)$ равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) $y = \sin(4x)\cos(x) + \sin(x)\cos(4x)$

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. В данном случае $\alpha=4x$ и $\beta=x$. Тогда функция принимает вид $y = \sin(4x+x) = \sin(5x)$. Это функция вида $y = \sin(kx)$ с коэффициентом $k=5$. Наименьший положительный период такой функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{5}$.

3) $y = \frac{2}{3}\sin(3x) + 1$

Функция имеет вид $y = A\sin(kx) + C$, где $A=\frac{2}{3}$, $k=3$ и $C=1$. Коэффициент $A$, отвечающий за амплитуду, и слагаемое $C$, отвечающее за вертикальный сдвиг, не влияют на величину периода. Период определяется только коэффициентом $k$ при аргументе $x$. Наименьший положительный период функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

4) $y = \sin(x)\cos(x)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из нее следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Применив эту формулу к нашей функции, получим $y = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Это функция вида $y = A\sin(kx)$ с $A=\frac{1}{2}$ и $k=2$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

5) $y = \sin(4x)\cos(3x) - \sin(3x)\cos(4x)$

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. В данном случае $\alpha=4x$ и $\beta=3x$. Тогда функция принимает вид $y = \sin(4x-3x) = \sin(x)$. Наименьший положительный период функции $y = \sin(x)$ является основным периодом синуса и равен $2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

6) $y = \sin(3x)\cos(3x)$

Как и в пункте 4, воспользуемся формулой, вытекающей из синуса двойного угла: $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Положим $\alpha = 3x$. Тогда функция преобразуется к виду $y = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2}\sin(6x)$. Это функция вида $y = A\sin(kx)$ с $A=\frac{1}{2}$ и $k=6$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

45.17. Решите уравнение:

1) $sin2x + tgx - 2 = 0;$

2) $2cos2x + 2tg^2x = 5;$

3) $2(tg\frac{x}{2} - 1) - cosx = 0;$

4) $\frac{sin^2 x - 2}{sin^2 x - 4cos^2 \frac{x}{2}} = tg^2 \frac{x}{2};$

5) $\frac{4ctgx}{1 + ctg^2x} + sin^2 2x + 1 = 0;$

6) $1 + cosx = 2tg\frac{x}{2} - 1.$

1) $sin2x + tgx - 2 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, если $cosx \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $sin2x = \frac{2tgx}{1+tg^2x}$.

Пусть $t = tgx$. Уравнение принимает вид:

$\frac{2t}{1+t^2} + t - 2 = 0$

Умножим обе части на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля):

$2t + t(1+t^2) - 2(1+t^2) = 0$

$2t + t + t^3 - 2 - 2t^2 = 0$

$t^3 - 2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Проверим делители свободного члена (-2): $\pm1, \pm2$.

При $t=1$: $1^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем.

Разделим многочлен $(t^3 - 2t^2 + 3t - 2)$ на $(t - 1)$:

$(t - 1)(t^2 - t + 2) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $t^2 - t + 2 = 0$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Таким образом, единственное решение для $t$ это $t=1$.

Возвращаемся к замене:

$tgx = 1$

$x = arctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2cos2x + 2tg^2x = 5$

ОДЗ: $cosx \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $cos2x = \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}$.

Пусть $t = tgx$. Уравнение принимает вид:

$2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} + 2t^2 = 5$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$2(1-t^2) + 2t^2(1+t^2) = 5(1+t^2)$

$2 - 2t^2 + 2t^2 + 2t^4 = 5 + 5t^2$

$2t^4 - 5t^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = t^2$, где $y \ge 0$.

$2y^2 - 5y - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$ (не подходит, так как $y \ge 0$).

$y_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Возвращаемся к замене $t^2 = 3$, откуда $t = \pm\sqrt{3}$.

1) $tgx = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $tgx = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии корней можно объединить в одну: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Все решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2(tg\frac{x}{2} - 1) - cosx = 0$

ОДЗ: $cos\frac{x}{2} \ne 0 \implies \frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем универсальную тригонометрическую подстановку: $cosx = \frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$.

Пусть $t = tg\frac{x}{2}$. Уравнение принимает вид:

$2(t - 1) - \frac{1-t^2}{1+t^2} = 0$

$2(t - 1) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$2(t - 1)(1+t^2) = 1 - t^2$

$2(t + t^3 - 1 - t^2) = 1 - t^2$

$2t^3 - 2t^2 + 2t - 2 = 1 - t^2$

$2t^3 - t^2 + 2t - 3 = 0$

Проверим целые делители свободного члена (-3): $\pm1, \pm3$.

При $t=1$: $2(1)^3 - 1^2 + 2(1) - 3 = 2 - 1 + 2 - 3 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем.

Разделим многочлен $(2t^3 - t^2 + 2t - 3)$ на $(t - 1)$:

$(t - 1)(2t^2 + t + 3) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $2t^2 + t + 3 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23 < 0$. Действительных корней нет.

Единственное решение для $t$ это $t=1$.

$tg\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{sin^2x - 2}{sin^2x - 4cos^2\frac{x}{2}} = tg^2\frac{x}{2}$

ОДЗ: $cos\frac{x}{2} \ne 0 \implies x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $sin^2x - 4cos^2\frac{x}{2} \ne 0$.

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $sinx = 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$:

$sin^2x - 4cos^2\frac{x}{2} = (2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2})^2 - 4cos^2\frac{x}{2} = 4sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2} - 4cos^2\frac{x}{2}$

$= 4cos^2\frac{x}{2}(sin^2\frac{x}{2} - 1) = 4cos^2\frac{x}{2}(-cos^2\frac{x}{2}) = -4cos^4\frac{x}{2}$

Уравнение принимает вид (с учетом $tg^2\frac{x}{2} = \frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}$):

$\frac{sin^2x - 2}{-4cos^4\frac{x}{2}} = \frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}$

Так как по ОДЗ $cos\frac{x}{2} \ne 0$, можно умножить обе части на $-4cos^4\frac{x}{2}$:

$sin^2x - 2 = -4sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}$

Выражение в правой части равно $- (2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2})^2 = -sin^2x$.

$sin^2x - 2 = -sin^2x$

$2sin^2x = 2$

$sin^2x = 1$

Это равносильно $cosx = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим ОДЗ. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$. В этом случае $cos\frac{x}{2} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0$.

Также проверим знаменатель: $sin^2x - 4cos^2\frac{x}{2} = 1 - 4(\pm\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - 4(\frac{1}{2}) = 1 - 2 = -1 \ne 0$.

Все условия ОДЗ выполнены.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\frac{4ctgx}{1+ctg^2x} + sin^22x + 1 = 0$

ОДЗ: $ctgx$ определен, значит $sinx \ne 0 \implies x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем первое слагаемое, используя формулу $1+ctg^2x = \frac{1}{sin^2x}$:

$\frac{4ctgx}{1+ctg^2x} = \frac{4\frac{cosx}{sinx}}{\frac{1}{sin^2x}} = 4\frac{cosx}{sinx} \cdot sin^2x = 4sinxcosx = 2(2sinxcosx) = 2sin2x$

Подставим это в исходное уравнение:

$2sin2x + sin^22x + 1 = 0$

Перепишем в виде полного квадрата:

$sin^22x + 2sin2x + 1 = 0$

$(sin2x + 1)^2 = 0$

$sin2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим ОДЗ. Значения $x$ вида $-\frac{\pi}{4} + \pi n$ не являются кратными $\pi$, поэтому $sinx \ne 0$. ОДЗ выполняется.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) $1 + cosx = 2tg^2\frac{x}{2} - 1$

ОДЗ: $cos\frac{x}{2} \ne 0 \implies x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем формулы половинного угла: $1+cosx = 2cos^2\frac{x}{2}$ и $tg^2\frac{x}{2} = \frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}$.

$2cos^2\frac{x}{2} = 2\frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}} - 1$

Умножим обе части на $cos^2\frac{x}{2}$ (по ОДЗ это не ноль):

$2cos^4\frac{x}{2} = 2sin^2\frac{x}{2} - cos^2\frac{x}{2}$

Заменим $sin^2\frac{x}{2}$ на $1 - cos^2\frac{x}{2}$:

$2cos^4\frac{x}{2} = 2(1 - cos^2\frac{x}{2}) - cos^2\frac{x}{2}$

$2cos^4\frac{x}{2} = 2 - 2cos^2\frac{x}{2} - cos^2\frac{x}{2}$

$2cos^4\frac{x}{2} + 3cos^2\frac{x}{2} - 2 = 0$

Сделаем замену $y = cos^2\frac{x}{2}$, где $0 \le y \le 1$ (и $y \ne 0$ по ОДЗ).

$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$y_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ (не подходит).

$y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (подходит).

Возвращаемся к замене:

$cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

Используем формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}$:

$\frac{1+cosx}{2} = \frac{1}{2}$

$1 + cosx = 1$

$cosx = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим ОДЗ. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$. В этом случае $cos\frac{x}{2} \ne 0$. ОДЗ выполняется.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

45.18. Решите уравнение разложением на множители:

1) $\cos(2(x + 60^\circ)) + 4\sin(x + 60^\circ) = 2,5;$

2) $2\cos^2(2x + 60^\circ) - 3\sin^2(x + 30^\circ) = 2;$

3) $9\text{ctg}^2x + 4\sin^2x = 6;$

4) $8\cos^4x = 11\cos2x - 1;$

5) $8\sin^4x + 13\cos2x = 7;$

6) $2\text{tg}^2x + 4\cos^2x = 7.$

1) Исходное уравнение: $cos(2(x + 60°)) + 4sin(x + 60°) = 2,5$.

Сделаем замену переменной $y = x + 60°$. Уравнение примет вид:

$cos(2y) + 4sin(y) = 2,5$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2y) = 1 - 2sin^2(y)$:

$1 - 2sin^2(y) + 4sin(y) = 2,5$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin(y)$:

$-2sin^2(y) + 4sin(y) - 1,5 = 0$.

Умножим уравнение на -2, чтобы избавиться от дроби и отрицательного старшего коэффициента:

$4sin^2(y) - 8sin(y) + 3 = 0$.

Сделаем еще одну замену $t = sin(y)$. Получим квадратное уравнение $4t^2 - 8t + 3 = 0$.

Разложим левую часть на множители:

$4t^2 - 2t - 6t + 3 = 0$

$2t(2t - 1) - 3(2t - 1) = 0$

$(2t - 1)(2t - 3) = 0$.

Вернемся к замене $t = sin(y)$:

$(2sin(y) - 1)(2sin(y) - 3) = 0$.

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $2sin(y) - 3 = 0 \implies sin(y) = 1,5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

Случай 2: $2sin(y) - 1 = 0 \implies sin(y) = 0,5$.

Решения для $y$:

$y = (-1)^n \arcsin(0,5) + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

$y = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $y = x + 60°$:

$x + 60° = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n$

$x = -60° + (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -60° + (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $2cos^2(2x + 60°) - 3sin^2(x + 30°) = 2$.

Заметим, что $2x + 60° = 2(x + 30°)$. Сделаем замену $y = x + 30°$. Уравнение примет вид:

$2cos^2(2y) - 3sin^2(y) = 2$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2(y) = \frac{1 - cos(2y)}{2}$.

$2cos^2(2y) - 3 \cdot \frac{1 - cos(2y)}{2} = 2$.

Умножим обе части на 2:

$4cos^2(2y) - 3(1 - cos(2y)) = 4$

$4cos^2(2y) - 3 + 3cos(2y) = 4$

$4cos^2(2y) + 3cos(2y) - 7 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cos(2y)$. Разложим его на множители. Если $t=cos(2y)$, то $4t^2+3t-7=0$. Сумма коэффициентов $4+3-7=0$, значит $t=1$ является корнем. Тогда $(t-1)$ - один из множителей.

$(t-1)(4t+7) = 4t^2+7t-4t-7 = 4t^2+3t-7$. Факторизация верна.

$(cos(2y) - 1)(4cos(2y) + 7) = 0$.

Случай 1: $4cos(2y) + 7 = 0 \implies cos(2y) = -7/4$. Решений нет, так как $|cos(\alpha)| \le 1$.

Случай 2: $cos(2y) - 1 = 0 \implies cos(2y) = 1$.

Решения для $2y$:

$2y = 360° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

$y = 180° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к $x$:

$x + 30° = 180° \cdot k$

$x = -30° + 180° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -30° + 180° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $9\mathrm{ctg}^2x + 4sin^2x = 6$.

Область допустимых значений: $sin(x) \neq 0$.

Используем определение котангенса $\mathrm{ctg}^2x = \frac{cos^2x}{sin^2x}$ и основное тригонометрическое тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$:

$9\frac{1-sin^2x}{sin^2x} + 4sin^2x = 6$.

Умножим все уравнение на $sin^2x$ (это возможно, так как $sin^2x \neq 0$):

$9(1-sin^2x) + 4sin^4x = 6sin^2x$

$9 - 9sin^2x + 4sin^4x - 6sin^2x = 0$

$4sin^4x - 15sin^2x + 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение относительно $sin(x)$. Пусть $t = sin^2x$. Получим $4t^2 - 15t + 9 = 0$.

Разложим на множители: $(4t - 3)(t - 3) = 4t^2 - 12t - 3t + 9 = 4t^2 - 15t + 9$.

$(4sin^2x - 3)(sin^2x - 3) = 0$.

Случай 1: $sin^2x - 3 = 0 \implies sin^2x = 3$. Решений нет, так как $sin^2x \le 1$.

Случай 2: $4sin^2x - 3 = 0 \implies sin^2x = 3/4$.

Используем формулу понижения степени $sin^2x = \frac{1-cos(2x)}{2}$:

$\frac{1-cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - cos(2x) = \frac{3}{2}$

$cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $sin(\pm \frac{\pi}{3} + \pi k) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $8cos^4x = 11cos2x - 1$.

Используем формулу понижения степени $cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$. Тогда $cos^4x = (cos^2x)^2 = (\frac{1 + cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4}$.

Подставим в уравнение:

$8 \cdot \frac{1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4} = 11cos(2x) - 1$

$2(1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)) = 11cos(2x) - 1$

$2 + 4cos(2x) + 2cos^2(2x) - 11cos(2x) + 1 = 0$

$2cos^2(2x) - 7cos(2x) + 3 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cos(2x)$. Пусть $t = cos(2x)$. Уравнение $2t^2 - 7t + 3 = 0$.

Разложим на множители: $2t^2 - t - 6t + 3 = t(2t-1) - 3(2t-1) = (t-3)(2t-1)$.

$(cos(2x) - 3)(2cos(2x) - 1) = 0$.

Случай 1: $cos(2x) - 3 = 0 \implies cos(2x) = 3$. Решений нет.

Случай 2: $2cos(2x) - 1 = 0 \implies cos(2x) = 1/2$.

$2x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $8sin^4x + 13cos2x = 7$.

Используем формулу понижения степени $sin^2x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$. Тогда $sin^4x = (sin^2x)^2 = (\frac{1 - cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4}$.

Подставим в уравнение:

$8 \cdot \frac{1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4} + 13cos(2x) = 7$

$2(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) + 13cos(2x) = 7$

$2 - 4cos(2x) + 2cos^2(2x) + 13cos(2x) - 7 = 0$

$2cos^2(2x) + 9cos(2x) - 5 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cos(2x)$. Пусть $t = cos(2x)$. Уравнение $2t^2 + 9t - 5 = 0$.

Разложим на множители: $2t^2 + 10t - t - 5 = 2t(t+5) - 1(t+5) = (2t-1)(t+5)$.

$(2cos(2x) - 1)(cos(2x) + 5) = 0$.

Случай 1: $cos(2x) + 5 = 0 \implies cos(2x) = -5$. Решений нет.

Случай 2: $2cos(2x) - 1 = 0 \implies cos(2x) = 1/2$.

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $2\mathrm{tg}^2x + 4cos^2x = 7$.

Область допустимых значений: $cos(x) \neq 0$.

Используем тождество $\mathrm{tg}^2x = \frac{sin^2x}{cos^2x} = \frac{1-cos^2x}{cos^2x}$.

$2\frac{1-cos^2x}{cos^2x} + 4cos^2x = 7$.

Сделаем замену $t = cos^2x$. Учтем, что $0 < t \le 1$.

$2\frac{1-t}{t} + 4t = 7$.

Умножим обе части на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$2(1-t) + 4t^2 = 7t$

$2 - 2t + 4t^2 - 7t = 0$

$4t^2 - 9t + 2 = 0$.

Разложим на множители: $4t^2 - 8t - t + 2 = 4t(t-2) - 1(t-2) = (4t-1)(t-2)$.

$(4cos^2x - 1)(cos^2x - 2) = 0$.

Случай 1: $cos^2x - 2 = 0 \implies cos^2x = 2$. Решений нет, так как $cos^2x \le 1$.

Случай 2: $4cos^2x - 1 = 0 \implies cos^2x = 1/4$.

Это значение удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

Используем формулу $cos(2x) = 2cos^2x - 1$:

$cos(2x) = 2(\frac{1}{4}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $cos(\pm \frac{\pi}{3} + \pi k) = \pm \frac{1}{2} \neq 0$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.